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Full text of "C. G. J. Jacobi's Vorlesungen über Dynamik: gehalten an der Universität zu Königsberg im Wintersemester 1842-1843 und nach einem von C.W. Borchart ausgearbeiteten Hefte"

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KELEY 

RARY 

iRSITY OF 




THE LIBRARY 

OF 

THE UNIVERSITY 
OF CALIFORNIA 

GIFT OF 

Prof. G. C. Evans 





C. G. J. JACOBI S 



GESAMMELTE WERKE. 



HERAUSGEGEBEN AUF VERANLASSUNG DER KONIGLICH 
PREUSS1SCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. 



SUPPLEMENTBAND. 



HERAUSGEGEBEN 



E. L T T N E R. 



VORLESrMJKN MJER DYNAMIK, 



BERLIN. 

DRUCK UNI) VERLAG VON G. REIMER. 

1884. 





SuppL 



Uer vorliegende Supplementband zu C. G J. Jacobi s ge- 
sammelten Werken enthalt die im Jalire 1866 von A. Clebsch 
herausgegebenen ,,Vorlesungen iiber Dynamik" in einer zweiten, 
reyidirten Ausgabe, obiie die damals ihnen beigelugten flinf Abhand- 
lungen a us Jacobi s Nachlasse. Die letzteren miissen namlich, nacli 
deni f iir die Herausgabe der Jacobi sclien Werke festgestellteii Plane, 
in diesen ihreii Plat/, tindeii und Averden , mit der ebenfalls von 
Clebseb herausgegebenen grossen Abhandlung ,,Nova met hod us, 
aequationes differentiales partiales primi ordinis inter 
numeruni variabilium quemcunque propositas integrand!" 
und einigen kleineren vereinigt, den Inbalt des iiinften Bandes 
bilden. 

Wie in der Vorrede znr ersteii Ausgabe der ,,Vorlesungen" 
bemerkt worden ist, liegen deiiselben die voii Jacobi im Winter- 
semester 1842 43 an der Universitat zu Konigsberg gehaltenen und 
von seinem damaligeii Zuliorer C. W. Borcbardt mit grosser Sorg- 
falt und Treue ausgearbeiteten Vortrage >:u Grunde. Die von 
Clebseb bei der Herausgabe an dem Borchardt schen Texte vorge- 
nommeiien Veranderungen betreffen durcliweg nur Aeusserliches. 



pp 




srAr 



VI 



Audi der Herausgeber der neuen Ausgabe, Herr E. Lottner, hat 
nur an einigen Stelleu, AYO er den Ausdruck iiicht genau oder iiiclit 
deutlidi genug land, leichte stylistische Aeiiderungen angebradit, 
im Uebrigen aber sich darauf beschrankt, die in der ersten Aus 
gabe stehen gebliebenen, nicht zahlreichen Druck- und Rechcn- 
fehler zu berichtiffen. 

o 

15. Marz 1884. 



Weierstrass. 



Inhaltsverzeichniss. 



Erstei Vorlesung. Einleitung 1 

Zweite Vorlesung. Die Differentialgleichungen der Bewegung. Symbolische Formel fiir dieselben. 

Die Kraftefunction f; 

Dritte Vorlesung. Das Princip der Krhultung der Bewegung des Schwerpunkts 15 

Vierte Vorlesung. Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft 18 

Fiinfte Vorlesung. Das Princip der Erhaltung der Flaehenniume 31 

Sechste Vorlesung. Das Princip der kleinsten Wirkung 4," 

Siebf-nte Vorle su.ng. Fernere Betrachtungen iiher das Princip der kleinsten Wirkung. Die La- 

t/ninge ticheu Multi])licatoren 51 

A elite Vorlesung. Das Hamilton sche Integral und die zweite Lagrange sche Form der dynamischen 

Gleichungen 58 

Neunte Vorlesung. Die Hamilton sclie Form der Bewegungsgleichungen 67 

Zehnte Vorlesung. Das Princip des letzten Multiplicators. Ausdehnung des Euler schen Multi- 

plicators auf drei Veriinderliche. Aufstellung des letzten Multiplicators fur diesen Fall 71 

.Klfte Vorlesung. Uebersicht derjeuigen Eigenschaften der Determinanten, welche in der Theorie 

des letzten Multiplicators benutzt werden 85 

Zwnlfte Vorlesung. Der Miiltiplicator fiir Systeme mit beliebig vielen Veranderlichen 90 

Dreizehnte Vorlesung. Functionaldeterminanten. Ihre Anwenduug zur Aufstellung der particllon 

Differentialgleichung fiir den Multiplicator 100 

Vierzehnte Vorlesung. Die zweite Form der den Multiplicator definirenden Gleichung. Die Multi- 

plicatoren der stufenweise reducirten Systeme von Diiferentialgleichungen. Der Multiplicator bei 

Benutzung particularer Integrale 106 

Funfzehnte Vorlesung. Der Multiplicator fiir Systeme von Differentialgleichungen mit hdhereu 

Differentialquotienten. Anwendung auf ein freies System matericller Punkte 118 

Sechszehnte Vorlesung. Beispiele fiir die Aufsuchung des Multiplicators. Anziehung eines Punkts 

nach einem festen Centrum im widerstehenden Mittel und im leeren Raum 125 

Siebzehnte Vorlesung. Der Multiplicator fiir die Bewegtmgsgleichungen unfreier Systeme in der 

ersten Lagrange schen Form 132 

Achtzehnte Vorlesung. Der Multiplicator fiir die Bewegungsgleiclnmgen uufreier Systeme in der 

Hamilton SC\\GH Form 141 

Neunzehnte Vorlesung. Die Hamilton ache partielle Differentialgleichung und ilire Ausdehnung 

auf die isoperimetrischen Probleme 143 

Zwanzigste Vorlesung. Xaclnveis. dass die aus einer vollstandigen Ldsung der Hamilton schen 

partiellen Differentialgleichung abgeleiteten Integralgleichungen dem Systeme gewohnlicher Diffe- 

rentialgleichungen wirklich geniigen. Die Hamilton sche Gleichutig fiir den Fall der freien l>e- 

wejrung. . -. . 

c o 

Kinundz wanzigste Vorlesung. Untersuchung des Falles, wo t nicht explicite vorkommt. . . . 

Z weiundzwanzigste Vorlesung. Lagrange s Methode der Integration der partiellen Differential- 
gleichungen erster Ordnuug mit zwei unabhangigen Veriinderlichen. Ainveii lung ;mf die mccha- 
aischen Probleme, welche nur vori zwei Bestimmungsstiickeii aMiiingen. Die freie Bewegung eines 
Punkts in der Ebene und die kiirzeste Linie auf einer Oberflache 168 



VIII 

Sette 

Dreiund/wan/igste Vorlesung. Reduction der partiellen Differentialgleichung fur diejenigen 

Probleme. in welchen das Princip der Erlialtung des Schwerpunkts gilt 178 

V ierund/,\v;i nzigste Vorlesung. Bcwegung eines Planeten urn die Sonne. Losung des Problems 

in Polarcoordmaten 183 

Fu nfundz wanzigste Vorlesung. Losung desselben Problems durcb Einfiihrung der Abstiinde 

des Planeteu von zwei festen Punkten 190 

Sechsundzwanzigste Vorlesung. Elliptische Goordinaten 198 

Siebenundzwanzigste Vorlesung. Georaetrische Bedeutung der elliptischen Goordinaten in der 
Kbene und im Raume. Quadratur der Oberfliiche des Ellipsoids. Rectification seiner K nil minings - 
linien -W 

Achtundzwanzigste Vorlesung. Die kiirzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid. l);is Problem 

der Kartenprojectton ^l^ 

N eunu ndzwanzigste Vorlesung. Anziehiing eines Punktes naeli zwei test en Gent re n 

Dreissigste Vorlesung. Das Abel sche Theorem 

Einunddreissigste Vorlesung. Allgemeine Untersuchungen iiber die partiellen DilFerential- 

gleichungen erster Ordnung. Die verschiedenen Furmen der Integrabilitiitsbedingungen 237 

Zweiunddreissigste Vorlesung. Directer Heweis t tir die allgemeinste Form der Integrabilitiits 
bedingungen. Einfiihrung der Functionen H, welche. willkiirlichen Constanten gleiehgesetzt, die 
p als Functionen dei 1 </ bestiminen 24S 

Dreiunddreissigste Vorlesung. Ueber simnltane Losungen /weier lineareu partiellen DifFerential- 

gleichungen 25G 

Vierunddreissigste Vorlesung. Auwendung der vorhergehenden Untersuchung auf die lutegratiun 
der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und insbesondere auf den Fall der Meelianik. 
Sat/. Tiber das aus zwei gegebenen Tntegralen der dynamischen Differentialgleichungen herzuleitende 
dritte Integral 2(54 

Fiint nnddreissigste Vorlesung. Die beiden Klassen von Integralen, welche man naeli der 
Hamilton schen Methode fiir die mechanischen Prolileme erhiilt. Bestimmung der Wertlie von (if, j, 1 /) 
fiir dieselben 272 

Sechsnnddreissigste Vorlesung. Die Storungstheorie 279 

An hang. Die Integration der nicht linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, von 

A. Clench. . 291 



Vorlesungen iiber Dynamik, 



Erste Vorlesung. 

Einleitung. 

Diese Vorlesungen werden sich mit den Vortheilen beschaftigen, welche 
man bei der Integration der Differentialgleichungen der Bewegung aus der be- 
sonderen Form dieser Gleichungen ziehen kann. In der ,,Mecanique analytique" 
findet man Alles. was sich auf die Aufeabe bezieht, die DifFerentialo-leichuno-en 

7 O o O 

aufzustellen und umzuformen, allein fiir ihre Integration ist sehr wenig; se- 

O O O 

schehen. Die in Rede stehende Aufgabe ist kaum gestellt; das Emzig;e, was 

O O ? o " 

man dahin rechnen kann, ist die Methode der Variation der Constanten, eine 
Naherungsmethode, welche auf der besonderen Form der in der Mechanik vor- 
kommenden Differentialgleichungen beruht. 

Unter der grossen Menge von Aufgaben, welche die Mechanik darbietet, 
wollen wir nur diejenigen betrachten, welche sich auf ein System von n ma- 
teriellen Punkten beziehen, d. h. von n Korpern, deren Ausdehnung man ver- 
nachlassigen kann und deren Masse man im Schwerpunkt befindlich annimmt. 
Wir wollen ferner nur solche Probleme beriicksichtigen, bei welchen die Be- 
wegung allein von der Configuration der Punkte und nicht von ihrer G-eschwindig- 
keit abhangt. Hierdurch sind also namentlich alle Probleme ausgeschlossen, bei 
welchen der Widerstand in Rechnung zu ziehen ist. 

Wir werden zuerst -die Differentialgleichungen fiir die Bewegung eines 
solchen Systems aufstellen und dann die Principe durchgehen, welche fiir das- 
selbe gelten. Diese Principe sind: 

1. Das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts. 

2. Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft. 

3. Das Princip der Erhaltung der Flachenraume. 

4. Das Princip der kleinsten Wirkung oder, wie es besser heissen sollte, 
des kleinsten Kraftaufwandes. 

Jacobi, Werke. Suppleinentbaud (Dynamik). 1 



Die drei ersten dieser Principe geben Integrate des aufgestellten Systems 
von Differentialgleichungen; das letzte Princip giebt kein Integral, sondern nur 
eine symbolische Formel, in welche das System von Differentialgleichungen sich 
zusammenfassen lasst. Dasselbe ist aber darum nicht minder wichtig, Laymnge. 
hat sogar urspriinglich aus ihm alle seine Resultate in der Mechanik hergeleitet, 
Spater, als er dieselben streng begriinden wollte, verliess er das Princip der 
kleinsten Wirkung und nahm (zuerst in der von der Pariser Akademie ge- 
kronten Preisschrift iiber die Libration des Mondes, dann aber vorzuglich in 
der ,,Mecanique analytique") das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten zur 
Basis seiner Entwickelungen. So wurde also das Princip der kleinsten Wirkung, 
welches die Mutter alter neuen Resultate gewesen war, zu geringfiigig behandelt. 

Ich habe ein neues Princip der Mechanik hinzugefiigt, welches darin mit 
den Principen der Erhaltung der lebendigen < Kraft und clem der Flachenraume 
ubereinstimmt, dass es ein Integral giebt, aber im Uebrigen ganz anderer Natur 
ist. Erstens ist es allgemeiner als jene Principe; denn es gilt, sobald die 
Differentialgleichungen nur die Coordinate!! enthalten; ferner: wahrend jene 
Principe erste Integrate der Form geben: Function der Coordinaten und ihrer 
Differentialquotienten gleich einer Constanten, Integrate also, aus deren Diffe 
rentiation Gleichungen fliessen, die durch Benutzung der gegebenen Differential 
gleichungen identisch Null werden, liefert das neue Princip bei Voraussetzung 
der vorhergehenden Integrate das letzte. Nach diesem Principe kann man nam- 
lich unter der Annahme, dass ein Problem der Mechanik auf eine Differential- 
gleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zuruckgefiihrt ist, den Multi- 
plicator derselben allgemein angeben. 

In Fallen, wo die iibrigen Principe ein Problem auf eine Differential- 
o-leichuno" erster Ordnung zuriickfiihren, wird also durch das neue Princip die 

o o o j -i- 

Aufgabe vollstandig gelost. Hierher gehort das Problem der Anziehung eines 
Punktes nach einem festen Centrum, wobei das Gesetz der Anziehung beliebig 
ist, ferner das der Anziehung nach zwei festen Centren, vorausgesetzt, dass die 
Anziehung nach dem Newtonschen Gesetz stattfindet, und die Rotation eines 
von keinen ausseren Kraften sollicitirten Korpers um einen Punkt. Bei der An 
ziehung nach zwei festen Centren ist freilich ausser der Anwendung der alteren 
Principe ein von Euler durch besondere Kunstgriffe gefundenes Integral nothig, 
durch welches erst das Problem auf eine Differentialgleichung erster Ordnung 
zwischen zwei Variablen zuriickgefiihrt wird; aber diese Gleichung ist ausserst 



complicirt, and ihre Integration 1st ernes der grossten Meisterwerke Eulers- 
Durch das rieue Princip ergiebt sich ihr Multiplicator von selbst. 

Besonders hervorzuheben 1st diejenige Classe von Problemen, fiir welche 
zugieich das Princip der lebendigen Kraft und das Princip der kleinsten Wirkuno- 
gilt. Hamilton hat namlich bemerkt, dass man in diesem Falle die Aufgabe 
auf eine nicht lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung zuriickfuhren 
kann. Hat man eine vollstandige Losung derselben gefunden, so ergeben sich 
sofort alle Integralgleichungen. Die durch die partielle Differentialgleiehung 
definirte Function nennt Hamilton die charakteristische Function. 

Hamilton hat den schonen Zusammenhang, den er gefunden hat. etwas 
unzuganglich gemacht und verdunkelt, und zwar dadurch, dass er seine cha 
rakteristische Function noch zugieich von einer zweiten partiellen Differential- 
gleichung abhangen lasst. Die Hinzufiigung dieser Bestimmung macht die ganze 
Entdeckung unnothig complicirt, da eine genauere Untersuchung zeigt, dass die 
zweite partielle Differentialgleichung vollkommen tiberfliissig ist. 

Wir wollen zur Unterscheidung folgende Bezeichnungen einfiihren: Die 
Inteo rale der ffewohnlichen DifferentiaJo;leichuno;en wollen wir Integrale oder 

O O O O o 

Integralgleichungen nennen, die Integrale der partiellen Differentialgleichung 
dagegen Losungen. Ferner wollen wir bei einem System von Differential- 
gleichungen Integrale und Integralgleichungen unterscheiden. Integrale seien 
diejenigen ersten Integrale, welche die Form haben: Function der Coordinaten 
und ihrer Differentialquotienten gleich einer Constanten, und deren Differential- 
quotient mit Benutzung des gegebenen Systems von Differentialgleichungen 
identisch gleich Null wird, ohne dass man andere Integrale zu Hiilfe ruft; 
Integralgleichungen heissen alle iibrigen Integrale. In diesem Sinne geben also 
die Principe der lebendigen Kraft und der Flachenraume Integrale und nicht 
Integralgleichungen. 

Durch die Hamiltonsche Entdeckung hat das System der Integral- 
gleichungeh der mechanischen Probleme eine sehr merkwiirdige Form erhalten. 
Wenn man namlich die charakteristische Function nach den willki irlichen Con 
stanten, welche sie enthalt, differentiirt. so giebt dies die Integralgleichungen 
des gegebenen Systems. von Differentialgleichungen. Dies ist analog dein Satz 
von Lagranye, wonach sich die Differentialgleichungen eines Problems, fiir welches 
das Princip der kleinsten Wirkung gilt, als partielle Differentialquotienten einer 
einzigen Grosse darstellen lassen. Obgleich nun Hamilton die in Rede stehende 



Form der Integralgleichungen, welche sie vermittelst der charakteristischen 
Function annehmen, aufgestellt hat, so hat er doch nichts zur Auffindimg der 
letzteren gethan. Hiermit werden wir uns beschaftigen and mit Hiilfe der ge- 
wonnenen Resultate die Anziehung nach einem festen Centrum, nach zwei festen 
Centren und die Bewegung eines der Schwere nicht unterworfenen Punktes auf 
dem dreiaxigen Ellipsoid (deren Bestimmung mit der Auffindimg der kurzesten 
Linie auf dem Ellipsoid, iibereinkommt) behandeln. 

Der von Hamilton entdeckte Zusammenhang giebt auch neue Aufschliisse 
tiber die Methode der Variation der Constanten. Diese Methode beruht auf 
Folgendem: Die Integrale eines Systems von Differentialgleichungen der Dynamik 
enthalten eine gewisse Anzahl willkfirlicher Constanten, deren Werthe in jedem 
besonderen Falle durch die Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten der 
sich bewegenden Punkte bestimmt werden. Bekommen nun die letzteren wahrend 
der Bewegung Stosse, so andern sich dadurch nur die Werthe der Constanten. 
die Form der Integralgleichungen bleibt dieselbe. Bewegt sich z. B. ein Planet 
in einer Ellipse um die Sonne, und bekommt er wahrend der Bewegung einen 
Stoss, so wird er sich nun in einer neueri Ellipse oder vielleicht auch in einer 
Hyperbel, jedenfalls in einem Kegelschnitt bewegen, die Form der Gleichung 
bleibt dieselbe. Treten nun solche Stosse nicht momentan auf, sondern werden 
sie continuirlich fortgesetzt, so kann man die Sache so ansehen, als ob die 
Constanten sich continuirlich anderten, und zwar so, class diese Aenderungen 
die Wirkunc der storenden Krafte genau darstellen. Diese Theorie der Variation 

O o 

der Constanten wird in dem Verlauf unserer Untersuchung in einem neuen Lichte 
erscheinen. 

Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft umfasst eine grosse 
Klasse von Problemen, unter welche namentlich das Problem der clrei Korper 
gehort, oder allgemeiner das Problem der Bewegung von n Korpern, welche 
sich gegenseitig anziehen. 

Jemehr man in die Natur der Krafte eindringt, desto mehr reducirt man 
Alles auf seffenseitige Anziehuno;en und Abstossungen, desto wichtiger wird also 

O o O O O > o 

das Problem, die Bewegung von n Korpern zu bestimmen, welche sich gegen 
seitig anziehen. Dieses Problem gehort in die Kategorie derjenigen, auf welche 
unsere Theorie anzuwenden ist, d. h. welche sich auf die Integration einer 
partiellen DifFerentialgleichung zuruckfuhren lassen. Man erkennt hieraus die 



Nothwendigkeit, die partiellen Differentialgleichungen zu studiren; aber seit 
30 Jahren*) hat man sich nur mit den linearen partiellen Differentialgleichungen 
beschaftigt, wahrend fur die nicht linearen nichts geschehen ist. Fiir drei 
Variablen hat bereits La grange das Problem absolvirt; fur mehr Variablen hat 
Pfctff eine zwar verdienstliche aber unvollkommene Arbeit geliefert. Nach Pfa/ 
muss man zur Losung der partiellen Differentialgleichung zunachst ein System 
von gewohnlichen Differentialgleichungen integriren. Nach Integration derselben 
hat man ein neues System von Differentialgleichungen aufzustellen, welches zwei 
Variablen wenisjer enthalt, dieses wiederum zu integriren u. s. w. , und so ge- 

O J O O 

langt man endlich zur Integration der partiellen Differentialgleichung. Hiernach 
hatte also Hamilton durch seine Zuriickfuhrung der Differentialgleichung der 
Bewegung auf eine partielle Differentialgleichung das Problem auf ein schwie- 
rigeres zuruckgefiihrt; denn nach Pfaff erfordert die Integration einer partiellen 
Differentialgleichung die Integration einer Reihe von Systemen gewohnlicher 
Differentialgleichungen. wahrend das mechanische Problem nur die Integration 
eines Systems gewohnlicher Differentialffleichunffen erfordert. Es war daher hier 

/ O O O 

die umgekehrte Zuriickfuhrung von grosserer Wichtigkeit, wonach eine partielle 
Differentialgleichung sich auf ein einziges System von Differentialgleichungen 
zuruckfuhren lasst. Das erste Pfaffsche System stimmt namlich mit dem, auf 
welches die Mechanik fiihrt, iiberein, und es lasst sich nachweisen, dass die 
iibrigen Systeme alsdann entbehrt werden konnen. So wie in diesem Falle 
kehrt sich die Zuriickfiihruno; eines Problems auf ein anderes sehr hauno; um, 

o o * 

indem der Fortschritt der AVissenschaft das Erste zum Zweiten macht und um- 
gekehrt. Das Wichtige in solchen Zuriickfiihrungen ist der Zusammenhang, der 
zwischen zwei Problemen nachgewiesen wird. Der in Rede stehende Zusammen 
hang lasst erkennen, dass jeder Fortschritt in der Theorie der partiellen Diffe 
rentialgleichungen auch einen Fortschritt in der Mechanik herbeifuhren muss. 

Ein tieferes Studium der Differentialgleichungen der Mechanik zeigt, dass 
die Anzahl der Inteorationen sich immer auf die Hiilfte zurtickfiihren lasst. 

O # 

wahrend die andere Halfte durch Quadraturen ersetzt wird. Es giebt ein merk- 
wiirdiges Theorem, welches zeigt, dass ein qualitative!- Unterschied zwischen 
den Integralen stattfindet. Wahrend namlich einige Integrate nicht mehr Be- 
deutung haben als Quadraturen, giebt es andere, welche fur alle iibrigen zu- 



*) Diese Vorlesungen wurden im Winter 184243 gehalten. C. 



6 

sammengenommen gelten -konnen. Dies Theorem lasst sich folgendermassen 
aussprechen: Kennt man ausser dem durch das Princip der lebendigen Kraft ge- 
(jebemn Integral noch zwei Integrals der dynamischen Gleichungen, so kann man 
aus diesen beiden em drittes finden. Ein Beispiel hiervon sind die sogenannten 
Flachensatze in Bezug auf die drei Coordinatenebenen ; gelten von diesen zwei. 
so lasst sich der dritte daraus ableiten. 

Hat man nach dem angefiihrten allge meinen Satze aus zwei Integralen 
ein drittes gefunden. so lasst sich hieraus und aus einem der fruheren em viertes 
finden, u. s. w. bis man auf eines der gegebenen zuruckkommt. Es giebt In- 
tegrale, welche bei dieser Operation das ganze System der Integralgleichungen 
erschopfen, wahrend bei anderen sich der Cyclus fruher schliesst. Dieses 
Fundamentaltheorem ist schon seit 30 Jahren zugleich gefunden und verborgen. 
Es riihrt namlich von Poisson her und war auch La grange bekannt, der in dem 
erst nach seinem Tode erschienenen zweiten Theil der ,,Mecanique analytique" 
dasselbe als Hiilfssatz brauchte*). Aber dieser Satz ist immer in einer ganz 
anderen Bedeutung genommen worden; er sollte nur zeigen, dass in einer Ent- 
wickelung gewisse Glieder unabhangig von der Zeit seien, und es war keine ge- 
rinffe Schwierio keit, in demselben seine heutioje Bedeutuno; zu sehen. In diesem 

o O O O 

Satze liegt zugleich das Fundament fur die Integration der partiellen Differential- 
gleichungen erster Ordnung. 



Zweite Vorlesung. 

Die Differentialgleichungen der Bewegung. Symbolische Formel fiir dieselben. 

Die Kraftefunction. 

Wir wollen zunachst ein freies System von materiellen Punkten be- 
trachten; wir nennen es ein System, weil wir annehmen, dass die Punkte den 
ausseren Kraften nicht unabhangig von einander Folge leisten, in welchem Falle 
man jeden Punkt fiir sich betrachten konnte, sondern dass sie gegenseitig auf 
einander einwirken, man also nicht einen ohne die anderen betrachten kann. 
Dies System sei ferner ein freies, d. h. ein solches, in welchem die Punkte den 
Einwirkungen der Krafte ohne Hinderniss folgen. Irgend einer der Punkte des 



*) Mec. anal. Sect. VII. 60, 61. (Band II. p. TOfolgg. der dritten Ausgabe.) 



Systems habe die Masse 977, die rechtwinkligen Coordinaten desselben zur Zeit t 
seien x, y, z, und die Componenten der auf ihn wirkenden Kraft X, Y, Z: clann 
hat man bekanntlich folgende Gleichungen der Bewegung: 



und ahnliche Gleichungen giebt es fiir alle Punkte des Systems. Die Grossen 
X, Y, Z hangen von den Coordinaten aller n Punkte ab und konnen auch ihre 
Differentialquotienten nach der Zeit t enthalten, was namentlich immer statt- 
lindet, sobald der Widerstand in Rechnung zu ziehen ist. 

Die obio;en Differentialideichungen der Beweffuno; konnen in eine ausserst 

O O O O O 

vortheilhafte symbolische Form dadurch gebracht werden, dass man jede der 
selben, nachdem man die rechte Seite auf Null gebracht hat, mit einem will- 
kiirlichen Factor multiplicirt und die Producte addirt. Man erhalt so die 
Gleichung: 



wo sich das u. s. w. auf ahnliche Glieder bezieht, welche von den iibrigen 
Punkten des Systems herruhren. Indem man nun fordert, dass diese Gleichung 
ftlr alle Werthe der Grossen 2, ,u, v . . . gelte, reprasentirt dieselbe das ganze 
obige System von Differejitialgleichungen. Der Uebersichtlichkeit wegen wollen 
wir die Factoren /, JLI, v . . . mit d\r, dy, dz bezeichnen, wo x, y, z rein als 
Indices anzusehen sind. Unsere symbolische Gleichung wird dadurch 



wo sich die Summe auf alle Punkte des Systems bezieht. Diese Gleichung 
muss also fur alle Werthe von 3x, dy, dz, . . . bestehen. Die symbolische Be- 
zeichnung in derselben ist sehr wichtig; es tritt namlich haiifig der Fall ein. 
dass ein Symbol als Grosse betrachtet und damit gerechnet und operirt wird. 
wie es iiberhaupt mit Grossen geschieht; hiervon werden wir spater ein Bei- 
spiel haben. 

Eine besondere Behandlung lasst der Fall zu, wo nur Attractionen nach 
festen Centren oder Attractionen der Punkte unter sich betrachtet werden. In 
diesem Falle lassen sich die Componenten X, Y, Z, . . . als partielle Differential 
quotienten ein und derselben Grosse darstellen. Lagrange hat die wichtige Be- 
merkunff gemacht, class wenn man einen festen Punkt mit einem beweglicheD 





verbindet, die Cosinus der Winkel, welche diese Linie mit den drei Coordinaten- 
axen bildet, die partiellen Differentialquotienten einer Grosse, der Entfernung 
der beiden Punkte, sind. Der feste Punkt habe die Coordinate!! a, b, c, der 
bewegliche die Coordinaten x, y, z, der beide Punkte verbindende Radiusvector 
sei r; man ziehe durch den festen Punkt (, b, c) drei Gerade parallel den 
Coordinatenaxen und zwar nach dem positiven Ende derselben gerichtet; die 
Winkel, welche der Radiusvector r mit diesen Geraden macht, seien a, ft, y. 
Man hat dann folgende Gleichungen: 



dr x a dr y b dr z 



r y r z c 

= cosa: -z = = cos/3: -^ = = cosy*). 



dx ~ r dy r dz 

1st nun R die Kraft, mit welcher der Punkt (x, y, z) von dem Punkt (, b, c) 
angezogen wird, so sind die Componenten, welche auf den Punkt (x, y, z) nach 
der positiven Seite der Coordinaten hin wirken: 

7?__- P U r T) V T 
= -^~D 5 ^~5 ~3 

oder wenn wir 

r 

setzen : 

dP dP dP 

dx dy dz 

Die Componenten sind also die partiellen Differentialquotienten einer Grosse 

P. Dies findet auch bei der gegenseitigen Anziehung zweier Punkte, p und 

p 1} statt. Ihre Coordinaten seien x, y, z und x lf y l , z l} ihre Entfernung r, also 






R sei die Kraft der Anziehung zwischen p und ^5 dann sind die auf p wirken- 
den Componenten: 



dr dr dr 

zv ^ , J\, ^ 



dx 
und die auf p wirkenden Componenten: 

P dr R 8r _R 8r 

JLV f* Xl/r^. J. I/ ?7 . 

dx l dy 1 dz l 

welche respective gleich und entgegengesetzt sind, da 

dr x x, dr x x. 



dx 



*) Es wird hier wie im Folgenden immer fur die partiellen DifFerentiatiouen das Zeichen d, fur die 
vollstandigen das Zeichen d gebraucht. 



also : 



dr 8r dr dr dr 

= -- =r- und ebenso: -~ = 



-= -- =r- , -~ -- ~ , -5 -- ~ - 

dx l ox dy l ay oz t dz 

Fiihrt man nun wieder 

P= hdr 

ein, so sind die auf p wirkenden Componenten 

8P dP dP 

dx" 1 dy dz 

und die auf p^ wirkenden Componenten 

8P _6P_ dP 

dx l dy l dz l 

Betrachten wir jetzt n Punkte, welche sich gegenseitig anziehen. Ihre 
Massen seien m 1? m 2 , . . . m n , ihre Coordinaten # 1? y lf z 1} x 2 , y 2 , z 2 , . . . x n , y n , z n , 
die Entfernung von m^ und m 2 werde mit r 12 bezeichnet, das Integral derjenigen 
Function von r 1>2 , welche die zwischen beiden Punkten wirkende Anziehung aus- 
driickt, mit P 12 , worin man sich das Product der Massen m l} m 2 als Factor ein- 

tretend zu denken hat. (Fiir das Newtonsche Gesetz z. B. wird P 12 = -- r 

r i,2 
Dies vorausgesetzt, ist die Componente der Kraft, welche auf den Punkt 

wirkt, in der Richtung der x- Coordinaten: 



und analog fiir die beiden anderen Componenten. Daher hat man fur den 
Punkt m^ 



dt* d^ 

^ ----- HP..Q 



Aehnliche Gleichungen giebt es fur die iibrigen Punkte des Systems; fur den 
Punkt m 2 z. B. ist die in Klammern eingeschlossene Grosse, deren Differential- 
quotient genommen wird, gleich P^+P^H ----- hP 2 , n . Die Grossen Phaben aber die 
Eigenschaft, dass jede derselben nur von den Coordinaten der beiden Punkte 
abhangt, deren Indices angehangt sind; daher verschwinden bei der Differentiation 
nach #!, 2/j oder z die Differentialquotienten von P 2i3 , P 2;4 , ... P 2 , n , P 3 , 4 , ... P n _i,, 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 2 



" 10 

und es bleiben nur die Differentialquotienten von P 12 , P li3 , . . . P 1>ra tibrig. Es 
werden also die auf den ersten Punkt beztiglichen Differentialgleichungen ganz 
ungeandert bleiben, wenn man auf der rechten Seite in der Klammer zu der 

o 7 

Summe P^-f-P^H ----- l~P\,n noch die Summe aller ^iibrigen P hinzufugt. Eine 
ahnliche Aenderung kann man bei den anderen Gleichungen in der in Klammern 
eingeschlossenen Grosse anbringen und erhalt dann in den Differentialgleichungen 
des ganzen Systems die Differentialquotienten einer und derselben Grosse: 
U= - 



Wir haben auf diese Weise fiir irgend einen Punkt des Systems die Gleichungen 



______ __ 

< dt* das. dt 2 dy^ * dt 2 ~ dz. 

Diese Bemerkung, dass man in alien Gleichungen eine und dieselbe Grosse U 
einftihren kann, scheint sehr einfach, und dennoch ist es das Uebersehen dieses 
Umstandes allein, welches Eider verhindert hat, die Allgemeinheit der Lagmnge- 
schen Resultate zu erreichen. Euler kannte das Princip der Erhaltung der 
lebendigen Kraft nur fiir Anziehun^en nach festen Centren. Am Ende der 

o o 

Nova methodus inveniendi curvas maximi minimwe proprietate gaudentes" hat 
Euler in dem Appendix de motu projectorum" mit sehr unvollkommenen Aus- 
driicken der Differentialgleichungen fiir die gegenseitige Attraction sich begntigt. 
Erst Daniel Bernoulli hat in einer der philosophischen Classe der Berliner 
Akademie eingereichten Abhandlung*) diese Bemerkung gemacht und dadurch 
dem Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft seine wahre Bedeutung ge- 
geben. Lagrange hat alsdann diese Bemerkung auf die Probleme angewandt, 
.welche sich Euler in dem Aufsatz }> de motu projectorum" gestellt hatte, und ist 
dadurch auf seine Hauptresultate gekommen. 

Der Ausdruck U ist von Hamilton mit dem Namen Krdftefunction (force 
function) belegt worden. Der partielle Differentialquotient dieses Ausdrucks 
nach einer Coordinate einer der betrachteten n Massen giebt die Kraft, mit 
welcher diese Masse von alien iibrigen angezogen wird, nach der Richtung 
dieser Coordinate gemessen. 

Fiir das Newtonsche Attractionsesetz wird die Kraftefunction 



*) Mem. de 1 acad. de Berlin 1748. 



11 

also fur den Fall dreier Korper 

m,m 2 m.m 
u I i 



v* 

1,2 1,3 2,3 

In der Theorie der Zuriickfiihrung der Differentialgleichungen der Bewegung 
auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung hat man es immer nur 
mit der Kraftefunction zu thun, daher 1st ihre Einfiihrung von der hochsten 
Wichtigkeit. Vorliiufig werden wir sie sehr gut zur abgekiirzten Darstellung 

O O o O O 

der Gleichungen benutzen konnen. 

Es 1st von Interesse, sich klar zu machen, wie weit man die Grenzen 
der zu betrachtenden mechanischen Probleme ausdehnen kann, ohne die Ein 
fiihrung der Kraftefunction aufzugeben. 

Bei der gegenseitigen Anziehung der Punkte ist es nicht nothig voraus- 
zusetzen, dass das Gesetz, nach welchem zwei Punkte einander anziehen, fur je 
zwei Punkte des Systems dasselbe sei, sondern man kann hieriiber jede be- 
liebige Annahme machen, vorausgesetzt, dass die Anziehung lediglich von der 
Entfernung abhangt und dass irgend eine Masse m^ mit derselben Kraft von 
einer der anderen Massen m (j angezogen wird, wie m it von m^ Die Bemerkung 
dieser Ausdehnung ist nicht ohne alien Nutzen; so hat z. B. Bessel dasBe- 
denken hervorgerufen, ob im Weltsystem zwischen je zwei Korpern dasselbe 
Anziehungsgesetz stattfindet, nicht als ob sich die Function der Entfernung in 
dem Gesetz anderte, sondern er machte die Hypothese, dass ein Korper des Sonnen- 
systems z. B. die Sonne selbst den Saturn mit einer anderen Masse anzoge als 
den Uranus. Diese Hypothese wiirde also die Einfiihrung der Kraftefunction 
nicht storen. Ausser den gegenseitigen Anziehungen der Massen konnen aber 
auch Attractionen nach festen Centren hinzukommen. Man kann sogar an- 
nehmen. was freilich nur eine mathematische Fiction ist, dass jedes der festen 
Centren nicht auf alle Massen wirkt, sondern nur auf eine oder auf eine be- 
stimmte Anzahl derselben. Wird z. B. die Masse m^ nach einem festen Centrum 
hingezogen, dessen Masse k und dessen Coordinaten a, b, c sind, so kommt, 
wenn das Newtonsche Gesetz stattfindet, zu der Kraftefunction der Term 

km. 



hinzu, und ahnliche Terme erhalt man fur die iibrigen Massen, wenn das feste 
Centrum k auch auf sie einwirkt. Endlich konnen noch constante parallele 
Krafte hinzukommen, welche ebenfalls nicht auf alle Massen zu wirken brauchen. 



12 

Wenn z. B. auf die Masse m x eine constante Kraft wirkt (wie die Schwere), 
deren Componenten nach den Richtungen der Coordinatenaxen A, B, F seien, 
so kommt zur Kraftefunction U der Term 



hinzu, und ahnliche Terme fiir die anderen Massen des Systems, wenn auf sie 
die constanten Krafte A, B, F oder andere wirken. Fiir den Fall der festen 
Centren ist noch zu bemerken, dass, wenn sie auf alle im Problem vorkommen- 
den Massen wirken, was natiirlich in der Natur immer stattfindet, man dieselben 
wie bewegliche Massen ansehen kann. Hierdurch kommen zwar iiberfliissige 
Glieder in die Kraftefunction, narnlich diejenigen, welche die gegenseitige 
Attraction der festen Centren ausdriicken wiirden, indessen sind diese Glieder 
reine Constanten und fallen bei jeder Differentiation heraus. 

Die symbolische Form, unter welche wir die Differentialgleichungen der 
Bewegung gebracht haben, war: 



welche Gleichung wir besser so schreiben konnen 
d 9 as. d*. d*z. 



In dem Fall, wo man die Kraftefunction einfiihren kann, wird 



-= V - _ 7 

" ~ = 



_ 

das. " By. ~ dz. 

3 1 t 

daher : 



In dieser Gleichung nun, wie in der obigen, sind die d^ ... als willktirliche 
Factoren anzusehen, welche jeden Werth annehmen konnen, und x t ... als In 
dices derselben. Betrachtet man aber fiir einen Augenblick dx i9 Sy i9 dz t als un- 
endlich kleine Incremente von x it y i9 z i9 so wird nach den Regeln der DifFerential- 
rechnunff die rechte Seite der letzten Gleichung; 

o o 



S A \ Tlt iVit*! f* T~T 

(A.) *1"5~~ X i^ 3 ty H -~ 02.i = OC/, 

I rifp. rill fry 

also hat man 

(20 ^ 



_ 13 _ 

Hierin ist fill vorlaufig nur als ein abgekiirztes Zeichen fur die Summe (A) 
anzusehen, welche mit derselben nur ubereinstimmt, wenn man die <F als un- 
endlich kleine Incremente ansieht. Obgleich nun diese Bezeichnung nur einen 
Sinn hat, wenn die Kraftef unction existirt, so hat man sie sogar in manchen 
Fallen mit Vortheil auf die allgemeinere Gleichung (1.) angewendet, um die 
Rechnung bequemer zu machen. Jedoch kann dies nur unter dem Vorbehalt 

o-eschehen, dass man in der Entwickelung von dU den partiellen Differential- 

ri 77 
quotienten -~ durch X, zu ersetzen hat. Hierdurch kommt man, wenn man 

es nur mit linearen Substitutionen zu thun hat, in der Regel zu richtigen Re- 
sultaten. Dies ist der kiihne Weg, den Lagrange in den Turiner Memoiren, 
freilich ohne ihn gehorig zu rechtfertigen, eirigeschlagen hat. 

Die Bezeichnung dU ist auch sehr vortheilhaft, wenn man fur die Coor- 
dinaten x ly y ly z l9 x 2 , y*, ^ #> y*, z n neue 3n Variable q ly q s , ... q^ 
einfuhrt. Man braucht namlich dann nur diese neuen Variablen in U einzu- 
setzen und nach den Regeln der Differentialrechnung zu entwickeln: 



zuleich muss man aber fiir dx t setzen: 






dx. dx. da; dx 



Die Richtigkeit dieser Behauptung lasst sich folgendermassen nachweisen: 
Die 3n Differential gleichungen der Bewegung sind: 



" I 



dz. 

wo dem i alle Werthe von 1 bis n inclusive beizulegen sind. Denkt man sich 

dx. dy. dz. 
diese 3n Gleichungen respective mit -~, ^, -^- multiplicirt und addirt, so 

erhalt man: 

Bx. d 2 y. dy i d*z. dz. 



dt* dq k de dq k dt* d 
Solcher Gleichungen erhalt man 3i, indem man fur q k nach einander alle q 
einsetzt. Diese 3n Gleichungen vertreten nun das ursprimgliche System von 
Gleichungen vollkommen, so dass das eine immer fur das andere gesetzt 
werden kann. Multipliciren wir das letzte System mit willkurlichen Factoren 
<tyi, ^2? % ^sn und addiren, so erhalten wir eine neue symbolische 




14 

Gleichung, welche das letzte System von Differentialgleichungen und daher 
auch das friihere ganz ersetzt. Diese symbolische Gleichung wird aber: 
f d?x. dx. d 2 y. By. d?z. dz.) QTJ 

W t I . Hi Jl I I I r, U *-> r, 

22m \ , 2 -5 1 -T72--5 J72~^ !"& "-3 oq s , 

, i * I at* dq s dr dq s dr dq s ) s dq s 

oder wenn man die Sammationen auf der linken Seite dieser Gleichung in um- 
gekehrter Ordnung ausfiihrt: 

d?x. dx. d*y. dy. d?z. dz. 

-v *V i * * J-v 



ri "</s i 7,9 " n "^s i 7 .2 ** > "vs I * n "/* 

c?g> d# , % dr , 9gr, , % 

Diese Gleichung ist dieselbe, in welche (2.) iibergeht, wenn man fur 

QJJ dx. dy. dz. 

2-oC[ s und fur ox^ oy^ oz i respective 2-^-vC[ t , ^"-^^-^, -^-dq s ein- 

setzt. Somit ist also die oben angegebene Regel fiir die Substitution neuer 
Variablen bewiesen. In der transformirten Gleichung sind alsdann wiederum 
die dq s als von einander unabhangige Grossen zu betrachten und es zerfallt so 
die transformirte symbolische Gleichung in das soeben angegebene zweite System 
der 3n Gleichungen. 

Aber in diesen Rechnungsvortheilen liegt nicht die Wichtigkeit unserer 
symbolischen Gleichungen (1.) und (2.). Die wahre Bedeutung dieser Dar- 
stellung besteht vielmehr darin, dass sie auch noch dann beibehalten werden 
kann, wenn das System nicht mehr ein freies ist, sondern wenn Bedingungs- 
gleichungen hinzutreten, welche die Verbindung der Punkte ausdriicken. Aber 
alsdann sind die Variationen nicht mehr als ganz willkurlich und von einander 
unabhangig zu behandeln, sondern als virtuelle Variationen, d. h. als solche, 
welche mit den Bedingungen vereinbar sind. Nehmen wir z. B. an, dass drei 
Bedingungsgleichungen existiren 

so werden cfie zwischen den Variationen existirenden Relationen, welche sie 
zu virtuellen machen, durch folgende Gleichungen bestimmt: 

Sf = o, 8( f = 0, dip = 0, 

oder entwickelt: 

/ /)/ z-e s-f \ 

= 0, 



dy 

" =0. 



15 

Jede Bedingungsgleichung giebt also eine lineare Relation zwischen den Sn 
Variationen . . . dx t , dy-^ dz t .... Hat man m Bedingungsgleichungen, also auch 
m Relationen zwischen den Variationen, so kann man alle Variationen durch 
3n m derselben ausdriicken und erhalt durch Substitution derselben unsere 
symbolische Gleichung frei von m Variationen. Aber diese Elimination der 
m Variationen wird ausserst complicirt. Ein Auskunftsmittel fur diese Schwierig- 
keit hat Lagrange in der Einfiihrung eines Systems von Multiplicatoren gefunden. 

Die im Obigen enthaltene Ausdehnung unserer symbolischen Gleichung 
auf ein durch Bedingungen beschranktes System ist, wie sich von selbst ver- 
steht, nicht bewiesen, sondern nur als Behauptung historisch ausgesprochen. 
Dies ausdriicklich zu sagen, scheint nothig zu sein, denn obgleich Laplace diese A us- 
dehnung in der Mecanique celeste ebensowenig bewiesen hat, als es hier geschehen 
ist, sondern sie auch nur historisch behauptet, so hat man dies dennoch fur 
einen Beweis gehalten. Poinsot hat gegen diese Meinung eine eigene Ab- 
handlung*) geschrieben und sagt darin sehr richtig, dass sich die Mathematiker 
haufig durch den sehr langen Weg tauschen lassen, den sie zuriickgelegt haben, 
zuweilen aber auch durch den sehr kurzen. Durch den langen Weg lassen 
sie sich tauschen, wenn sie durch sehr weite Rechnungen endlich zu einer 
Identitat kommen, dieselbe aber fur einen Satz halten. Ein Beispiel von dem 
Entgegengesetzten giebt unser Fall. 

Diese Ausdehnung zu beweisen, ist keineswegs unsere Absicht, wir wollen 
sie vielmehr als ein Princip ansehen, welches zu beweisen nicht nothig ist. 
Dies ist die Ansicht vieler Mathematiker, namentlich von Gauss**). 



Dritte Vorlesung, 

Das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts. 

Wir wollen nun zum Beweise der allgemeinen Principe iibergehen, 
welche fiir die bisher betrachteten mechanischen Probleme gelten. Das erste 



*) Liouvilles Journal, vol. 3, p. 244. 

**) Wahrscbeinlich hat sich Gauss in diesem Sinne miindlich zu Jacobi geaussert; ein hieruber 

niedergeschriebener Ausspruch desselben scheint sich wenigstens nach Herrn Professor Scherings giitiger Mit- 
theilung nicht zu finden. C- 



16 

derselben ist (vgl. die erste Vorlesung) das Princip der Erhaltung der Bewegung 
des Schwerpunkts. 

Nehmen wir zuerst den einfacheren Fall, in welchem eine Kraftefunction 
existirt, so haben wir: 

( d?x. d*v. d*z. 

2? 



Wir wollen annehmen, dass sowohl U als die Bedingungsgleichungen nur von 
den Differenzen der Coordinaten abhangen, so dass sie sich gleich bleiben, wenn 
man alle x um eine und dieselbe Grosse vermehrt, und ebenso, wenn dies bei 
alien y oder alien z geschieht. Dann ist die Annahme: 



6z 1 =^6z 2 =- = dz n v, 

eine mit den Bedingungsgleichungen vereinbare. Bei dieser Annahme er- 
halten wir: 

( d?x. ff ii. d*z. i /9T/ fin 

(1.) 2 m \^i+^^ > v \ = 3^1+2 

1 1 or at at J oA 4 dy. i 

Die rechte Seite ist aber =0. In der That, da unserer Annahme nach U nur 
von den Differenzen der Coordinaten abhangt, so kann man, wenn 

X l X n - g t j X^ X n = $ 2 , ... X n i X n = Snl 

gesetzt wu d, der Grosse U, insofern sie von den #- Coordinaten abhangt, die 
Form geben: 



Dann ist zugleich: 

dU dF dU ZF 6U dF 8U 6F 8F dF 



also: 

und ebenso: 



Sonach zieht sich unsere obige Grleichung zusammen in: 

tfy. 



17 

und da diese Gleichung fur alle Werthe von /, /u, v bestehen muss, so 1st 

d?x. d 2 y. d 2 z. 

Sm >^ = > 2m ^- - m .-5F- = - 
Setzen wir jetzt 

3m. = M, 2m.a:. = MA, 2m. y. = MB, Sm.z. = MC, 

so dass A, B, C, wie bekannt, die Coordinate!! des Schwerpunkts des Systems 
sind, so kann man statt der obigen Gleichungen auch folgende schreiben: 

(2} ^-==0 **-0 -^ 

^ } dt* de dt* 

welche integrirt geben: 

(3.) A = a^-i-a t, B = pM+p t, C= y^-h/f, 

d. h. der Schwerpunkt bewegt sich in einer geraden Linie, deren Gleichungen 
in den laufenden Coordinaten A, B, C 

A q() BM () 



a p r 

sind, und bewegt sich in derselben mit der constanten Geschwindigkeit 



In dem allgemeineren Fall, in welchem die Kraftefunction nicht existirt, 
hat man statt der Gleichung (1.) folgende: 



und da dieselbe fur alle Werthe von A, JLI, v gilt, 

d?x. d 2 u. d 2 z. 



l , .,, ( 

oder, wenn man die Schwerpunktscoordinaten einfiihrt, 

, . -^ , . a ^i __ -- , .. CL JD __ TT -, f a (_/ __ .^ 

(4.) !-&- = sx ^f^r- 2Y " a -sp- =sz 

d. h. der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob alle im System wirkenden Krafte 
parallel mit sich selbst verschoben im Schwerpunkt angebracht waren, und als 
ob zugleich die Suinme aller Massen im Schwerpunkt ihren Sitz hatte. 

Sind die auf diese Weise parallel verschobenen Krafte in ihrer neuen 
Lage im Gleichgewicht, ist also 

vv __ n ^Y o ^Z o 

^<-A.j - U, ~t J. j - \J, ^f- i - V, 

so wirken auf den Schwerpunkt gar keine beschleunigenden Krafte. Dies findet 
statt, wenn nur gegenseitige Attractionen in dem System wirken, da alsdann 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 



18 

Wirkung und Gegenwirkung, in denselben Angriffspunkt verlegt, sich zerstoren 
(dieser Fall ist schon oben behandelt, da namlich alsdarm immer eine Krafte- 
f unction existirt); es findet aber niclit statt, sobald feste Centren im Probleme 
vorkommen. 

Alles bisher Gesagte gilt naturlich nur, wenn die Bedingimgsgleichungen 
nur von den Differenzen der #- Coordinaten, der ?/- Coordinaten und der 5-Coor- 
dinaten abhangen. Ein solcher Fall ist das Seilpolygon, wenn man auf die Aus- 
dehnuno; des Seils keine Riicksicht nimmt. Damit in diesem Fall auch die 

o 

Kraftefunction allein von den Differenzen der Coordinaten abhange, mussen die 
Endpunkte des Seils nicht befestigt gedacht werden, da sonst diese Punkte wie 
feste Centren in die Aufgabe eintreten. Bei einem ganz freien System gelten 
naturlich die Gleichungen (4.) unter alien Umstanden. Giebt es eine Krafte 
function, die nicht bloss von den Differenzen der Coordinaten abhangt, was der 
Fall ist, wenn feste Centren oder constante Krafte vorhanden sind, so gelten 
auch in diesem Falle die Gleichungen (4.) und nicht die Gleichungen (2.). 

In dem Ausdrucke: ,,Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwer 
punkts" bezieht sich das Wort Erhaltung darauf, dass die Bewegung des Schwer- 
punkts durch dieselben Gleichungen dargestellt erhalten wird, als wenn keine 
Bedingimgsgleichungen da waren. Wenn z. B. beim Seilpolygon die Verbindung 
der Punkte fortfallend gedacht wird, so werden die Gleichungen der Bewegung 
des Schwerpunkts nicht geandert, denn dieselben sind unabhangig von den Be- 
dingungsgleichungen. Die Modification ist nur die, dass die Summen X i} Y i} 
Zi andere Werthe erhalten, sobald die Coordinaten der einzelnen Punkte andere 
Functionen der Zeit werden. Sind aber diese Summen noch tiberdies Constanten, 
was z. B. der Fall ist, wenn das System allein der Schwere ausgesetzt ist, so 
andert sich in der Bewegung des Schwerpunkts durch die Bedingungsgleichungen 
gar nichts. 

Vierte Vorlesimg. 

Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft. 

Eine Hypothese iiber die Variationen, die sich unter alien Umstanden 
mit den Bedingungsgleichungen vertragt, ist, dass man fiir jeden Werth von i 

dx. dy. dz. 

^ = ~dt, Sy^^dt, * = -* 



19 



setzt. Fiihren wir diese Werthe der Variationen in die symbolische Grleichuno- (2.) 
der zweiten Vorlesung ein, welche fiir den Fall der Existenz einer Kraftefunction 
gilt, so geht dU in dU iiber, und wir erhalten nach Division durch dt 

as. das. d y. dy. d\ dz } dU 



^ dt dt 3 dt dt 2 dt I ~ dt 
Diese G-leichung lasst sich direct integriren; ihr Integral ist 



wo h die willkilrliche Constante der Integration ist. Bezeichnet man das Element 
des von der Masse m- t in der Zeit dt durchlaufenen Weges mit ds s , ihre Ge- 
schwindigkeit mit v i} so hat man 



^ y , ( ^ - ( ^V- * 

dt) h \dt ) h \Wj "\~dt ) ~ ** 



die obige Gleichung nimmt also die Form an: 

%2m.v* = U+h. 

Dies ist der Satz von der lebendigen Kraft. Lebendige Kraft eines 
Punktes nennt man namlich das Quadrat seiner Geschwindigkeit multiplicirt in 
seine Masse; die lebendige Kraft eines Systems ist gleich der Summe der leben 
digen Krafte der einzelnen materiellenPunkte. Demnach lasst sich die Grleichung (1.) 
in "Worten so aussprechen: Die halbe lebendige Kraft eines Systems ist gleich der 
Kraftefunction vermehrt um eine Constante. 

Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft ist, wie die Herleitung 
desselben gezeigt hat, unabhangig von den Bedingungsgleichungen, und hierauf 
beruht ein grosser Theil seiner Wichtigkeit. Es gilt, sobald die Kraftefunction 
existirt; eine Erweiterung der Falle, in welchen die Kraftefunction eingefiihrt 
werden kann, musste auch eine Ausdehnung dieses Princips mit sich filhren. 
Daher ist nach unserer frilheren Bemerkung Daniel Bernoulli derjenige, welcher 
dieses Princip zu seiner heutigen allgemeinen Bedeutung erhoben hat, wahrend 
man es vor ilim nur fiir Attractionen nach festen Centren kannte. 

Durch Subtraction zweier Gleichungen (1.), welche fiir zwei verschiedene 
Zeiten selten, kann man die willkiirliche Constante h eliminiren und erhillt dann 

o 

den Satz: Bewegt sich ein System von einem Ort zum anderen, so ist die Different 
der lebendigen Kraft des Systems fur Anfang und Ende gleich der Differenz 
zwischen den Werthen der Kraftefunction fur dieselben Momente. Die Aenderung 



20 

der lebendigen Kraft ist also nur von dem Anfangs- und Endwerth der Krafte- 
function abhangig, die Mittelzustande haben auf dieselbe keinen Einfluss. Um 
dies anschaulicher zu machen, nehmen wir an, es bewege sich ein Punkt auf 
einer beliebigen Curve von einem gegebenen Anfangspunkt nach einem gegebenen 
Endpunkt hin; ist nun die Anfangsgeschwindigkeit gegeben, so ist auch die 
Endgeschwindicrkeit eine und dieselbe, die dazwischen liegende Curve mag ge- 

o O 7 O O O 

staltet sein, wie sie wolle. Die Geschwindigkeit muss hier natiirlich nach der 
wirklich erfolgenden Bewe;uno; in der Richtuna; der Tangente der Curve ge- 

O o O O O O 

messen werden; derjenige Theil der Geschwindigkeit, welcher, wenn der ur- 
spriinglich dem Punkte mitgetheilte Stoss nicht in der Richtung der Tangente 
der Curve wirkt, durch den Widerstand derselben vernichtet wird, ist hier nicht 
mitzurechnen. Dieselbe Unabhangigkeit von der Gestalt des durchlaufenen 
Weges findet auch bei einem System statt. Als Corollar hiervon ergiebt sich 
der Satz: Wenn die Bewegung eines Systems von der Art ist, dass es in dieselbe 
Lage zuruckkehren kann, so ist bei der Ruckkehr auch die lebendige Kraft die 
selbe; wobei vorausgesetzt wird, dass das Princip der lebendigen Kraft iiberhaupt 
gilt. Auf diese Unabhangigkeit von der Gestalt des durchlaufenen Weges oder, 
was dasselbe ist, von den Bedingungsgleichungen (denn von diesen wird die 
Gestalt des durchlaufenen Weges bestimmt) bezieht sich im Namen des Princips 
das Wort Erhaltung. 

Der Ausdruck lebendige Kraft ruhrt von der Bedeutung her, die dieses 
Princip in der Maschinenlehre hat, deren Basis dasselbe seit Carnot geworden 
ist. Man hat in dieser Disciplin festgesetzt, dass die Halfte der lebendigen 
Kraft, also ^^m^, gleich der Arbeit der Maschine, oder, wie man sich in 
diesen practischen Dingen ausdrilckt, ^^Sn^vl dasjenige ist, was an einer Maschine 
bezahlt wird. Dies verhalt sich namlich so: Man nimmt in der Maschinenlehre, 
insofern die Reibung nicht in Betracht gezogen wird, als Princip an, dass nur 
zur Fortbewegung einer Masse in der Richtung der auf sie wirkenden Kraft 
(und zwar im entgegengesetzten Sinn ihrer Wirkung) Arbeit erforderlich ist, 
wahrend eine Bewegung in einer darauf senkrechten Richtung ohne Arbeit ge- 
schieht. Man nimmt ferner an, dass die Arbeit einer Maschine gemessen wird 
durch das Product der bewegenden Kraft in den Weg, den die von ihr in Be 
wegung gesetzte Masse zuriickgelegt hat. Ein Gewicht horizontal fortzuschieben 
wird also nicht als Arbeit angesehen, sondern nur es zu heben, und die Arbeit 
des Hebens wird gemessen durch das Product des gehobenen Gewichts in die 



21 

Hohe, um welche es gehoben worden. Dies 1st die Arbeit, welche z. B. bei 
der Ramme bezahlt wird. 

In einem System von materiellen Punkten ist jeder derselben Angriffs- 
punkt der in ihm wirkenden Kraft. Indem diese Angriifspunkte bei der Be- 
wegung des Systems verschoben werden, milssen auch die in ihnen wirkenden 
Krafte verschoben werden. Aber die Verriickung der Angriffspunkte geschieht 
im Allgemeinen nicht in der Richtung der Krafte, die in ihnen thatig sind, 
sondern unter irgend einem Winkel gegen dieselbe; daher muss man, um die 
Arbeit des Systems zu bekommen, die Kraft nicht in den durchlaufenen Weg 

multipliciren, sondern in die Projection des durchlaufenen Weges auf die Richtung 

d?x d 2 y d?z. 

der Kraft. In dem Punkt m^ wirken die Krafte ^T^-, w f ^-, mi-^- und 

zwar wirken dieselben parallel den Coordinatenaxen. Die Verriickung von m ; 
in dem Zeitelement dt ist ds^ die Projectionen derselben auf die Coordinaten 
axen sind respective dx t , dy^ dz t , daher ist die auf Fortbewegung des Punktes m, 
verwandte Arbeit im Zeitelement dt 

x. d. d 2 z. 



und die bei der Bewegung des ganzen Systems im Zeitelement dt geleistete Arbeit 



woraus man fur die Arbeit in der von bis ^ verflossenen Zeit erhalt 

^\Zm.v* 2m.v 2 j. 

* * it II 

(t=e,) (t=t a ) 

Die halbe Differenz des Anfangs- und Endwerthes der Summe -Zm^r? ist also 
das Maass fur die Arbeit des Systems. Dies ist der wahrscheinliche Grund 
des von Leibniz fur diese Summe eingefuhrten Namens ^lebendige Kraft", iiber 
dessen Entstehung man viel gestritten hat. 

In dem Fall, wo die Kraftef unction eine homogene Function ist, und 
wo man es mit einem freien System zu thun hat, kann man dem Satz von 
den lebendigen Kraften, der in Gleichung (1.) enthalten ist, eine sehr interessante 
Form geben. U sei eine homogene Function der & ten Dimension; dann ist be- 

kanntlich 

dU 6U 8U\ 
^= --- hy,-jj --- H-*,-3s--| = kU. 

dx. dy i dz. ) 

Hat man es mit einem freien System zu thun, so kann man 

x. = x.w du. = .u) Sz. = 2.0) 





22 

setzen, wo co eine unendlich kleine Grosse bezeichnet, und erhalt dann mit 
Beriicksichtigung der Gleichung fur die Homdgeneitat von U 

dU=kU. m . 
Daher wird unsere symbolische Gleichung (Gl. (2.) der zweiten Vorlesung) 

d?y. d 2 z. 



2m. 



. y. z. \ 

hy. W \-z- 7 I I = kU. 
y * dt* l dt* J 



wo der gemeinschaftliche Factor oj weggelassen ist. Addiren wir hierzu die 
mit 2 multiplicirte Gleichung (1.), so erhalten wir 

dz. 



oder 

dy. dz. 



oder auch 

i^m ; .^( 
oder, wenn wir 

setzen und mit 2 multipliciren: 
(2.) 



Der Ausdruck ^m^r] kann auf eine merkwurdige Art umgeformt werden, namlich 
so, dass nicht mehr die Entfernungen aller Punkte vom Anfangspunkt der Coor- 
dinaten vorkommen, sondern nur die gegenseitigen Entfernungen der Punkte 
und die Entfernung des Schwerpunkts vom Anfangspunkt der Coordinate)!. 
Transformationen dieser Art sind Lieblingsformeln von Lagrange. Die in Rede 
stehende erhalt man folgendermassen: 
Es ist, wie leicht einzusehen, 



wo auf der rechten Seite die Summe nur auf verschiedene Werthe von i und i , 
jede Combination einmal gerechnet, auszudehnen ist. Aehnliche Gleichungen 
giebt es fiir y und z; addirt man alle dref, so erhalt man 



= m.m, x- 

Nun fiihre man wie friiher die Coordinate!! des Schwerpunkts ein und setze 

2m. = M. 2m.x. = MA, 2m.y. = MB, 2m.z. = MC, 

l 11 id i l l 



23 

ferner bezeichne man die Entfernung der Punkte m t -, m f , von einander mit r..,; 
alsdann 1st 

(3.) M2m.r*. M\A^B^C*} = S 

Hierin hat man nach dem Friiheren 

A = aW-+-a t, B = p+pt, C = 
zu substituiren. Fiihrt man diese Substitutionen aus und differentiirt zweimal 
nach der Zeit, so kommt 



und wenn man dies in die Gleichung (2.) einfuhrt, 
d*(2m.m. r 2 . ) 



oder endlich, wenn man 

4A 2J|i/(a M-/& 8 -l-y a ) = 47* 
setzt, 



^ 

In der Gleichung (3.) sind die Grossen r i die Radien Vectoren der ma- 
teriellen Punkte des Systems vom Anfangspunkt der Coordinaten aus gerechnet, 
der Radius Vector des Schwerpunkts von ebendaher gerechnet; 



diese Grossen andern sich daher, sobald man den Anfangspunkt der Coordinaten 
veriest. Die Grossen r {i , sind dao-egen unabhangig von der Wahl des Anfangs- 

f ) fc O O O O O 

punkts der Coordinaten, denn sie sind die Entfernungen je zweier Punkte des 
Systems unter sich. Man nehme nun den Schwerpunkt zum Anfangspunkt der 
Coordinaten, wodurch A 2 -\-B 2 -+-C- = wird; zu gleicher Zeit bezeichne man 
die Radien Vectoren vom Schwerpunkt aus gerechnet mit ^ i} dann geht die 
Gleichung (3.) tiber in 

(5.) M2m.p 2 =2 m.m.,r?. . 

^ / i"i i i 1,1 

Wenn man aus dieser Gleichung und (3.) Stf^Tin^r^, eliminirt, so ergiebt sich: 
(6.) 2m.r? = 2m.Q f-}-M(A*-i-B 2 -t-C^ 

d. h. die Summe Smpl fiir irgend einen Punkt genommen (wenn derselbe als 
Anfangspunkt der Coordinaten betrachtet wird) ist gleich derselben Summe fiir 
den Schwerpunkt, vermehrt um das in die Summe der Massen aller materiellen 
Punkte multiplicirte Quadrat der Entfernung jenes Punktes vom Schwerpunkt. 



24 

Hieraus sieht man, dass JEm^f fur den Schwerpunkt ein Minimum ist, und dass 
diese Grosse proportional dem Quadrate der Entfernung vom Schwerpunkt 
wachst; ^ r m i r] wird daher einen constanten Werth annehmen fiir alle Punkte, 
die auf der Oberflache einer um den Schwerpunkt als Mittelpunkt beschriebenen 
Kugel liegen. Ein ahnlicher Satz gilt fiir die Ebene, wo der geometrische Ort 
der Punkte, fiir welche ^m^l constant bleibt, ein Kreis ist. 

Die Formel (6.) konnen wir auch selbstandig beweisen. In der That 
verriicken wir unser friiheres ganz beliebiges Coordinatensystem parallel mit sich 
selbst, so dass der neue Anfangspunkt der Coordinaten in den Schwerpunkt 
fallt, und bezeichnen in dem neuen Coordinatensystem die Coordinaten unserer 
n materiellen Punkte mit ,, ^, ^: 2 ? ^. 2 , 3 ; ... , ij n , ,, so haben M r ir 
fiir jedes i 



wo A, B, C als Coordinaten des Schwerpunkts durch die Gleichungen 
Sm. = M. 2m.x. = MA, 2m.y. = MB, 2m.z. = MC 

I II \O i 11 

definirt werden. Daher ist 

2m. r? = 2m. x*. -\-^m.ii^.-}-2m.z^ 



Nun ist aber 

MA = 2m.x. = 2m.%.-{-2m..A = 2m. %. -\-MA, 
daher 

ebenso 

5m. 
Hierdurch erhalten wir 



iibereinstimmend mit Formel (6.). 

Eine ahnliche Formel ergiebt sich fiir die Differentiale. Aus unseren 
bisherigen Formeln namlich finden sich die Differentialformeln 
dx. = dg.-i-dA, dy. = d^.-+-dB, dz. = d.-\-dC, 

2m.d$. = 0, 2m.dij. = 0, 2m.d. = 0, 
und hieraus erhalt man 



25 



oder, wenn wir durch dt 2 dividiren, 

da; 



^ 



d. h. die absolute lebendige Kraft des Systems 1st gleich der relativen leben- 
digen Kraft desselben in Beziehung auf den Schwerpunkt (oder, wie man sich 
ausdriickt, um den Schwerpunkt) vermehrt um die absolute lebendige Kraft 
des Schwerpunkts. Daher ist die absolute lebendige Kraft des Systems immer 
grosser als seine relative lebendige Kraft um den Schwerpunkt. 

Man kann die relative lebendige Kraft um den Schwerpunkt in den Satz 
der lebendigen Krafte einfuhren. Dieser Satz war in der Gleichung 

dz. 



enthalten. Transformirt man die linke Seite dieser Gleichung mittelst der Glei 
chung (7.), so findet sich 

(Y^.y (dri.\* /^-Vl *,f(dA\* (dBY- idC\ 2 } 

l2mA[r-\ -f- 1 r-l -h r~ f = U-\-h*M\\ -- 1 -hi- T-| H-l- -) f- 

l IV dt J \ dt ) \ dt ) J IV dt J \ dt ) \ dt J J 

Es ist aber 



also dasselbe, was wir bisher mit h bezeichnet haben. Mithin wird 



Der Satz der lebendigen Krafte gilt also ebensowohl fiir die relative lebendige 
Kraft um den Schwerpunkt, als fiir die absolute; es andert sich hierbei nur 
die Constante h in h . Man darf tibrigens nicht vergessen, dass hier voraus- 
gesetzt wird, es gelte das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwer 
punkts; denn auf dieser Voraussetzung beruht die Substitution von or 2 -f-// 2 -i-/ 2 

f ur r^Ly_ h f^.y_ t _r^.y. Das Resultat (8.) konnte man iibrigens vorher- 

sehen. In der That, falls das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwer 
punkts gilt, sind U und die Bedingungsgleichungen nur von den Differenzen 
der Coordinaten abhangig; diese Ausdrucke bleiben also ungeandert, wenn man 

Jacobi, Werke. Suppleinentband (Dyiiamik). 



26 

I,., ty, an die Stelle von x t , y iy z i setzt, wo 



* > 



dt* dt* dt> 

d*. d*. d d-z. 



dt> dt 2 dt> dt 2 dt* dt* 
Die symbolische G-leichung 



d 



j, 

dt* l dt 2 y * dt 2 

und die Bedingungsgleichangen des Problems gelten also noch, wenn man fur 
x t , y it z^ ... die Grossen |,., ^,., ^ setzt, d. h. diese Gleichungen gelten eben 
so wonl fiir die relative Bewegung um den Schwerpankt als fur die absolute. 
Dasselbe musste daher auch mit der daraus gezogenen Consequenz, dem Satz 
der lebendigen Kraft, der Fall sein, wobei sich freilich die Constante der In 
tegration andern konnte, was auch wirklich eintritt. 

Aus der obenstehenden Auseinandersetzung sieht man, dass man im 
Falle der Giiltigkeit des Princips der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts 
nur nothig hat, die relative Bewegung des Systems um den Schwerpunkt zu be- 
stimmen. Alsdann suche man die Bewegung des Schwerpunkts, und man er- 
halt aus der blossen Addition beider Bewegungen die absolute Bewegung des 
Systems. 

Das Sonnensystem liefert ein Beispiel fiir diese Kategorie von Problemen. 
Aber wir kennen nur seine relative Bewegung. Zur Bestimmung der Bewegung 
des Schwerpunkts fehlen uns alle Data; denn hierzu musste es wirkliche Fix- 
sterne geben, was sehr zweifelhaft ist, und diese mussten uns so nahe sein, dass 
sie in Beziehung auf eine 40 Millionen Meilen lange Linie (grosse Axe der Erd- 
bahn) eine einigermassen in Betracht kommende Parallaxe gaben. Argelander hat 
in neuerer Zeit die Verhaltnisse von # :/? :/ (Siehe Gl. (3.) der dritten Vor- 
lesung), d. h. die Richtung der Bewegung des Schwerpunkts zu bestimmen ge- 
sucht und zwar nach einer von dem alteren Herschel angeregten Idee; indessen 
beruht diese Bestimmung nur auf Wahrscheinlichkeitsgrunden. 

Wir kehren jetzt wieder zur Gleichung (4.) zuruck, welche fur den Fall, 
wo U eine homogene Function & ter Ordnung ist, das Princip der Erhaltung der 



27 
lebendigen Kraft in der interessanten Form 



enthielt. Hit Berucksichtigung der Gleichung (5.) kann man hierfiir schreiben 



wo die s o, die vom Schwerpunkt aus gezogenen Radien Vectoren sind. Fur das 
Sonnensystem ist k=l, also hat man 



wo 

m.m. 



Ueber diese Gleichung lassen sich mehrere Betrachtungen anstellen. Ware die 
Attraction umgekehrt proportional nicht dem Quadrate der Entfernung, sondern 
dem Cubus derselben, so konnte man die obige Gleichung integriren. Denn in 
diesem Falle ware k=2, 2&H-4 = 0, also, wenn Zm^ zur Abktirzung mil 
R bezeichnet wird, 



. 

Aber alsdann wilrde das Sonnensystem auseinandergehen, denn eine zweimalige 
Integration ergiebt: 

R = 2h t*+h"t-i-h" , 

es wiirde also mit wachsender Zeit R ins Unendliche wachsen. Da aber 
R = ^ m i^i, so miisste wenigstens ein Korper des Sonnensystems in eine un- 
endliche Entfernung vom Schwerpunkt desselben rucken. 

Aehnliche Betrachtungen zeigen, dass fur den wirklichen Fall des Sonnen 
systems, d. h. fur die dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportionale 
Attraction die Constante h negativ sein muss, wenn das Sonnensystem stabil 
sein soil. In der That, insofern im Sonnensystem nur anziehende Krafte wirken, 
ist die Kraftefunction U eine ihrer Natur nach positive Grosse. Nun hat zwar 
Bessel die Hypothese gemacht, dass die Sonne eine abstossende Kraft gegen die 
Kometen besitze, und hat hiermit die Erscheinung in Verbindung gebracht, dass 
alle Kometenschweife von der Sonne abgekehrt sind; indessen ist dies doch noch 
nichts Gewisses und man wird vorliiufig bei allgemeinen Betrachtungen von 

O O O 

4* 



28 

dieser abstossenden Kraft absehen mussen. Demnach ist also U eine noth- 
wendig positive Grosse. Dies vorausgesetzt, erhalten wir durch Integration der 
Gleichung 

d*R 
dt* 

zwischen den Grenzen und t 

dR 

~dt " 

o 

oder, wenn cc den kleinsten Werth von U zwischen den Grenzen und t 
bedeutet, 



wo R n der Werth von j fur t = ist. Die zweite Integration dieser Gleichung 

dt 

zwischen den Grenzen und t giebt, wenn R der Werth von R fur t = ist, 
oder 

Hier ist a eine nothwendig positive Grosse, da U seiner Natur nach positiv ist. 
Ware nun 2h positiv, so ware es auch #H-2A , also wiirde R mit wachsen- 
dem t ins Unendliche wachsen, d. h. das Sonnensystem ware nicht stabil; 2/i 
muss also negativ sein. Aber sein numerischer Werth darf nicht grosser sein 
als der grosste Werth, den U zwischen und t annimmt; denn sonst waren alle 

Elemente des Integrals 2 1 (C/-f-2/i )cft negativ, man konnte daher 



. 

setzen, wo fi eine positive Grosse ist, namlich der kleinste numerische Werth, 
den U-h*2ti zwischen und t annimmt; die Integration giebt 



d. h. 7? naherte sich mit wachsendem t der negativen Unendlichkeit, was absurd 
ist, da R eine Summe von Quadraten bedeutet. Man kann alle diese Betrachtungen 
in der Behauptung zusammenfassen, dass U-\-2h in den Grenzen der Integration 
weder lauter positive, noch lauter negative Werthe haben kann, die Stabilitat 
des Sonnensystems vorausgesetzt. /H-2/i muss also vom Positiven zum Negativen 
fortwahrend heriiber und hiniiberschwanken, d. h. U muss um 2h herum- 



29 

schwanken. Diese Schwankungen von U mtissen aber in bestimmten endlichen 
Grenzen eingeschlossen sein; denn gesetzt. 7werde zu einer Zeit unendlich gross, 

m i m i> 
so kann dies, da U = 2 - ist, nur dadurch geschehen, dass sich zwei Korper 

w 

unendlich nahe kommen. Da dann ihre Attraction unendlich gross wird, so 
wiirden sie sich nie wieder trennen konnen; es bleibt also von der Zeit an ein 
bestimmtes r {>i , = 0, mithin 17=00, und es wird, sowie man uber diese Zeit 

hinaus integrirt, I l(t/-h2A )^ 2 , mithin auch R, einen unendlich grossen positiven 

Werth erhalten, welchen Werth auch h habe. Es mtissten also andere Korper 
des Sonnensystems sich unendlich weit entfernen, mithin mtisste die Stabilitat 
aufhoren. U muss also um 2A herum Schwankungen machen, die zwischen 
bestimmten endlichen Grenzen eingeschlossen sind, von welchem Verhalten die 
periodischen Functionen ein Beispiel geben, deren constanter Term = 2 A ist. 
Dies wird durch die Formeln fur die elliptische Bewegung bestatigt. In diesen 

ist U= . 2/i = , (abgesehen von einem constanten, beiden Grossen eemein- 
r a ^ 

samen Factor) r muss also um a herumschwanken, was in der That der Fall ist, 
ferner muss die Entwickelung von nach der mittleren Anomalie den constanten 



Term - enthalten, und auch dies findet wirklich statt. Bei der g 
a 

Anziehung zweier Korper geben negative Werthe von h die elliptische Bewegung, 
h r = entspricht der parabolischen, und positive Werthe geben die hyperbolische 
Bewegung, was ebenfalls mit unseren Resultaten ubereinstimmt. 

Den Satz, dass U um 2 A oder U-\-2h um Null herumschwankt, kann 
man auch so ausdrticken, dass 2f7-h2A um U herumschwankt; 2J/H-2A ist 
aber nach Gleichung (8.) die lebendige Kraft (um den Schwerpunkt); also muss 
der Werth der lebendigen Kraft um den Werth der Kraftefunction herum 
schwanken. Werden alle Entfernungen im System sehr gross, so wird die 
Kraftefunction sehr klein, also nach dem Satz der lebendigen Kraft auch diese. 
Mithin werden ebenso die Geschwindigkeiten sehr klein, oder je mehr die Ent 
fernungen w T achsen, desto kleiner werden die Geschwindigkeiten; hierauf beruht 
die Stabilitat. 

In diesen und ahnlichen Betrachtungen liegt der Kern der beruhmten 
Untersuchungen von Laplace, Laymuge und Poisson ilber die Stabilitat des Welt- 
systems. Es existirt namlich der Satz: Nimmt man die Elemente einer Planeten- 



30 

bahn veranderlich an und entwickelt die grosse Axe nach der Zeit, so tritt 
diese nur als Argument periodischer Functionen ein, es kommen keine der Zeit 
proportionate Terme vor. Diesen Satz hat zuerst Laplace nur fur kleine 
Excentricitaten und die erste Potenz der Masse bewiesen. Lagrange dehnte 
ihn*) mit einem Federstrich auf beliebige Excentricitaten aus. Poisson endlich 
bewies**), dass er auch noch gilt, wenn man die zweite Potenz der Masse be- 
riicksichtigt; diese Arbeit ist eine seiner schonsten. Bei der Beriicksichtigung 
der dritten Potenz der Masse kommt schon die Zeit ausserhalb der periodischen 
Functionen, aber noch mit denselben multiplicirt vor; wird noch die vierte 
Potenz beriicksichtigt, so tritt t sogar schon, ohne in periodische Functionen 
multiplicirt zu sein, auf. Das Resultat fur die dritte Potenz gabe also noch 
immer Oscillationen um einen Mittelwerth, aber fur t = oo unendlich grosse. bei 
Beriicksichtigung der vierten Potenz sind aber iiberhaupt dergleichen Oscillationen 
nicht mehr vorhanden. Auf ein ahnliches Resultat kommt man bei den kleinen 
Schwingungen ; bei Beriicksichtigung hoherer Potenzen der Verschiebungen kommt 
man hier zu dem Ergebniss, dass kleine Impulse mit wachsendem t zu immer 
grosseren Schwingungen fiihren. 

Aber alle diese Resultate beweisen genau genommen gar nichts. Demi 
indem man die hoheren Potenzen der Verschiebungen vernachlassigt, nimmt man 
an, dass die Zeit klein sei, und kann nicht hieraus Schliisse auf grosse Werthe 
von t machen. Man hatte sich daher gar nicht wundern diirfen, wenn auch 

C5 

fiir die erste und zweite Potenz der Masse die Zeit schon ausserhalb der pe 
riodischen Functionen vorkame; denn die Berechtigung zur Entwickelung und 
Vernachlassigung der hoheren Potenzen der Masse liegt nur in der Annahme, 
dass t eine gewisse Grenze nicht iibersteigt. Man bewegt sich daher in 
einem Kreise. 

Ein anschauliches Beispiel hiervon giebt das Pendel. Die Stellung, in 
welcher die Kugel senkrecht iiber dem Aufhangungspunkt sich befindet, giebt 
ein labiles Grleichgewicht des Pendels. Man erhalt hier die Zeit ausserhalb des 
Sinus und Cosinus und und schliesst daraus mit Recht, dass ein unendlich kleiner 
Impuls eine endliche Bewegung giebt; aber es ware sehr falsch, aus dem Um- 
stand, dass die Zeit ausserhalb der periodischen Functionen vorkommt, zu 
schliessen, dass die Bewegung des Pendels nicht periodisch sei, denn die Kugel 

*) Mem. de 1 Institut, 1808. 
**) Journal de 1 ecole polytechnique, cah. 15. 



31 



rotirt in dem vorliegenden Fall periodisch um ihren Aufhangungspunkt. Ebenso 
falsch ware es, aus dem Resultate, welches sich bei Berucksichtigung der hoheren 
Potenzen der Masse im Sonnensysteme ergiebt, zu schliessen, dass es nicht 
stabil sei. 



Fiinfte Vorlesung. 

Das Princip der Erhaltung der Flachenraume. 

Indem wir die Annahme machten, dass die Kraftefunction U und die 
Bedingungsgleichungen ungeandert blieben, wenn man sammtliche - Coordinates 
um ein und dasselbe Stuck andert, sammtliche ?/-Coordinaten um ein zweites, 
sammtliche ^-Coordinaten um ein drittes, fanden wir das Princip der Erhaltung 
der Bewegung des Schwerpunkts. Die angegebenen Aenderungen der Coordinaten 
kommen darauf hinaus, dass man den Anfangspunkt derselben verlegt, die 
Coordinatenaxen aber parallel bleiben lasst. 

Wir wollen jetzt eine andere Annahme machen: Es sollen die Bedingungs 
gleichungen ungeandert bleiben, wenn man bei ungeanderter #-Axe die Axen 
der y und z um einen beliebigen Winkel in ihrer Ebene dreht. Setzt man 

y = rcosv, z = rsinv, 

so kommt dies mit der Vermehrung des Winkels v um einen beliebigen Winkel 
d v liberein. Bezeichnet man fiir die verschiedenen Punkte des Systems die 
Winkel v respective mit v^, v 2 , ... v f , .... so miissen also U und die Be 
dingungsgleichungen ungeandert bleiben, wenn sammtliche v um denselben 
Winkel dv geandert werden, d. h. sie miissen nur von den Differenzen -y f v f , 
abhangig sein. Hierher gehort ein ganz freies System und uberhaupt jeder 
Fall, wo nur die Entfernungen je zweier materiellen Punkte des Systems vor- 
kommen. Durch Einfilhrung von r und v wird namlich der Ausdruck fiir eine 
solche Distanz: 



also nur von der Differenz v l v 2 abhangig. Ebenso gehort der Fall hierher, 
wo die Punkte des Systems gezwungen sind, sich auf einer Rotationsflache zu 
bewegen, deren Rotationsaxe die Axe der x ist; alsdann kommen namlich die v 
in den Bedingungsgleichungen gar nicht vor. Ferner ist zu bemerken, dass, 



32 

wenn feste Punkte in dem Problem vorkommen sollen, diese in der Axe der x 
liegen milssen. 

Bei dieser Annahme iiber U und die Bedingungsgleichungen wird man 
also sammtliche v : gleichzeitig um dv vermehren konnen. Hierdurch bleiben 
die Xi ungeandert, die y t und z t aber werden variirt, denn es ist 

y. = r.cosv., z. = r.sinv., 
j i i* t i 

also erhalt man 

x. = 0, Sy i = r.sinv.. dv, z. = r.cosv^v 
= z.dv = y.6v 

als die fur unser Problem geltenden virtuellen Variationen der Coordinaten. 
Die Einsetzung dieser Werthe in die symbolische Gleichung (2.) der zweiten 
Vorlesung fuhrt zu der Gleichung: 

^ =3U; 



fur die angegebenen Verschiebungen bleibt U ungeandert, also ist 3U 0, 
und man hat 



( d?z. d*y. } 

(1.) 2m \y .-rf z.-rr\ = 0. 

* r 4 dt* l dt* J 



Wir wollen hier sogleich bemerken, dass diese Gleichung in dem allgemeineren 
Fall, wo statt SU auf der rechten Seite der Ausdruck (X l &x i -t-Y t &y i -+-Z i faj) 
steht, ebenfalls gultig bleibt, wenn nur 

(2.) ^(F. 2 -Z i2/i .) = 

ist. Ist dieser Ausdruck nicht gleich Null, so tritt er auf der rechten Seite der 
Gleichung (1.) an die Stelle der Null. Nehmen wir also an, dass entweder eine 
Kraftefunction U von der angegebenen Beschaffenheit existire oder dass in dem 
allgemeineren Falle, wo sie nicht existirt, die Gleichung (2.) erfiillt sei. Dann 
gilt die Gleichung (1.) in der oben angegebenen Form; ihre linke Seite ist aber 
integrabel, und man erhalt durch Integration: 

dz. dy. 



wo a die Constante der Integration .bedeutet. Fiihrt man wieder die Polar- 
coordinaten r i und v t ein, so nimmt (3.) die Form an: 

dv. 

(4.) *-* 



33 

In dieser Gleichung 1st das Princip der Erhaltung der Flachen enthalten. Es 
1st namlich bekanntlich r*dv gleich dern doppelten Flachenelement in Polar- 
coordinaten. also ergiebt eine nochmalige Integration der Gleichung (4.) von 
bis t den Satz: Multiplicirt man jeden der Fldchenrdume, welche von den auf 
die Ebene der yz projicirten Radien Vector en in dieser Ebene beschrieben werden, 
in die Masse des dazugehoriyen materiellen Punktes, so ist die Summe der Pro- 
ducte proportional der Zeit. Dies ist das beriihmte Princip von der Erhaltuno- 
der Flachenraume. Es gilt, wie gesagt, wenn U und die Bedino-uno-sgleichuno-en 

O OO- 7 OOO O" 

dadurch nicht geandert werden, dass man die Axen der y und z in ihrer 
Ebene urn die Axe der x dreht, eine Hypothese, welche man fur die Bedingungs- 
gleichungen analytisch so ausdrilcken kann, dass fur jede Bedingungsgleichung 
f=0 die Gleichung 



. ^ -- -^S 

* dy. y * dz. 
/ ( i 

identisch erfiillt sein muss. 

Dass bei der vorhin gebrauchten Transformation ydzzdy = r^dv nur das 
Differential der Grosse v vorkommt, ist ein in vielen Fallen sehr wichtiger Umstand; 
aus dieser Transformation geht unter Anderem auch hervor, dass ydz zdy in 
eine homogene Function 2 ter Ordnung von y und z multiplicirt ein voll- 
standiges Differential ist, da es sich als Product von dv in eine Function von v 
allein darstellt. 

In dem Fall, wo U und die Bedingungsgleichungen auch unverandert 
bleiben. wenn man die Axen der x und z um die der y und die Axen der 
x und y um die der z dreht, hat man ausser der Gleichung (3.) noch zwei 
ahnliche, namlich 

/ dx. dz. 
(5.) j 



/ du. dx. 

(6.) 2m \ x .-^y 

>\ dt Jl dt 

Dies gilt z. B. fiir n sich frei im Raum bewegende Korper; in diesem Fall hat 
man daher immer vier Integrale, die drei Flachensatze und den Satz der leben- 
digen Kraft. 

Es ist ein sehr merkwiirdiger Umstand, auf den wir schon in der Ein- 
leitung aufmerksam gemacht haben, dass von diesen Flachensatzen entweder nui- 
einer gilt, oder alle drei. Wir werden es als ein reines Resultat des Calculs, 
als eine blosse Folgerung einer inatliematischen Identitat bewiesen sehen, dass 

Jacobi, Werke. Supplementband (Uynamik). 5 



34 

der dritte Flachensatz immer aus den beiden anderen folgt. Wenn alle drei 
Flachensatze gelten, so kann man, ohne der Allgemeinheit der Losung ZQ nahe 

O 7 ~ O 

zu treten, zwei der Constanten cc, ft, y gleich Null annehmen. Diese Constanten 
werden namlich in jedem Probleme durch die Bedingungsgleichungen bestimmt; 
aber, wie dieselben auch beschaffen sein mogen, immer lassen sich die Coor- 
dinatenaxen so verlegen, dass im neuen Coordinatensystem zwei der Constanten 
verschwinden. In der That, die neuen Coordinaten seien g i} ^-, , dann sind die 
allgemeinen Transformationsformeln der Coordinaten 

. = ax. -+- by. -+-cz., 

*}.= a as.-t-b y.-i-c z., 



Die Constanten a, b, c, a , b , c , a", b", c" gentigen unter anderen folgenden 
neun Grleichungen : 

b c"b"c = a, c a"c"a = b, a b"a"b = c, 
b"c bc" = a , c"a ca" = b , a "bab" = c , 
bc b c =a", ca c a=b", ab a b=c". 

Demnach ist mit Beriicksichtigung dieser Gleichungen 

da:. d 



daher 



Hieraus sieht man, dass, wenn die Flachensatze fur ein Coordinatensystem in 
alien drei Coordinatenebenen gelten, sie fur jedes Coordinatensystem gelten*). 
Wir wollen die neue Constante aa-\-bfi-^cy unter einer anderen Form darstellen. 



*) Die bisher betrachteten Flachensatze, welche sich auf einen unbeweglichen Anfangspunkt der 
Coordinaten beziehen, kann man auf das Sonnensystem nicht anwenden, weil man im Weltraum keinen festen 
Punkt hat. Aber man uberzeugt sich leicht, wenn man 



setzt, wo A, B, C die Coordinaten des Schwerpunkts sind (dritte Vorlesung), dass die Flachensatze (3.), (5.), (6.) 
auch noch gelten, wenn man fur x i; y { , z. beziehungsweise , t) ; , fa setzt, sobald man zugleich , p, y urn 



verandert. d. h. dass jene Flachensatze auch noch fur den Fall gelten, wo der gleichformig und geradlinig be- 
wegte Schwerpunkt als Anfangspunkt der Coordinaten betrachtet wird. 



35 

Bezeichnet man die Winkel, welche die Axe der mit den Axen der x, y, z 
bildet, mit I, m, n, so 1st 

a = cos/, b = cosm, c = cosn. 
Setzt man noch 



r - = cos/. . = cos w 

8 8 - a 



._ = cosr, 

hjS -f-y 8 la -H3 8 -+-y a V<?H- 2 -f-a 2 

so hat man 

oa-f-6/S-hcy = |/a 2 H-/3 2 -t-y 2 . (cos /cos AH- cos ?^ cos jit + cos w cos o>). 

Aber da cos/PH-cos^-H-cos*/ 2 = 1, so lassen sich 2, ju, v als die Winkel an- 
sehen, welche eine gewisse Gerade L mit den Axen der x, y, z bildet. Be 
zeichnet man den Winkel, welchen . diese Gerade mit der -Axe bildet, mit F, 
so hat man 

cos I cos A-+- cos m cos f.i -+- cos n cos v = cosF, 

also 

. cos F. 



Die Constante des Flachensatzes far die Ebene der t], ist also = V 2 -f-/? 2 H-/ 2 
multiplicirt in den Cosinus des Winkel s, welchen die Axe der | mit der nach 
obiter Angabe construirten Geraden L bildet. Dasselbe o\\i natiirlich ffir die 

O D " 

beiden anderen Flachensatze in dem neuen Coordinatensystem, nur dass statt F 
die Winkel F and F" za nehmen sind, welche die Gerade L mit den Axen 
der t] and bildet. Lasst man nun die Axe der mit der Geraden L zusammen- 
fallen, so wird der Winkel V= 0, zu gleicher Zeit wird F = 90 and F" = 90, 
daher cosF= 1, cosF = 0, cosF" = 0. Hieraus sieht man, dass die Constanten 
der Flachensatze fur die Ebenen der , v\ and |, wirklich Nail werden and zu- 
gleich wird die Constante des Flachensatzes der Ebene der ij, 



d. h. gleich dem Maximum, welches sie tiberhaupt erreichen kann, da ihr Werth 



in der allgemeinen Form yc^+^ ^-h/ 2 . cosF enthalten ist. 

Die auf diese Weise bestimmte Ebene der rj, hat Laplace mit dem Namen 
der unveranderlichen Ebene belegt; er hat geglaubt, dass man sie dazu be- 
nutzen konne, zu finden, ob im Lauf der Jahrtausende Stosse im Sonnens} 7 stem 
vorgekommen sind, da durch solche ihre Lage geandert Averden miisste. Geben 
umgekehrt zAvei zu verschiedenen Zeiten angestellte Messungen verschiedene 
Lagen fur diese Ebene, "so mussen Stosse Avahrend dieser Zeit vorgekommen 
sein. Dies ist aber der geringste Nutzen der unveranderlichen Ebene. Schreiben 

o O 



36 

wir fur die neuen Coordinaten wieder die Buchstaben der friihern x, y, z, so dass 
die Ebene der y, z die unveranderliche wird, so haben wir die drei Flachensatze 
dz. dy. \ ( dx. dz. \ ( dy. dx. 



wo 



( 
y< 



e = 

Fur den Fall zweier Korper kann man diesen Flachensatzen eine interessante 
geometrische Deutung geben. In diesem Fall hat man 

dz. dy. 

~~ - 



dx. dz. 



dy. 



Durch Elimination von m i und m 2 aus den beiden letzteri Gleichungen folgt: 



Diese Proportion hat eine einfache geometrische Bedeutung. In der That, man 
denke sich in m< an die von m, beschriebene Curve eine Tangente gelegt, durch 

1 o O O 

diese Tangente und den Anfangspunkt der Coordinaten denke man sich eine 
Ebene E gelegt, auf diese Ebene eine Normale N^ im Anfangspunkt der Coor 
dinaten errichtet. Die Cosinus der Winkel, welche N i mit den Coordinatenaxen 
bildet, seien p^ q l} r^ dann hat man fur den Punkt m l die beiden Gleichunen 



l -^-r l dat l = 0, 
welche sich auch in Form einer doppelten Proportion schreiben lassen, namlich: 

2V2i : *i = Q/i dz i z i d y^ (z l dx l x l dz^ > : (x^dy.y^x^). 

Ebenso erhalt man, wenn man fur den Punkt m 2 die analoge Construction macht, 
indem man die Ebene E 2 der E l entsprechend und die Normale .A^ der N v ent- 
sprechend construirt und hierdurch die Cosinus p 2 , <? 2 , r 2 bestimmt: 

^ 2 : & : r 2 = (^^2^2^2) : (z^x^dz^ : (x t dy t y^do:^. 

Hieraus geht hervor, dass man die Gleichung (8.) vermittelst der Grossen 
I> ? r \-> z> C > r schreiben kann: 



37 
Die geometrische Bedeutung dieser Gleichung lasst sich leicht finden. Die 

O o c> 

Gleichungen der Geraden N } und N? sincl 

x y z n x _ y z 

Pi " " 2t " " r, p s q, r a 

Daher hat man als Gleichungen ilirer Projectionen auf die Ebene der yz 

y z n y z 

& r i & ~ ~ a 

Aber da q l :?\ = q 2 :?\, so sind diese beiden Gleichungen identisch, d. h. N^ 
und N 2 haben dieselbe Projection in der Ebene der yz, oder auch, N^ und N 9 
liegen in einer Ebene, welche senkrecht auf der der yz steht, und welche, da 
NI und N a durch den Anfangspurikt der Coordinaten gehen, die Axe der x 
enthalt. Hieraus geht fur die Ebenen E^ und E 2 hervor, dass sie die Ebene 
der y, z in einer und derselben Linie schneiden. Es gilt also fur die freie Be- 
wegung zweier Massen m l und w 2 der Satz: 

Wenn man sich in m l und in* Tangenten an die Bahnen der beiden 
Punkte gezogen und durch diese Tangenten und den Schwerpunkt des Systems 
(dieser ist der Anfangspunkt der Coordinaten) Ebenen gekgt denkt, so schneiden 
dieselben die unverdnderliche Ebene (die Ebene der y, z) in einer und derselben 
Geraden. 

Diese geometrische Deutung riihrt von Poinsot her. Ich habe von 
derselben eine interessante Anwendung auf das Problem der drei Korper 
gemacht*). 

Sowie aus dem Satz der lebencligen Kraft die Stabilitat des Weltsystems 
rucksichtlich seiner Dimensionen abgeleitet wurde, so kann das Princip der 
Flachen dazu benutzt werden, die Stabilitat desselben rucksichtlich der Form 
seiner Bahnen zu beweisen. Der fruher erwahnte Beweis sollte zeigen, dass 
die grossen Axen der Ellipsen, in welchen sich die Planeten bewegen, nicht 
liber gewisse Grenzen hinauswachsen konnen; ebenso kann man aus dem Satz 
der Flachen beweisen, dass die Excentricitaten sich nur zwischen gewissen 
Grenzen verandern konnen, und hiervon hangen die Formen der Bahnen ab. 
Aber ausser dem Uebelstande des frilheren Beweises, dass fur die Berucksichtigung 
der hoheren Potenzen dennoch saculare Terme vorkommen, d. h. solche, welche 
die Zeit ausserhalb der periodischen Functionen Sinus und Cosinus enthalten, 



*) Crelles Journal, Bel. 26, p. 11"). Math. Werke, Bd. I, p. 30. 



38 

leidet dieser Beweis an der Unvollkommenheit, dass er nur fur Himmelskorper 
mit einigermassen betrachtlichen Massen gilt. In der Gleichung namlich, aus 
welcher man das in Rede stehende Resultat zieht, sind die einzelnen Terme 
in die Massen der Himmelskorper multiplicirt, und daher influiren die Korper 
mit kleinen Massen so wenig auf die ganze Gleichung, dass man auf ihre 
Excentricitaten hieraus keinen Schluss maclien kann. Die Stabilitat der Form 
der Bahn gilt auch in der That nicht von den Kometen; sie gilt auch nicht 
einmal fur die kleineren Planeten, z. B. den Mercur, dessen Masse so gering 
ist, dass sie bisher nur nach Muthmassungen geschatzt werden konnte, und dass 
der erste von Encke herruhrende Versuch, dieselbe aus Beobachtungen herzu- 
leiten. nur durch die ausserordentliche Nahe moglich wurde, in welche der nach 
ihm benannte Komet dem Mercur kam. 

Wenn zu den gegenseitigen Attractionen der materiellen Punkte noch 
Anziehungen nach festen Centren hinzukommen, so hort das Princip der Flachen 
auf zu gelten, es sei denn, dass diese Centren in einer Geraden liegen. 
Nehrnen wir diese Gerade zur Axe der x, so gilt alsdann der eine Flachensatz 
in der Ebene der y, z, wahrend die andern beiden zu bestehen aufhoren. In 
der That, betrachten wir einen materiellen Punkt m, ; und denken wir uns durch 
denselben eine Ebene E t parallel der Ebene der y, z gelegt. Die Resultante aller 
Anziehungen, welche der Punkt m f durch alle in der Axe der x gelegenen festen 
Centren erleidet, wird von ihm aus nach einem gewissen Punkte der #-Axe 
hin gerichtet sein; man kann daher diese Kraft in zwei zerlegen, von denen 
die eine parallel der Axe der x durch den Punkt m geht, die andere von dem 
Punkt m.; nach dem Durchschnittspunkt der Ebene E i mit der Axe der x ge 
richtet ist, und daher in dieser Ebene liegt. Die letztere Kraft wollen wir mit 
Qi bezeichnen und dieselbe in zwei Componenten parallel den Axen der y und z 
zerlegen. Behalten wir die fruheren Bezeichnungen bei, so ist die Componente 
parallel der ^/-Axe 



und die Componente parallel der ^ 

= Q.s mv.. 

Daher kommt in der symbolischen Gleichung der Bewegung zu dem. fruheren 
SU jetzt noch der Ausdruck 

2Q. (cos v. . dy. -+- sin v . dz t ) 
hinzu. Wir haben also, wenn wir unter U nur denjenigen Theil der Krafte- 



39 
function verstehen, welcher von der gegenseitigen Attraction der Punkte herruhrt, 



oder, wenn wie oben 

x. = 0, dy. = r.sinv.dv = z.dv, z. = r. cosv.dv = y.dv 

i 3 i 11 i i I I "I 

gesetzt wird, wodurch dU verschwindet, 

d\i. 

VI 



( d z. d y. \ 

2m. y. W z. r - s - I = 0, 

8 V * dt* * dt 2 ) 



und daher durch Integration 

(dz { dy. \ 

ii. ~ z. ^ I = a, 
y& dt l dt ) 

d. h. das Princip der Erhaltung der Fliichen gilt fiir die Ebene, auf welcher 
die Gerade senkrecht steht, in der sammtliche festen Centra enthalten sind. 
In diesem Fall hat man also zwei Integrale, den Satz der lebendigen Kraft 
und einen Flachensatz. Treten aber in das Problem mehrere feste Centra ein, 
welche nicht in gerader Linie liegen, so existirt kein Flachensatz mehr, und 
man hat nur noch das eine Integral des Princips der lebendigen Kraft. 

Nimmt man uberdies an, dass die Centra nicht fest seien, sondern eine 
eigene, von den iibrigen materielleri Punkten des Systems unabhangige Bewegung 
haben, so dass diese Bewegung eine gegebene Function der Zeit ist, so hort 
auch das Princip der lebendigen Kraft zu bestehen auf. Solche Falle kommen 
in der Natur vor; hierher gehort z. B. die Attraction eines Kometen durch 
Sonne und Jupiter, wo die Bahnen von Sonne und Jupiter als gegeben anzu- 
sehen sind, und der Komet als ein materieller Punkt, der auf jene Bahnen gar 
keinen Einfluss hat. Hier hort, wie gesagt, das Princip der lebendigen Kraft 
zu bestehen auf; denn dieses beruht wesentlich darauf, dass man fur die Ent- 
fernung / eines materiellen Punktes (x, y, z) von einem Centrum (, 6, c) die 
Difterentialgleichung 

xa y b z c , 

dr = - e/tf-f-- dy-\ dz 

r r r 

hat. Aber diese Differentialgleichung setzt voraus, dass , b, c Constanten sind; 
sie hort also in unserem Falle zu bestehen auf und mit ihr das Princip der 
lebendigen Kraft. Man kann zwar noch immer die auf die einzelneri Punkte 
wirkenden Krafte als partielle Differentialquotienten einer Function U darstellen, 



40 

aber diese Function enthalt jetzt ausser den Coordinaten noch die Zeit explicite; 
es ist daher jetzt nicht mehr 

dU ( dU dx. dU dy. QJJ dz. 



* 



dt \dx. dt dy. dt dz. dt 

. i *Ji i 

sondern es kommt jetzt auf der rechten Seite noch der partielle Differential- 
quotient -3 hinzu, so dass 

x i dUdy. dU dz.\ dU dU 



v. dt dy. dt dz. dt J dt dt 
Nun war die Differentialgleichung des Satzes der lebendigen Kraft 

dy. d*y. dz. d*z.\ ( r>TT dx. f)TT dy. ATT dz. 

J t &i i, i \ / l-> U t . U U Ml , U U ( 



dt dt* dt dt* dt dt* J ~\dx. dt ^ dy. dt dz. dt 

I 3 1 I 

dl 
dt 



Diese wurde, indem man fiir die rechte Seite ^ setzen konnte, integrabel. 



Jetzt aber muss man fiir dieselbe 1 -r setzen und kann daher nicht mehr 

dt dt 

mtegriren. Wenn man in der Grleichung 

< o 

(dx. d x . dy . c I y . dz . d z. \ d TJ d U 
V r^r I r^ ^r I ir~ I = , 
dt dt* dt dt* dt dt* J dt dt 

U in die Summe U-t- V zerfallt denkt, wo V die Zeit explicite enthalt, 7" aber 
nicht, so ergiebt sich 

rq , v fd^_^_ dy^d^ d^d^A __ dU dV dV 

A dt dt* dt dt* dt dt* ) ~~ dt ~ dt dt 

Dies ist die Gleichung, welche an die Stelle der Differentialgleichung 
des Princips der lebendigen Kraft tritt, die aber jetzt kein Integral mehr liefert. 
Ebenso wenig gilt jetzt noch das Princip der Flachen; man hat also kein einziges 
Princip, welches ein Integral gitbe. Dennoch habe ich beinerkt, dass es eine 
Hypothese tiber die Bewegung der festen Centren giebt und zwar eine dem 
eben erwahnten Fall der Natur sehr nahe kommende Hypothese, unter deren 
Anriahme man aus der Combination beider Principe ein Integral erhalten kann. 
Diese Hypothese besteht darin, dass man annimmt, die festen Centren bewegen 
sich in Kreisen mit gleicher Winkelgeschwindigkeit um eine und dieselbe Axe, 
so dass man fiir die Coordinaten irgend eines Centrums (, b, c) 

a = Const., b ficosnt, c = fisinnt 

habe, wo n fiir alle Centren denselben Werth hat, und wo die .r-Axe gemein- 
schaftliche Rotationsaxe ist. Dies kommt in der That mit dem Fall der Natur 



41 

sehr nahe uberein, denn Sonne and Jupiter bewegen sich in der Ekliptik um 
ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt in Ellipsen mit sehr kleiner Excentricitat 
(ungefahr = -9*0)5 die mithin als Kreise anzusehen sind. Ihre Umlaufszeit ist 
o-leich "TOSS, und setzt man diese = T, so hat man zur Bestimmung von n die 

O o " 

Grleichung iiT = %n. 

Wir wollen nun untersuchen, was in diesem Fall aus der Differential- 
gleichung des Princips der Flachen wird. Wenn wir der Allgeineinheit wegen 
ausser den Centren nicht einen einzelnen materiellen Punkt annehmen, sondern 
ein ganzes System von Punkten, so wird in unserem Fall die Kraftefunction 
aus zwei Complexen von Termen bestehen. Der erste Complex riihrt von der 
gegenseitigen Attraction der materiellen Punkte her und umfasst Glieder der Form 

m.m.. 



oder, wenn wir wieder, wie im Vorhergehenden, r t und v { einfuhren, der Form 



1/C^. ^.,) 2 -f-r 2 -hr 2 2r.r.,cos(v. w.,) 

1 \ I i t t I I ^ I i S 

Der zweite Complex riihrt von der Anziehung der Centren her und umfasst 
Glieder der Form 

m.fi 



oder, wenn wir auch hier r,- und v { einfiihren und zugleich 6 = /?cos?^^ c = fismnt 
einsetzen, 

m 1 



/n \ _ . 

V(*. a) 2 -h r 2 + /3 2 2r . p cos (v. nt) 

Beide Complexe bleiben unverandert, wenn man alle Grossen v f um dieselbe 
Quantitat vergrossert und zugleich t um den n ten Theil derselben, wenn man 
alsoffur jeden Werth von i 

<$v. = ndt 

setzt, welche Variationen fur unseren Fall virtuelle sind. Wir wollen den ersten 
Complex von Termen U, den zweiten V nennen. 
In der allgemeinen syinbolischen Gleichung 

( d?x. d?\i. d 2 z. \. / 5/7 an SU \ 

x-l * if tl -v/^^v ^^r * * i 

2m\ dx.-\- , dy.-\ -- j^-feJ = ^ -x oas t -\ -, ^y.H dz.\ 

l \ dt 2 l dt* df 7 V dx i di/i l dz. l ) 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynatnik). 6 



42 

tritt in diesem Fall U-h V an die Stelle von U, also wird die rechte Seite 
dU , 



In 7 ist t nicht explicite enthalten, die erste Summe wird daher gleich dU; in V 

aber ist if allerdings explicite enthalten, es fehlt also zur zweiten Summe noch 

8V 8V 
-fl-dt, um das vollstandige c?F zu geben, d. h. sie ist gleich dV inr 

man hat 



dt* 

Die obigen Variationen sind aber so eingerichtet, dass U und V durch sie un- 
geandert bleiben, daher hat man dU=0 und dV=0: ferner ist 

O 7 

^v/> fl /i?i -y cinfli /TJI "ft? n"f" n? ~^^^ *)* PAG?i /Vji / M1/ /i/ 

C/t*/ . \_/, l/c/ . / . S1.U V .\JU . H/f^ . l/t/ \JM . / -\j\JjU.UU. fbU. (J I, , 

i Jt ii i * . i t i t vi 

also 

HO.) n ^m \v - z I = 

V *S v ^* . I <J . 7.2 i fl4^ I J^-/ 

\ at at / QI 

Dies ist die Gleichung, welche in unserem Fall an die Stelle der Differential- 
gleichung des Princips der Flachen tritt; V ist ein Aggregat von Termen der 
Form ($.), wo n in alien Termen dasselbe sein muss, alle ubrigen Grossen aber 
von einem Gliede zum anderen verschiedene Werthe annehmen konnen. - - Nun 
war die Gleichung (9.) 

(das. d^x. dy. d*y. dz. d*z.\ dU dV 8V 

>/^vi I . 1 L_. ^_ I . [ 

\ dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2 ) dt dt dt 
oder 

d 



\( ^ V (^ \> i^Y} 
IV dt ) " h \ dt ) { ~\dt)}~ 



_ 

~*< dt I dt ) "\ dt \dt~ dt " dt ~ dt 

Wenn man (10.) von dieser Gleichung abzieht, so erhalt man 

dz iY d * z i d ^\ dU dV 



i 

-arJ 



oder durch Integration 

(fdcc.\^ (dy.Y fdz.\*} ( dz. d 

(no **s{(-^) +(-1) +(--) }-o^(-gi-v 

Dies ist das aus der Combination der Principe der lebendigen Kraft und 
der Flachen entstandene Princip, welches gilt, wenn Attractions -Centra sich 
um eine Rotationsaxe mit gleichformiger Geschwindigkeit bewegen. In diese 
Kategorie gehort zum Beispiel die Bewegung an der Oberflache der Erde oder 



43 

in deren Nahe, denn die Erde ist em Aggregat soldier Anziehungscentren. 
Unter diesen Gresichtspunkt miisste auch in der That die Aufgabe gefasst werden, 
wenn die Verschiedenheit der Dichtigkeit der Erde unter verschiedenen Me- 
ridianen betrachtlich ware. Unter dieser Voraussetzung wiirde, wenn zugleich 
der Mond der Erde naher ware und diese sich langsamer bewegte, die An- 
ziehuno; des Mondes durch die Erde unter Anderem auch eine Function des 

o 

Stundenwinkels sein. Alsdann waren die Momente der Triigheit in Bezug auf 
die verschiedenen Meridianebenen verschieden, was sich in den Beobachtungen 
entdecken lassen musste. 



Sechste Yorlesung. 

Das Princip der kleinsten Wirkung. 

Wir kommen jetzt zu einem neuen Princip, welches nicht, wie die 
friiheren, ein Integral giebt. Dies ist das ^principe de la moindre action", 
falschlich der kleinsten Wirkung genannt. Die Wichtigkeit desselben liest 

o o o o 

erstens in der Form, unter welcher es die Differentialgleichuno-en der Beweguno- 

7 o o o o 

darstellt, und zweitens darin, dass es eine Function angiebt, welche, wenn diese 
Differentialgleichungen erfiillt sind, ein Minimum wird. Ein solches Minimum 
existirt zwar bei alien Aufgaben, aber man weiss in der Regel nicht wo. 
"Wahrend daher das Interesse dieses Princips gerade darin besteht, dass man 
das Minimum allgemein angeben kann, legte man in fruheren Zeiten ein iiber- 
triebenes Gewicht darauf, dass ein solches Minimum ilberhaupt existire. Ein 
Beispiel des in Rede stehenden Princips kommt in der schon friiher citirten 
Abhandlung von Euler r de motu projectorum" vor. Nachdem er daselbst das- 
selbe fur die Anziehungen nach festen Centren bewiesen hat, gelingt ihm dies 
nicht fur gegenseitige Attractionen , fur welche ihm die Greltung des Princips 
der lebendigen Kraft unbekannt war; er begniigt sich daher zu sagen, fiir gegen 
seitige Anziehungen wiirde die Rechnung sehr weitlaufig, indessen miisste das 
Princip der kleinsten Wirkung auch hier gelten, denn die Grundsatze einer ge- 
sunden Metaphysik zeigten, dass in der Natur die Krafte nothwendig immer 
die kleinste Wirkung hervorbringen milssten (wegen der den Korpern inwohnenden 
Trfigheit, wie er meinte). Aber dies zeigt weder eine gesunde, noch uberhaupt 
irgend eine Metaphysik, und in der That ist Euler nur durch Missverstandniss 

6* 



44 

des Namens ^kleinste Wirkung" zu diesem Ausspruch veranlasst worden. 
Maupertuis wollte mit diesem Namen ausdriicken, dass die Natur ihre Wirkungen 
mit dem kleinsten Kraftaufwand erreiche, and dies ist die wahre Bedeutung 
des Namens ,,principe de la moindre action". 

Dies Princip wird fast in alien Lehrbiichern, auch in den besten, in denen 
von Poisson, Layrange und Laplace, so dargestellt, dass es nach meiner Ansicht 
nicht zu verstehen ist. Es wird niimlich gesagt. es solle das Integral 



(worin v i = ^- die Geschwindigkeit des Punktes m ; bezeichnet) ein Minimum 
\ dt 

sein, wenn man das Integral von einer Position des Systems zur anderen aus- 
dehne. Es wird zwar dabei gesagt, dieser Satz gelte nur, so lange der Satz 
der lebendigen Krafte gelte, aber es wird zu sagen vergessen, dass man durch 
den Satz der lebendigen Kraft die Zeit aus obigem Integral eliminiren und alles 
auf Raumelemente reduciren musse. Das Minimum des obigen Integrals ist 
tibrigens so zu verstehen, dass, wenn die Anfangs- und Endpositionen gegeberi 
sind, das Integral unter alien von der einen zur anderen Position moglichen 
Wegen fur den wirklich durchlaufenen ein Minimum wird. 

Eliminiren wir die Zeit aus obigem Integral. Setzen wir v, = ein, 

dt 

so wird 



r r 

2m.v.ds.= 

J l J 



dt 
Aber nach dem Satz der lebendigen Kraft ist 



oder 

Zm.ds* 



dt 2 



dt 
Fiihrt man diesen Werth von ~ ein, so ergiebt sich 

fzm.v.ds. = [V2 



Die Differentialgleichungen der Bew r egung geben integrirt die 3n Coordinaten 
des Problems durch die Zeit ausgedriickt; zwischen je zwei Coordinaten kanri 



45 



man aber die Zeit eliminiren und erhalt, wenn man will, 3n 1 Coordinaten 
durch eine ausgedrtickt, z. B. durch A\. Unter dieser Voraussetzung kann man 

fur m ds* den Ausdruck 2m\ -I dx 2 substituiren und erhalt demnach das 

\das 1 ) 

Integral in der Form 



mit welcher nun ein ganz bestimmter Begriff verbunden ist. Lassen wir, mn 
keiner Coordinate den Vorzug; zu geben, das Integral in der friiheren Form 

O o O 



so konnen wir das Princip der kleinsten Wirkung so aussprechen: 

Sind zivei Positionen des Systems gegeben (d. h. kennt man die Werthe, 
welche fur x l = a und x l = b die ubrigen 3n 1 Coordinaten erhalten), und dehnt 
man das Integral 



auf die ganze Bahn des Systems von der ersten Position zur zweiten aus, so ist 
sein Werth fur die wirkliche Bahn ein Minimum in Beziehung auf alle moglichen 
Bahnen, d. h. solche, welche mit den Bedingungen des Systems (wenn es deren 
giebt) vereinbar sind. Es wird also 



ein Minimum oder 

(1.) dfy2(U+h)]/2m.ds* = 0. 

Es ist schwer eine metaphysische Ursache ftir das Princip der kleinsten Wirkung 
zu finden, wenn es in dieser wahren Form, wie nothwendig ist, ausgesprochen 
wird. Es giebt Minima ganz anderer Art, aus denen man ebenfalls die Differential- 
gleichungen der Bewegung ableiten kann, welche in dieser Riicksicht etwas viel 
Ansprechenderes haben. 

Zu dem Princip der kleinsten Wirkung muss noch eine Beschrankung 
hirizugesetzt werden. Das Minimum des Integrals findet namlich nicht zwischen 
zwei beliebigen Positionen des Systems statt, sondern nur wenn die Endposition 
der Anfangsposition hinlanglich nahe ist. Wir werden sogleich erortern, welche 
Grenze hier riicht iiberschritteri werden darf. 



46 

Betrachten wir zunachst einen besonderen Fall. Es bewege sich em 
einzelner materieller Punkt auf einer gegebenen Oberflache durch einen anfang- 
lichen Stoss fortgetrieben. ohne dass Anziehungskrafte auf ihn wirken. In 
diesem Fall ist U=0 und die Summe ^m^ zieht sich auf mds* zusammen; 
es wird also 



oder 

s 

ein Minimum,, d. h. der materielle Punkt beschreibt eine kurzeste Linie auf der 
gegebenen Oberflache. Aber die kiirzesten Linien haben ihre Eigenschaft, ein 

O O 

Minimum zu sein, nur zwischen gewissen Grenzen; auf der Kugel z. B., wo die 
grossten Kreise kurzeste Linien sind, hort diese Eigenschaft auf, wenn man eine 

O * O 

Lange betrachtet, die grosser als 180 ist. Um dies einzusehen, wird man nicht 
die Erganzung zu 360 zu Hiilfe rufen di irfen. was nichts beweisen wiirde, da 
die Minima nur immer in Beziehung auf die unendlich nahe liegenden Linien 
stattzufmden brauchen; man iiberzeugt sich vielmehr davon auf eine andere Art. 
B sei der Pol von A; man verlangere den grossten Kreis AaB 
iiber B hinaus bis C und lege den grossten Kreis AftB unendlich 
nahe an AaB, dann ist AccBC -- = AfiB-hBC = Ap-\-fiB-\-BC. 
Es sei ferner /? unendlich nahe an B und ftC ein grosster 
Kreisbogen, so ist @C<ifiB-+-BC, also ist die gebrochene Linie 
Aft-+-fiC kleiner als der grosste Kreis AaBC. Auf der Kugel 
also ist 180 die Grenze der Minimum-Eigenschaft. Um diese 
Grenze allgemein zu bestimmen, habe ich folgenden Satz auf- 
gestellt, auf welchen ich durch tiefer liegende Untersuchungen 
gekommen bin: 

Wenn man von einetn Punkt einer Oberflache nach alien Richtungen kiirzeste 
Linien zieht, so konnen zwei Fdlle eintreten: zwei unendlich nahe kurzeste Linien 
laufen entweder fortwdhrend neben einander, ohne sich zu schneiden, oder sic 
schneiden sich iviederwn, und alsdann bildet die Continuitdt aller Durchschnitts- 
punkte ihre einhullende Curve. Im ersten Falle horen die kiirzesten Linien nie 
auf kiirzeste zu sein, im zweiten sind sie es nur bis zum Beruhrungspunkte mil 
der einhilllenden Curve. 

Das Erstere findet, wie sich von selbst versteht, bei alien developpablen 
Flachen statt, denn in der Ebene schneiden sich die durch einen Punkt gehenden 




47 

Geraden nie wieder; ferner findet es auch, wie ich gefunden habe, bei alien 
concav-convexen Flachen statt, d. h. bei denjenigen, in welchen zwei auf ein- 
ander senkrechte jSTormalschnitte ihre Kriiinmungshalbmesser nach entgegen- 
gesetzten Seiten haben, z. B. bei dem einschaligen H} 7 perboloid und bei dem 
hyperbolischen Paraboloid. Hiermit soil iibrigens nicht gesagt sein, dass es 
nicht auch concav-concave Flachen geben konnte, welche in diese Kategorie 
gehoren, wenigstens ist die Unmoglichkeit hiervon nicht bewiesen. Ein Beispiel 
der zweiten Art giebt das Revolutionsellipsoid. Nehmen wir dasselbe wenig 
von der Kugel verschieden an. so werden die kiirzesten Linien, welche durch 
einen beliebigen Punkt der Oberflache gehen, sich zwar nicht, wie auf der 
Kugel. in dem Pole sammtlich schneiden, aber sie werden in der Gegend des 
Pols eine kleine einhullende Curve bilden. In diesem Umstande scheint bei 
oberflachlicher Betrachtung ein Paradoxon zu liegen; denn die einhullende Curve 
hat im Allgemeinen die Eigenschaft. dass das System von Curven, welches von 
derselben eingehullt wird, nicht in den inneren Raum der einhiillenden ein- 
treten kann. Demnach wiirde es einen Flachentheil geben von der Beschaffenheit, 
dass sich nach irgend einem Punkt im Innern desselben von dem gegebenen 
Punkt keine ktirzeste Linie ziehen liesse, was unmoglich ist. Das Paradoxon 
losst sich aber durch die genauere Betrachtung der ein- 
hullenden Curve auf, wie aus der nebenstehenden Zeichnung 
zu ersehen ist. in welcher ABCD die einhullende Curve, 
welche ungefahr die Gestalt der Evolute der Ellipse hat, 
und EFG eine kiirzeste Linie darstellt. Von E her tritt sie in 
den von der einhiillenden Curve begrenzten Flachentheil ein, 
beriihrt dann die Curve in einem Punkte F und hort von da 
an auf, kiirzeste Linie zu sein. - - Diese Eigenschaft der kiir 
zesten Linien, dass sie aufhoren solche zu sein, wenn sie ihre 
gemeinschaftliche einhiillende Curve bertihrt haben, ist, wie 
gesagt, durch tiefliegende Betrachtungen gefunden worden; sie lasst sich aber nach- 
traglich sehr leicht einseheri. Denn indem zwei unendlich nahe ktirzeste Linien 
sich schneiden, wird im Durchschnittspunkt nicht nur die erste, sondern auch 
die zweite Variation Null, der Unterschied reducirt sich also auf unendlich kleine 
Grossen dritter Ordnung, d. h. es findet kein Minimum mehr statt. - 

Wir kehren jetzt wieder zu der allgemeinen Betrachtung des Minimums 
fur das Princip der kleinsten Wirkung zuriick. Die willktirlichen Constanten, 




48 



welche nach Integration cler Differentialgleichungen der Bewegung iibrig bleiben. 
konnen am einfachsten durch die Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten 
der Bewegung bestimmt werden. Sind diese gegeben, so sind hierdurch alle 
Constanten der Integration bestimmt, und es kann keine Mehrdeutigkeit statt- 
finden. Aber bei dem Princip der kleinsten Wirkung nimmt man nicht die 
Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten als gegeben an, sondern die 
Anfangs- und Endpositionen. Daher muss man, um die wirkliche Bewegung 
zu erhalten, durch Auflosung von Gleichungen die Anfangsgeschwindigkeiten 
aus den Endpositionen ableiten. Diese Gleichungen brauchen nicht linear zu 
sein, daher kann man mehrere Systeme von Werthen der Anfangsgeschwindig 
keiten erhalten, und diesen entsprechen dann mehrere Bewegungen des Systems 
aus den gegebenen Anfangspositionen in die gegebenen Endpositionen, welche 
sammtlich in Beziehung auf die ihnen unendlich nahe liegenden Bewegungen 
Minima geben. Indem man nun das Intervall der Anfangs- und Endpositionen 
von Null an continuirlich wachsen lasst, andern sich auch die verschiedenen 
Systeme von Werthen, welche man aus der Auflosung der Gleichungen fur die 
Anfangsgeschwindigkeiten erhalt, Sobald nun bei dieser Aenderung der Werth- 
systeme der Fall eintritt, dass zwei Systeme von Werthen einander gleich werden, 
so ist dies die Grenze, fiber welche hinaus kein Minimum mehr stattfindet. 

Diesen Satz, der ubrigens fur die Mechanik im engeren Siiine von gar 
keiner Wichtigkeit ist, habe ich im Oe//eschen Journal *) bekannt gemacht, aber 
nur als Notiz ohne Beweis. Als Beispiel zu demselben wollen wir die Bewegung 
der Planeten um die Sonne wahlen. Gegeben sei der eine Brennpunkt A der 

Ellipse als Ort der Sonne, die grosse Axe a der 

, B Ellipse und ausserdem zwei Positionen p und q des 

Planeten. Bezeichnen wir den zweiten vorlaufig un- 
bekannten Brennpunkt init B, so sind durch die ge 
gebenen Stiicke die Entfernungen des Punktes B von 
den beiden Planetenortern p und q bekannt; diese 
Entfernungen sind namlich = a Ap und = a Aq 
wegen der bekannten Eigenschaft der Ellipse. Dies 
giebt aber fur B zwei Lagen B und B , die eine oberhalb, die andere unterhalb 
der Verbindungslinie von p und q. Es giebt also zwei Ellipsen, mithin auch 




*) Bd. 17, p. 68 folgg. 



49 
zwei Bewegunffen des Planeten, welche fur die gegebenen Stiicke moo;lich sind. 

O O O <_? O 

Damit beide Losungen zusammenf alien, mtissen die Punkte B und B in die 
Verbindungslinie von p und q fallen, d. h. p, B und q mtissen in gerader Linie 
liegen, mithin q in p . Der Punkt p bezeichnet also die Grenze, fiber welche 
man von p aus das Integral nicht ausdehnen darf , ohne dass es aufhort ein 
Minimum zu sein. 

Wir kehren jetzt zu der eigentlich mechanischen Bedeutung des Princips 
der kleinsten Wirkung zuriick. Diese besteht darin, dass in der Grleichung (1.) 
dieser Vorlesung die Grundgleichungen der Dynamik fiir den Fall enthalten sind, 
in dem das Princip der lebendigen Kraft gilt. In der That, die Grleichung (1.) war: 

3f]/2(U-+-K)V2m.ds* = 0. 

Hier konnen wir alle Coordinate!! nach Elimination der Zeit als Functionen von 
einer, z. B. von # 1? ansehen, und demnach schreiben: 



oder 



oder, wenn wir 



dz. 

= 



setzen, 

^ = 0. 



Unter Einfuhrung der Bezeiclmuno;en 

O O 



= A, Jm.(^ 2 +y; 3 -f-< 8 ) = B, 

}/A.yB = P 

haben wir endlich 

dfpdas t = 0, 

oder es ergiebt sich die Regel: Man setze in I Pdx^ fiir x. i} y t , z, respective 

Xi-^-dx^ 2/i-j-Ji/ ; , z i -{-^z i ein, wo ^, dy^ dz { in den unendlich kleinen Factor a 
multiplicirte willkiiiiiche Functionen sind, welche innerhalb der Integrations- 
grenzen nicht unendlich werden, entwickele nach Potenzen von a und setze 
das in die erste Potenz von a multiplicirte Grlied gleich Null. Hierbei 1st zu 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 7 



50 



bemerken, dass erstens, well die Grenzen des Integrals gegeben sind, von ihnen 
keine Variationen herriihren konnen, dass ferner aus demselben Grunde alle 
Variationen an den Grenzen verschwinden mussen, und endlicli, dass (JiCj iiber- 
haupt Null 1st, well x t die unabhiingige Variable ist. Demgemass erhalt man 
nach den Reeln der Variationsrechnun: 



c 

= 
J 



f 



ap 



dp 



BP 

5 

dz. 



Nun ist 



&^,= f4 

/ r~i /T I f /~i W 

*/ C/t/t- V \Jw * 



dp 



SP 



dp 

5- 

oy\ 



dp 

337 

dz. 



dx. 



Sx.do;. 



oder, da dx L an den Grenzen der Integration verschwindet, 



r QP 

I _ . Sx .dx. = 
J dx . 



Aehnliche Gleichungen gelten fur y t und z t . Die Benutzung derselben giebt: 



dP 



dP 



dP 



dP 



dP 

fyi 



dP 



$ 
/ dz. 



dx, 



Es ist aber 
dP 



, B = 



dx. 
also hat man 



dP 



dP 



A dx. 



B dx 



dx. dx. 

< 

Setzt man nun (s. S. 44) 

(20 
so erhalt man 



dx. 



*L(^*L 
A \ dx. 



51 
imd Aehnliches fur y { and z t . Filhrt man diese Ausdrilcke ein, so ergiebt sich: 



. i,,j 

wi. =-3- \dv.-\- \^~ m. 7 , \dz.\dx.. 

1 2 y < > * l 



-- -~ --- . TT-.-Tr- . =-3- .-- ~ . 7 , 
A IV daif l df ) V dy. 1 dt 2 ) y < \ dz. > dt* 

Da diese Variation aber nach unserem Principe verschwinden soil, so hat man 

d y. 



*- - . 772- , iTrt~ -a ; ji 

dx. l dr ) V <5y. dt } * V 9s. at* 

oder 

(3.) 

\velches die friihere symbolische Grleichung ist. 

Die Gleichung (2.) ist nichts Anderes als der Satz der lebendigen Kraft; 
denn durch Quadrirung findet man 

Bdx\ = Adt 2 
oder 



Dies war vorauszusehen, denn durch den Satz der lebendigen Kraft hatten wir 
die Zeit aus dem Integral des Princips der kleinsten Wirkung eliminirt. 



Siebente Vorlesung. 

Fernere Betrachtungen fiber das Princip der kleinsten Wirkung. 
Die Lagrangeschen Multiplicatoren. 

Ausser dem Uebelstande, der bei der gewohnlichen Ausdrucksweise des 
Princips der kleinsten Wirkung darin liegt, dass man den Satz der lebendigen 
Kraft nicht in das Integral einfuhrt, kommt noch der hinzu, dass man sagt. 
das Integral solle ein Grosstes oder Kleinstes werden, statt zu sagen, seine erste 
Variation solle verschwinden. Die Verwechselung dieser keineswegs identischen 
Forderungen ist so sehr Sitte geworden, dass man sie den Autoren kaum als 
Fehler anrechnen kann. Es findet sich in dieser Riicksicht ein sonderbares 
Quidproquo bei Lagrange und Poisson, welches sich auf die kurzeste Linie bezieht. 

7* 



52 

Lagrange sagt ganz richtig, in diesem Falle konne das Integral nie ein Maximum 
werden, denn wie lang auch die zwischen zwei Pankten auf einer gegebenen 
Oberflache gezogene Curve sein moge, so konne man immer eine noch langere 
angeben: und hieraus schliesst er, dass das Integral immer ein Minimum sein 

O " 

miisse. Poisson dagegen, der wusste, dass das Integral in gewissen Fallen, na- 
mentlich bei geschlossenen Oberflachen, fiber gewisse Gfenzen hinaus aufhort 
ein Minimum zu sein, schloss hieraus, in diesen Fallen miisste es demnach ein 
Maximum sein. Beide Schlusse sind falsch; im Fall der kurzesten Linien kann 
das Integral allerdings nie ein Maximum sein, vielmehr ist es entweder ein 

o o 7 

Minimum, oder keines von Beiden, weder Maximum, noch Minimum. 

Die Elimination der Zeit aus dem Integral, welches bei dem Princip der 
kleinsten Wirkung in Betracht kommt, darf nicht etwa durch das Princip der 
Flachen oder irgend eine andere Integralgleichung des Problems, sondern sie 
muss gerade durch das Princip der lebendigen Kraft geschehen; nur so kommt 
man zu dem Princip der kleinsten Wirkung. Lagrange sagt an einer Stelle, er 
habe in den Turiner Memoiren die Differentialgleichungen der Bewegung aus 
dem Princip der kleinsten Wirkung in Verbindung mit dem Princip der lebendigen 
Kraft hergeleitet. Eine solche Ausdrucksweise ist nach den oben gemachten 
Bemerkungen nicht zulassig. Lagrange wandte die soeben von ihm erfundene 
Variationsrechnung auf das schon von Eukr benutzte Princip der kleinsten 
Wirkung an, gebrauchte aber hierbei das Princip der lebendigen Kraft in der 
Ausdehnung, welche Daniel Bernoulli demselben gegeben hatte, und auf diese 
Weise kam er zu der allgemeinen symbolischen Gleichung der Dynamik, von 
welcher wir ausgegangen sind und welche wir hier noch einmal hinschreiben 
wollen; sie war: 

(1.) 



wo auf der rechten Seite dU zu setzen ist, wenn das Princip der lebendigen 
Kraft gilt. Abstrahirt man davon, dass dU nach dem in der Variationsrechnung 
tiblichen Sinn nur dann fiir die rechte Seite obiger Gleichung gesetzt werden 
kann, wenn die Grossen X t , Y t , Z/ die partiellen Differentialquotienten einer 
einzigen Function U sind, und betrachtet man es rein als symbolische abgekiirzte 
Bezeichnung, so hat man 

( d?x. </ >/. 

(2.) 



53 

auch. wenn der Satz der lebendigen Kraft nicht gilt. Diese Gleichung ist nun. 
wie schon friiher erwahnt wurde, auch noch richtig. wenn Bedingungsgleichungen 
stattfinden, aber dann sind die Variationen nicht mehr alle von einander unab- 
hangig. Hat man m Bedingungsgleichungen 

(3.) / = <), 5p=.0, ..., 

so existiren zwischen den Variationen die m Relationen 

/*"\ _/* "> /* 

*~ d f *.. f 



(40 



d(f 



= 0, 






dx. dy. 3i 

i 3 1 

U. S. W. 

Vermittelst dieser m Gleichungen kann man m von den 3/i Variationen 
dX;, <%,;, dZi . . . aus der Gleichung (1.) eliminiren, und indem man die iibrig 
bleibenden von einander unabhangig setzt, zerfallt die symbolische Gleichung. (1.) 
in die Differentialgleichungen der Bewegung. Aber diese Elimination wiirde 
sehr mlihsam sein und hat iiberdies manche Uebelstande; denn erstens miisste 
man gewisse Coordinaten vor den iibrigen bevorzugen und erhielte dadurch 
keine symmetrischen Formeln, und ausserdem ware die Form der Eliminations- 
gleichungen filr jede Anzahl von Bedingungsgleichungen eine andere, durch 
welchen Umstand die Allgemeinheit der Untersuchung sehr erschwert werden 
wiirde. Alle diese Schwierigkeiten hat Lagrange durch Einfiihrung von Multi- 
plicatoren besiegt, eine Methode, welche schon Eider bei den Problemen .,de 
maximis et minimis" haufig angewendet hat: Da namlich die Variationen 
JX-, ty;, d Zi ... in den Gleichungen (1.) und (4.) linear vorkommen, so kann 
man die Elimination von m derselben folgendermassen bewerkstelligen : Man 
multiplicire die Gleichungen (4.) respective mit den Factoren 2, t u ... und addire 
sie zu (1.); die resultirende Gleichung heisse (L). Nun bestimme man die 
Factoren A, ^ ... so, dass in der mit (I/) bezeichneten Gleichung m der in 
die Variationen dx i} dy^ dz t , . . multiplicirten Ausdriicke identisch verschwinden ; 
dann geben die in die iibrig bleibenden 3n m Variationen multiplicirten Aus 
driicke gleich Null gesetzt die Differentialgleichungen des Problems. Man sieht 
auf diese Weise, dass man in der Gleichung (L) sammtliche 3n in die Variationen 
dx f , dy^ dZi . . . multiplicirten Ausdriicke gleich Null zu setzen und dann diese 
Gleichungen so anzusehen hat, dass m derselben die MultipHcatoren 2, ,u . . . 
definiren, die iibrigen aber, in welche die so bestimmten Multiplicatoren einzu- 



54 . 

setzen sind, die Differentialgleichungen des Problems geben. Mit andern Worten, 
aus den 3n Gleichungen, in welche die Gleichung (L) zerfallt, wenn man die 
Variationen alle als unabhangig ansieht, hat man die m Multiplicatoren 2, ^ . . . 
zu eliminiren und erhalt dann die 3n m Differentialgleichungen des Problems. 
Anstatt aber diese Elimination auszufiihren, that man besser die unbekannten 
Multiplicatoren in den 3n Gleichungen zu lassen und auf diese die ferneren Unter- 
suchungen zu grimden. Diese 3?i Gleichungen werden alsdann von der Form 



(5.) 



x. dx. 

df 



~-- 
dy. 

fJ^2" ^-f 

j^r --~~-- 
at 



wo fiir alle n Werthe von i iiberall dieselben Multiplicatoren ^, /& . . . vor- 
kommen. Dies ist die Form, welche Lagrange den Gleichungen der Bewegung 
eines durch beliebige Bedingungen gebundenen Systems gegeben hat. 

Die zu den Kraften X i} Y { , Z ; hinzukominenden Grossen driicken die 
Wirkung des Systems aus, d. h. die Modification, welche die sollicitirenden 
Krafte durch die Verbindungen der materiellen Punkte erleiden. Zu diesem 
Resultat gelangt man auch in der Statik, indem man beweist, dass, wenn in 
den n Punkten des Systems die Krafte 



parallel den Coordinatenaxen angebracht werden, dieselben durch die Verbindung 
des Systems aufgehoben werden, woraus hervorgeht, dass die durch die Ver 
bindung des Systems aufgehobenen Krafte nicht bestimmt sind, sondern die un- 
bestimmten Grossen 2, JLI ... enthalten. Die Einfuhrung der Multiplicatoren 
A, /& ... ist daher nicht ein blosser Kunstgriff der Rechnung, sondern diese 
Grossen haben in der Statik ihre ganz bestimmte Bedeutung. Aus dem soeben 
ausgesprochenen Satz der Statik kann man nun auch auf die Gleichungen (5.) 
der Bewegung kommen und zw r ar, indem man den Uebergang von der Statik 
zur Mechanik auf folgende Betrachtung grilndet: 

Wegen der Verbindung des Systems konnen die materiellen Punkte den 
ihnen mitgetheilten Impulsen nicht Folge leisten. Um die wirkliche Bewegung 



55 



zu ermitteln, muss man daher solche Krafte hinzusetzen, deren Complex von 
der Verbindung des Systems aufgehoben wird, nach deren Hinzufiigimg es daher 
so anzusehen 1st, als wenn die Punkte den an sie angebrachten Kraften ohne 
Hinderniss folgten: mit andern Worten, nach HinzufQgung von Kraften, durch 
welche die Verbindung des Systems aufgehoben wird, kann man das System 
als ein freies betrachteri. Dies ist als ein Princip anzusehen, und aus ihm er- 
geben sich ganz von selbst die Gleichungen (5.). 

Eben dieses Princip, welches uns die Modification der beschleunigenden 
Krafte durch die Verbindungen des Systems gegeben hat, dient auch dazu, die 
Modification der momentanen Krafte durch die Verbindungen des Systems zu 
finden. Die Formeln, welche man hier anzuwenden hat, sind ganz die nam- 
lichen. Wirken auf den Punkt m t - die momentanen Impulse a t , b i} c i} so sind 
die mit Beriicksichtigung der Verbindung des Systems hieraus folgenden modi- 
ficirten Impulse: 



(6.) 



o. r~ A. 






d(f 



wo die Grossen 2 17 ^ ... wieder fiir alle Punkte des Systems dieselben 
bleiben. , 

Wenn man die Grossen 2, /n, ... und ^ 1? /^ ... bestimmen will, so 
muss man die Gleichungen f= 0, (f = ... differentiiren. Zur Bestimmung 
der Grossen 2, (A, ... muss man zweimal differentiiren und dann die zweiten 
Differentialquotienten der Coordinaten aus den Gleichungen (5.) substituiren; zur 
Bestimmung der Grossen ^ 15 f.i l ... hat man aber nur einmal zu differentiiren, 
denn die momentanen Impulse sind den Geschwindigkeiten, d. h. den ersten 
Differentialquotienten, proportional. "Wir wollen die Gleichungen zur Bestimmung 
von ^ n f.i l ... wirklich entwickeln, indem wir annehmen, dass die momentanen 
Impulse ,-, b L , c t am Anfang der Bewegung erfolgen und dass das System in 
diesem Moment sich in vollkommener Rube befindet. Unter diesen Umstanden 
konnen wir fiir den Anfang der Bewegung die beschleunigenden Krafte ganz 
ausser Acht lassen, da dieselben nur unendlich kleirie Geschwindigkeiten er- 
geben wilrden, und haben daher, wenn wir zur Bestimmung von ^ 15 /u 1 ... die 



56 

Differentialgleichungen 

f df dx. df dy. df dz. } 
S\-?L ~H--^-4^--h-?--V- = a 

(ox. dt ay. dt dz. dt ) 

dy> dx. dy dy. Q^ d 



A%L 

(dx. 



v. dt du. dt dz. dt 
i J i i 

u. s. w. 
dx. dy. dz. 



o. 



bilden, fur -.-,- - die Grossen ("6.) zu setzen. nachdem sie durch m, di- 
dt dt dt 

vidirt worden sind. Dies giebt folgendes Resultat: man setze 



"* m. 



r> v 

O 1 i*. i ^ ^, j - /. i. 

ml /~7 7 1 J H-3/ ^ ci? I 

. \ \S vii . \J fj . \J 6s . I 

I \ i Jl I / 



" ^ dx.. dx : 

df di 



dann hat man zur Bestimmung von A 1} ^ x ... die Gleichungen 



= 

o = 

I g u. s. w. 

Von derselben Form werden die Gleichungen zur Bestimmung von ^, /u . . ., 
nur dass A, B, C . . . hier andere Werthe annehmen. 

Wir kehren jetzt zu den Differentialgleichungen (5.) zuriick. Wenn wir 
dieselben der Reihe nach mit Jic,-, dy^ JX- multipliciren und alle 3?^ Producte 
addiren, so erhalten wir wieder die symbolische Gleichung, die wir oben mit (.L) 
bezeichnet haben namlich 

(8.) 3 



welche Gleichung mit dem System (5.) gleichbedeutend 1st. 

Um den ganzen Umfang von Problemen zu betrachten, welcher in den 
Gleichungen (5.) enthalten ist, miissen wir auch auf den Fall Rucksicht nehmen. 
in welchem die Zeit in den Bedingungen explicite vorkommt. Auch dann noch 
gelten die Gleichungen (5.). Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie 



57 

die Zeit in den Bedingungen enthalten sein kann, nehme man z. B. an, die 
materiellen Punkte seien mit beweglichen Centren, deren Bewegung gegeben 
sei, in Verbindung gesetzt und zwar so, dass die Centra auf die materiellen 
Punkte wirken, ohne dass Reaction stattfinde. Zu dieser Annahme aber ist 
es nothig, den beweglichen Centren Massen zu geben, welche im Verhaltniss 
zu den Massen der materiellen Punkte unendlich gross sind. In diesem Falle 
gelten fiir die materiellen Punkte die Gleichungen (5.) ohne Weiteres; die be 
weglichen Centra aber behalten die gegebenen Bewegungen unverandert bei. 
In der That, es sei M die als unendlich gross zu behandelnde Masse eines 
Centrums, p eine seiner Coordinates, so ist die in der Richtung der Coordinate 
p wirkende Kraft proportional M; nennen wir dieselbe MP, so haben wir mit 
Riicksicht auf die Verbindungen des Systems 



- 

dp 

Aber nach Division durch die unendlich grosse Masse M fallen alle iibrigen 
Glieder fort, und man erhalt 



dt* 

Dasselbe gilt fiir die iibrigen Coordinate!!, d. h. die Centra folgen ihren gegebenen 
Bewegungen ohne Riicksicht auf die Verbindungen. Die Werthe von 2, t u ... 
und yL 1? /*! ... werden hier freilich andere als friiher; denn bei den Differen- 
tiationen kommen noch die partiellen Differentialquotienten nach t hinzu. So kommt 

n / \ 

z. B. zu A (Gleichungen (7.)) der Term --, zu B ebenso -^~ hinzu u. s. w. 

Die Zeit kann zwar noch ganz anders in die Bedingungen eintreten, 
z. B. wenn die Verbindung zweier Punkte locker wird oder sich ausdehnt, 
etwa durch steigende Temperatur; indessen wird man alle Bedingungen dieser 
Art auf bewegliche Centra zuriickfiihren konnen. wenn man nur als Grundsatz 
festhalt, dass zwei Verbindungen, welche auf dieselben Gleichungen fiihren, 
durch einander ersetzt werden konnen. 

Die Zeit kann tibrigens auch eine sehr erschwerende Rolle spielen, z. B. 
wenn sich im Verlaufe derselben die Massen verandern. Bis jetzt hat man aber 
noch nicht nothig gehabt, diese Annahme im Weltsystem zu machen; denn um 
zu entscheiden, ob dergleichen stattfindet, haben die Beobachturig^n noch nicht 
Scharfe genug. 



Jacobi, Werke. Supplementband (DynainilO. 



58 



Achte Yorlesung. 

Das Samiltonsche Integral und die zweite Lagrangesche Form 
der dynamischen Gleichungen. 

Man kann statt des Princips der kleinsten Wirkung ein anderes substi- 
tuiren, welches auch darin besteht, dass die erste Variation eines Integrals ver- 
schwindet, und aus welchem man die Differentialgleichungen der Bewegungen 
auf eine noch einfachere Weise erhalt als aus dem Princip der kleinsten Wirkung. 
Man scheint dies Princip friiher deshalb unbemerkt gelassen zu haben, weil 
hier nicht, wie bei dem Princip der kleinsten Wirkung, mit dem Verschwinden 
der Variation im Allgemeinen zugleich ein Minimum eintritt. Hamilton ist der 
erste. der von diesem Princip ausgegangen ist. Wir werden dasselbe benutzen, 
um die Gleichungen der Bewegung in der Form aufzustellen , welche ihnen 
Lagrange in der Mecanique analytique gegeben hat. Es seien zunachst die 
Kraft e X it Y { , Z { partielle Differentialquotienten einer Function U; ferner sei T 
die halbe lebendige Kraft, d. h. 



dann besteht das neue Princip in der Gleichung 
(1.) 



Dies Princip ist, mit dem der kleinsten Wirkung verglichen, insofern allgemeiner. 
als hier U auch t explicite enthalten darf, was in jenem Princip ausgeschlossen 
ist; denn in ihm muss die Zeit durch den Satz der lebendigen Kraft eliminirt 
werden, der nur gilt, wenn U die Zeit nicht explicite enthalt. 

Die Gleichung (1.) werden wir benutzen, um die Zuruckfuhrung der 
Differentialgleichungen der Bewegung auf eine partielle Differentialgleichung 
erster Ordnung nachzuweisen. Wie Hamilton gezeigt hat, kann man durch 
theilweise Integration die Variation (1.) in zwei Theile dergestalt zerlegen, dass 
der eine ausser, der andere unter dem Iritegralzeichen steht, und jeder fiir sich 
verschwinden muss. Auf diese Weise giebt der Ausdruck unter dem Integral- 
zeichen gleich Null gesetzt die Differentialgleichungen des Problems und der 
Ausdruck ausser dem Integralzeichen die Integralgleichungen desselben. 

Das neue Princip lautet vollstandig ausgesprochen folgendermassen: 



59 

Es seien die Positionen des Systems zu einer gegebenen Anfangszeit t und 
zu einer gegebenen Endzeit ^ gegeben; dann hat man zur Bestimmung der wirklich 
erfolgenden Beweguhg die Gleichung 

Hier ist das Integral von t bis t { auszudehnen, U ist die Kraftefunction und 
kann die Zeit auch explicite enthalten, und T ist die halbe lebendige Kraft, 
man hat also 



dx. dy. dz. 

I i vl f i 



Wenn man die in diesem Princip vorgeschriebene Variation ausfiihrt, indem 
man nach den Regeln der Variationsrechnung den Coordinaten die Variationen 
dx f , dy^ dz t hinzufilgt, die unabhangige Variable t aber unvaribt lasst, so 
erhalt man 



cldx. ddy. dSz. 
oder, indem man fur ox t , J"^, oz t die Ausdriicke * , , einmnrt 

und theilweise integrirt, 

ddz. 



^ 

wo x", y i, z - die zweiten nach t genommenen DifFerentialquotienten von x { , y t , z i 
sind. Da aber die Anfangs- und Endpositionen gegeben sind, so verschwinden 
fan fyi, dz { an den Grenzen der Integration, die ausser dem Integralzeichen 
stehenden Glieder werden gleich Null, so dass 



Man hat also 

(2.) 
wo 



eine Gleichung, aus welcher in der That die friihere in der zweiten Vorlesuno- 

O^ c? 

(p. 12) gegebene symbolische Grundgleichung (2.) der Dynamik folgt. 



60 

Das in der Gleichung (1.) enthaltene Princip ist sehr niitzlich bei der 
Transformation der Coordinaten. Sie gilt fur jedes Coordinatensystem; in einem 
neuen System hat man daher nach den neuen Coordinaten ebenso zu variiren, 
wie friiher nach den alten, und die ganze Substitution, welche vorzunehmen 1st, 
beschrankt sich auf die beiden Ausdrucke T und U. 

Wir wollen dies zunachst auf Polarcoordinaten anwenden; die Trans- 
formationsformeln sind in diesem Falle: 

as. = r.cosy., 

y. = r.siny.cos^, 

z i = r. sin y> . sin ip. . 

Hieraus folgt durch Differentiation 

dx. = cosy^dr. r. sin <>..%>., 

dy. = sin (p ^os tyidr.-i-r. cosy, cos ifj. dtp. ?vsi 

dz = sing) f sin 

daher ist 

d 

oder 



wo 

dr. dw. dip. 

t * f ** it * 

r = : ^T ^ = : "rfT ^ = : ^T 
Man hat also sofort: 

(3.) T= i^(^ 2 +2/; 2 +2^) = i^Crl -hrJy^-hrJsin y.V! ). 

Unter dieser Voraussetzung und der Annahme, dass auch V durch die neuen 

/ 

Coordinaten ausgedriickt sei, werden wir die aus di(T-t-lT)dt=() hervorgehende 

J 

Gleichung nach den allgemeinen Regeln der Variationsrechnung nnden. 

Ist P eine Function mehrerer Variablen ... j^ ... und ihrer ersten Dif- 
ferentialquotienten . . . p . . . , wobei vorausgesetzt wird , dass alle p von einer 
unabhanffigen Variabeln t abhangen, und soil die erste Variation von \Pdt ver- 

C5 O J 

schwinden, soil also 



sein, wo das Integral von t bis t l zu nehmen ist und wo die diesen Werthen 
von t entsprechenden Werthe der p gegeben sind: so fiihrt dies, wie die in 



61 



der sechsten Vorlesung (p. 50) ausgefiihrten Entwickelungen gezeigt haben, zu 



der Gleichung 



(4.) 



dp dP 



dp. 



dt dp 

In unserem Falle sind r { , (p { , ^ die Grossen p, und P= = T^-U; ferner erhalt 
U die Differentialquotienten rj, .$p|, i// nicht; daher erhalten wir 

.dT 

I fl - 

dT dU 



d 



I 



dT 8U 
dr. dr. 

i i 

Nun ist nach (3.) 

dT _ 

dr! = "*" 

= n(r 2 rs 
dr _ - m i r i<?i r i s 

also hat man 

= 



dt 



d T 



d T 



oder 



Sind Bedingungsgleichungen vorhanden: /=0, co = 0.... so kommt auf der 
rechten Seite dieser Gleichung zu dU noch das Aggregat &df-+-fJi$-\ hinzu. 
und man hat also in diesem Falle 



(5.) 



eine Gleichung, welche in 3^ Gleichuno;en von folgender Form zerfallt: 

o^ o o 



(6.) 



d?r. 



62 

(d r. \ Q 77 Qf Qcs 
,1 rr r.(f n r.sinV*/> 2 f = ^s hA^ hA*-o h, 

I at l l * * * I O7" d? C7/". 

i t t 

eu , a/ 



dt 



H-A- 



w. 



df 



5$p, 



Von vorziiglicher Wichtigkeit 1st die Transformation der urspriinglichen 
Veranderlichen in neue, die so gewahlt sind, dass, wenn Alles durch sie aus- 
gedriickt 1st, die Bedingungsgleichungen von selbst befriedigt werden. Wenn 
namlich m Bedingungsgleichungen vorhanden sind, so lassen sich alle 3n Coor- 
dinaten durch on m derselben oder auch durch on m Functionen derselben 
ausdriicken. In den meisten Fallen ist es sehr wichtig, nicht die Coordinaten 
selbst, sondern neue Grossen einzufiihren, um Irrationalitaten zu vermeiden. Bei 
der Bewegung eines Punktes auf dem Ellipsoid z. B. sind die Formeln 

x = acosy, y = ^sin^cos^, z = csin^sin, 

welche die Gleichung des Ellipsoids identisch befriedigen, von der grossten 
Wichtigkeit. Wir wollen die neuen on m k Grossen q 1 , q%, ... q k nennen; 
sie sollen so beschafFen sein, dass, wenn man x l} y 1 , z l7 x 2 , y 2 , z 2 . . . durch 
sie ausdruckt und in die m Bedingungsgleichungen f= 0, cD = 0, ... diese Aus- 
drticke einsetzt, die linken Seiten dieser Gleichungen identisch verschwinden, 
d. h. es soil identisch 

(7.) f(q q,, ... q k ) = 0, ro( ?1 , &,...&) = (), ... 

ohne dass zwischen den q irgend welche Relation stattfindet. Hierdurch 



scin 



werden die Diiferentialgleichungen der Bewegung bedeutend vereinfacht. Fiir 
irgend ein Coordinatensystem namlich ist nach Gleichung (4.) die allgemeine sym- 
bolische Grundgleichung der Dynamik, wenn Bedingungsgleichungen stattfinden, 

QT 

~dq[ dT 



wo sich das Summenzeichen auf alle q erstreckt. Aber fiir unsere Grossen q 
gelten die Gleichungen (7.) identisch; daher hat man nach Einfiihrung dieser 
Grossen df= 0, ^o) = 0, etc. und die obige Gleichung reducirt sich auf 

dT 

dT 



\ 



d 



dt 



63 
welche in k Differentialgleiehungen der Form 

d^ 

" BU 



dt dq s dq s 

zerfallt. Dies ist die Form, in welcher Lagrange schon in der alten Ausgabe 
der Mecanique analytique die Differentialgleiehungen der Bewegung dargestellt hat. 
Denkt man sich alle Coordinaten durch die Grossen q ausgedriickt. so 
erhalt man durch Differentiation: 

dx. dx. dx. 

-flU-TET-^+ -H-TCr-^ 



dq, 

dy. dy. 



1 : -i V i "i V> i I o 1 1. ) 

6q l a 8q t * dq k 

dz. dz. dz. 

2; ~~^ ?i i <s tfi~i "> n q\- 

( L 9ft dq k 

Wenn man diese Werthe in T=l^m,(:r ( . 2 -|-?/ t 2 --f-,zj 2 ) einsetzt. so erhalt man einen 
Ausdruck, der in Beziehung auf die Grossen q(, q 2 , ... q k eine homogene 
Function zweiten Grades ist, deren Coefficienten bekannte Functionen von 
q 1} q<>, ... q k sind. Setzen wir 

dT 

so konnen wir die Gleichung (8.) auch so schreiben: 

* 



dt dq s 

Dies ist zwar noch nicht die schliessliche Form der Gleichungen der 
Bewegung, sie erfordert vielmehr eine fernere Transformation; aber ehe wir 
hierzu iibergehen, wollen wir das Bisherige auf den Fall ausdehnen, wo keine 
Kraftef unction existirt, sondern wo an die Stelle von dU in der ursprtinglichen 
symbolischen Gleichung der Bewegung (X i dx i -\-Y i dy i -i-Z i dz,) tritt. Wenn 

<-) TT 

Alles in den Grossen q ausgedriickt ist, so ist dU, dq . Vergleicht 

s dq s ^ s 

man dies mit dem eben erwahnten Ausdruck (X i dx i -\-Y i 9y i -\-Z i dzj) und er- 
ihnert sich an die in der zweiten Vorlesung (p. 13) gegebene Regel, wonach 

bei einer Transformation der Coordinaten fur dx iy dy t , ^z i beziehungsweise 

dx. dy. dz. 

r. dq , n do , 2, 3 $Q zu substituiren sind, so sieht man, dass an 
s dq s *. , dq *, t 8(/ A- 



64 
Stelle von 



der Ausdruck 

dx. dy. dz. 



( 
X. 
- - l 

r\ TT 

tritt, und also an die Stelle von -= - der Ausdruck 

dq, 

( dx. dy. dz. \ 

C 10 -) Q. = - x -^-+ Y i-7r-+ z i^r- 

i \ dq s * dq s dq s J 

Vermoge dieser Aenderung wird Gleichung (8.) durch folgende ersetzt: 




dq 



Wenn man hierin fiir s die Werthe 1 bis k setzt, so erhalt man fur den vor- 
liegenden Fall die Gleichungen der Bewegung in den Grossen q ausgedruckt. 

Wir wollen die Gleichung (11.) noch auf anderem Wege verificiren 
und zwar, indem wir von den in der vorigen Vorlesung (p. 54) gegebenen 
Gleicliungen (5.) 

df 8m 



dx. dy. dz. 

ausgehen. Multiplicirt man diese Gleichuno en mit -^- - T - L . -=-^- und summirt 

<*?, ^ s dq s 

in Beziehung auf i, so erhalt man als Multiplicator von 2 



- . 

.dq t ~dy. dq g dz. dqj dq g 

Der Ausdruck rechts aber verschwindet nach (7.), und dasselbe gilt von den Coef- 
ficienten von ju, . . .; daher erhalt man mit Beriicksichtigung der Gleichung (10.): 

f d?x. dx. d 2 y. dy. d*z. dz. \ 

/ -I l~l \ XT * , " I I > I /~\ 

f m <(-d^^ + ^W s ^^W s ) = " Q 

Um die Gleichung (11.) zu verificiren mussen wir also zeigen, dass ihre linke 
Seite mit der linken dieser Gleichung identisch ist. Dies wird folgendermassen 



65 

nachgewiesen. Es 1st 

T=^m 

daher 



das . dy . d*\\ dT ( das . dy . dz 

* -L. * 



\\ dT ( das . 

L. , * = J U 

d( l V < 



Nun batten wir aber die Differentialgleicbungen 

dx. dx : dx, 

x . = - 



, _ 

" 



s---s- * 

dq l 2 dq 2 * dq k * 

dy. dy. dy. 

<yf 1 <y I 



Hieraus folgt: 

dx . dx. dt/ . dy. dz . dz. 



ferner: 



8q s 





, fy f 

d- 



da 



dt 



D /Tt O /T7 



Die Substitution dieser Werthe in -s-r un( i ffiebt 

g 



5^. f %. f dz. 

- ^ -It?/. ^ V . ^T " ^ . ^ 

l J l 



d-^4 



---- 

r\ ^* n v \ w .. n t/ . ~t ^ . / . 

dq s dt Jl dt dt 

daher ist 

d dT 

dq s dT ( das . das. du[ dy. dz . dz. 

: ^ i I &i J I i 





-LS jf -Is 

Jacob! , Werke. Supplementband (Dynamik). 9 



66 



wodurch die Identitat der Gleichungen (11.) und (12.) bewiesen und zugleich 
die erstere verificirt ist. 

Somit hat man, wenn keine Kraftefunction vorhanden ist, Gleichungen 
der Form (11.) als Gleichungen der Bewegung, wenn aber eine solclie existirt, 
Gleichungen der Form (8.) oder, was dasselbe ist, der Form (9.), namlich 



dt dq s 6q g 

Aus der Form dieser Gleichungen ergiebt sich auf der Stelle ein be- 
merkenswerthes Resultat, und zwar: Kann man die neuen Variablen so ivahlen, 
class eine derselben q s in der Kraftefunction nicht vorkommt und dass zur Dar- 
stellung von T nicht die Variable q s selbst, sondern nur ihr Differentialquotient 
q[ gebraucht wird, so ergiebt sich aus diesem Umstande jedesmal ein Integral 
des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen und zwar p s = Const., oder, 

r) T 

was dasselbe ist, n . = Const. Denn unter der gemachten V.oraussetzung ist 

C ls 

*- = 0, man hat daher ~ = 0, , = Const. Dieser Fall tritt z. B. bei 

dq s dt 

der Attraction eines Punktes durch em festes Centrum ein. Befindet sich das 
Centrum im Anfangspunkt der Coordinaten, so hat man in Polarcoordinaten 
(Siehe Gleichung (3.)) 



es kommt also ^ in U nicht vor und in T nicht if selbst, sondern nur dessen 
Differentialquotient i//, daher hat man 

8T 

= mr 2 sin 2 <><// = Const. 



dip 
oder, indem man den Factor m in die Constante eingehen lasst, 

r 2 sin< 2 . /; = Const, 

was man ubrigens auch aus der dritten Gleichung (6.) hatte ableiten konnen. 
Dies ist das Princip der Flachen in Beziehung auf die Ebene der y, z. In der 

That, es ist 

x = rcosy, y = rsi 

also 



cos 



67 



oder nach Multiplication mit y 2 = r 2 sii 

2 . 2 . dz dy 



und es ist daher 



, dz dy 

r surep.tJr = y -, -- z- = Const. 
7 eft at 



das Princip der Flachen far die Ebene der y, z. 



Neunte Yorlesung. 

Die Hamiltonsche Form der Bewegungsgleichungen. 

Nach dem Erscheinen der ersten Ausgabe der Mecanique analytique wurde 
der wichtigste Fortschritt in der Umformirag der Differentialffleichungen aer 

O o O o 

Bewegung von Poisson in einem Aufsatze gemacht. der von der Methode der 

O O O 

Variation der Constanten handelt und im 15 ten Hefte des polytechnischen Journals 
steht. Hier fiihrt Poisson die Grossen p = -^p- fur die Grossen q ein; da nun, 
wie schon oben bemerkt, T t eine homogene Function zweiten .Grrades der Grrossen 
q ist, deren Coefficienten von den q abhangen, so werden die p lineare Functionen 
der Grossen q ; zur Definition der p hat man also k Gleichungen der Form 
p. = c5i, wo eo t . in Beziehung auf q } , q <>, ... q k linear ist. Lost man diese k li- 
nearen Gleiohungen nach den Grossen q auf, so bekoimnt man Gleichungen der 
Form ql^^K;, wo die K t lineare Ausdrticke in den p sind, deren Coefficienten 
von den q abhangen. Diese Ausdrilcke von q / wollen wir in die Gleichung (9.) 
der vorigen Vorlesung einsetzen, d. h. in die Gleichung 

dp, _ d(T-j-U-) _ 6T dU 
~dT dq. ~dq. %" 

r) TT fiT 1 

wo -K - nur die q enthalt, wahrend -^ noch iiberdies Function der Grossen 

8q. dq. 

q ist und zwar eine in Bezug auf diese Grossen homogene Function zweiten 

r) T 

Grades. Setzen wir nun q[. = K t ein, so wird -5 eine homogene Function 
zweiten Grades der Grossen p t . Dadurch wird die obige Gleichung von der Form 

dp. 
r P 

dt 



68 

wo Pf ein Ausdruck in den p und q ist and zwar zweiten Grades in Bezug 
auf die p. Diese Gleichungen mit den Gleichungen q[ = = K t combinirt 

geben : 

do. dp. 

ri.) - = K, = P.. 

^ } dt dt 

Dies ist die Form, auf welche Poisson die Gleichungen der Bewegang bringt, 
wo K t und Pi weiter keine variablen Grossen enthalten, als die p und die q. 
Von diesem System von 2k Gleichungen gelten die merkwiirdigen Satze, dass 

dK. d-K. dK. 8P. 8P. dP., 



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ 

dp., dp. dq., dp. dq., dq. 

von welchen Poisson am angefiihrten Orte die erste Gruppe genau ebenso 
angiebt, wahrend die iibrigen sich aus seinen Resultaten unmittelbar hin- 
schreiben lassen. 

Die Gleichungen (2.) zeigen, dass die Grossen K t und P t als die partiellen 
Differentialquotienten einer Function nach den Grossen p- L und q { anzusehen 
sind. Diese Bemerkung, die ohne Weiteres aus den Gleichungen (2.) hervorgeht, 
macht Poisson nicht; noch weniger sucht er jene Function zu ermitteln. Diese 
Bestimmung hat vielmehr Hamilton zuerst gemacht, und durch die Einfiihruno; 

o <-> 7 o 

seiner charakteristischen Function wird die ganze Umformung ausserordentlich 
erleichtert. Auf dieselbe kommt man fast von selbst, wenn man aus der in 
der vorigen Vorlesung angegebenen zweiten Lagrangeschen Form der Differential- 
o leichungen den Satz der lebendiffen Kraft herleiten will, eine Herleitunff. welche 

O O O J (D? 

nicht ganz auf der Hand liegt. Der Satz der lebendigen Kraft ist, wenn man 
den Fall mitberiicksichtigt, in welchem in der Kraftefunction U die Zeit explicite 
vorkommt, 

T= U 1 4, ^-h Const. 
J dt 

oder differentiirt 

d(Tm su 

i ; - <\ sr = 0. (Seite 40.) 
dt at 

Um dies Resultat aus der (in Gleichung (9.) der achten Vorlesung enthaltenen) 
zweiten Lagrangeschen Form der Differentialgieichungen 

dp t d(T-t-lT) 8T 

dt dq. Pi ~ dq . 



69 

herznleiten, verfahrt man auf folgende Art. T ist eine homogene Function 
zweiten Grades der Grossen q , also hat man, wie bekannt, 



oder 

- dT 



and hieraus erhalt man durch vollstandie Differentiation 
dT= S 



.--.. 

dq. dq. dq. oq i 

oder, da die zweite und dritte Summe einander aufheben, 

ri T dT dT 

(3.) dT= S^d^-S-^-dq, = stdpt-2-^dqt, 

dT 
welche Gleichung identisch ist. Fiihrt man hierin fiir d-^-r = dpi seinen Werth 

aus (9.) der vorigen Vorlesung ein und dividirt durch dt, so ergiebt sich 



dT = x v ,_ ._ 

Cft 00. ^ ~ #. Cft 

- v d* 7 , _. dff dff 
dc/. eft 6Y 

also haben wir 

d(TlT) dU 

- | = = 0, w. z. b. w. 

dt dt 

Die identische Gleichung (3.) fiihrt mit Leichtigkeit auf die Hamiltonsche 
charakteristische Function. Die partiellen Diiferentialquotienten -^ und -^-j- =p, 

namlich, welche auf der rechten Seite der Gleichung (3.) vorkommen (von den 
letzteren die Diiferentiale) , werden gebildet, indem man T als Functionen der 
Grossen q und q ansieht. Filhren wir aber durch die schon oben erwahnten 
linearen Gleichungen q[ = K t die Grossen p { fiir q[ ein, so wircl dadurch T eine 
Function der Grossen p und q, und die unter dieser Hypothese gebildeten 
Differentialquotienten von T nach p t und q- t wollen wir zur Unterscheidung mit 

( dT\ , ( 6T\ } . , 

und bezeichnen. Dann ist 

\dpiJ V dq, J 



dp t 



70 
also nach Gleichung (3.) 



Da diese Grleichung identisch sein muss, so folgt aus derselben 






Die Gleichung (4.) zeigt, dass zwischen den Grossen p und q eine Art von 
Reciprocitat stattfindet; denn durch Zusammenstellung mit der fruher aufge- 

r) T 

stellten, t = p { , erhalten wir die beiden Gleichungen 

dT (dT\ 

___ I = <? , 

dq[ \ dp i J 

eine Correlation, wie sie ahnlich in der Theorie der Oberflachen zweiter Ord- 

d T 

nung vorkommt. Setzen wir den in (5.) gefundenen Werth von -~ in die 

dq. 

Gleichung (9.) der vorigen Vorlesung ein, so erhalten wir 

dpi ( d T \ dU 

dt \ dq. J dq. 

Aber da U die p gar nicht enthalt und ebenso wenig die q , so ist 

dU (dU\ dp. /a(y_j[7)\ 

-^ l~5 also -JT-= -^-5 -) 

dq. \ dq. ) dt dq. J 

Ferner kann man, weil U kein p enthalt, die Gleichung (4.) auch so schreiben: 

dq { _ ( d(Tir) \ 
dt ~\ dp. ) 
Also haben wir, wenn 

(6.) TU=H 

gesetzt wird, 

dq L _,_(_dH\ d P,- _(^H\ 

dt \dp.) dt \dqj 

woraus man sieht, dass H=-T U die characteristische Function ist. Aus 
diesen Gleichungen ergiebt sich der Satz der lebendigen Kraft von selbst; denn 
aus den beiden Gleichungen (7.) folgt 



dp. dt dq. dt 



71 

und dies in Beziehung auf alle i summirt giebt: 

dH dH _ =Q 
dt dt 

d. h. den Satz der lebendigen Kraft. 

Da es sich von selbst versteht, dass in den Gleichungen (7.) die Grossen 
p und q als die Variablen anzusehen sind, so kann man die Klammern urn die 
Differentialquotienten fortlassen und erhalt: 

dq. <977 dp. 377 

xn \ *t -t r TT rn TT 

[O J i. n } 7, n 5 -" * I** 

dt op. dt dq. 

In dem allgemeineren Fall, wo keine Kraftefunction existirt, tritt an die Stelle 

dU A -, i 

von ^s der Ausdruk 



wo die Summe iiber alle x, y, z auszudehnen ist, und es treten also an die 
Stelle der Gleichungen (8.) folgende: 

dq. f)T dp. ST 

CQ \ ll _ OM ^ l _ __ l_ o 

~dT -~d^T ~dT dq. y * < 

Wenn keine Bedingungsgleichungen vorhanden sind, fallen die Grossen q mit den 
Coordinaten zusammen; die erste der Gleichungen (8.) wird identisch, die zweite 
geht iiber in das System 

d*y. 



vt _ -^ _ _ - : - - _ _ ^^^ _ 

df dx. dt 2 dy. dt 2 dz. 

i y i t 

welches die ursprimgliche Form der Bewegungsgleichungen ist. 



Zehnte Vorlesung. 

Das Princip des letzten Multiplicators. Ausdehnung des Eulerschen Multiplicators auf 
drei Veranderliche. Aufstellung des letzten Multiplicators fur diesen Fall. 

Das. Princip des letzten Multiplicators leistet in alien Fallen, wo die In 
tegration eines Systems von Differentialgleichungen der Bewegung bis auf eine 
Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zuruckgefiihrt ist. 
die Integration dieser letzten Gleichung durch Angabe ihres Multiplicators. 
Vorausgesetzt wird hierbei, dass die sollicitirenden Kriifte X,-, Y L , Z, nur von 
den Coordinaten und der Zeit abhangen. 



72 



Wenn wir in das System der ursprunglichen Differentialgleichungen der 

dx. dy. dz. , , , 

Bewegung die Differentialquotienten -^-, -^-, -^- als neue Variable x { , y it z, 

einffthren, so nimmt dasselbe folgende Form an: 



dx( ^ ^ 8 L+^ 



dt 

t t, 

dm 



m i~~dt~ ~~ FrhA a^7 + ^"% - 1 "" ~dT *" 

rr 1 df &*** * I 

m. = 25.-j-A-^ h|U-~ 1 TT~ = 2 ,-- 

t /-// rt* Hs /7f 

CZ. OZ. 

Dies sind 6 n Differentialgleichungen; aber zwischen den in ihnen vorkommenden 
Gn von t abhangigen Variablen x f , y t , z it x it y { , z\ ... bestehen schon 2m Re- 
lationen, namlich : 

^L x + ^Ly^^L z \ - 
QtJC * C^U * UZ l 

Auf den linken Seiten der letzteren m Gleichungen sind respective die Terme 

df drs * 

-J-j , . . . hinzuzufiigen, wenn t in f, a), ... explicite vorkommt, Man hat 
also noch Gn 2m Integralgieichungen zu finden. 

Setzen wir nun zuerst voraus, class t weder in X { , Y f , Z^ noch in 
fj co, ... explicite vorkommt, so kann man durch eine der Gn Gleichungen. 
etwa durch die Gleichung -^- = x{ oder dt=j^, aus den ubrigen die Zeit eli- 
miniren mid hat dann ein System von Gn 1 Differentialgleichungen, dessen 
vollstandige Integration Gn 2m 1 Integrale erfordert. Gesetzt, diese Inte- 

O O O 

gration ware geleistet, so kann man die Gn Grossen ,1;, y { , z { , x\, y\, z\ ... 
durch eine derselben, z. B. durch x l} ausdriicken. Denken wir uns auf diese 
Weise x{ als Function von x^ dargestellt, so giebt die Gleichung dt=^j- 

integrirt 

C dx. 
t^r- Const. = j*-- 

J OC- , 

es kommt also, wenn die Zeit nicht explicite vorkommt, die letzte Integration 
auf eine blosse Quadratur zuriick, und die Zeit ist dann immer mit einer will- 
kftrlichen Constanten durch Addition verbunden. Dies findet z. B. bei der 
elliptischen Bewegung der Planeten statt. Nehmen wir aber an, das System 
der Gn 1 Differentialgleichungen, welche nach Elimination der Zeit erhalten 



73 

warden, sei nicht vollstandig integrirt, sondern es fehle noch eine Integration. 
man habe also nicht Qn 2m 1 Integrate gefunden, sondern nur Qn 2m 2; 
alsdann kann man nicht alle Variablen durch eine einzige, z. B. # 15 ausdriicken. 
wohl aber durch zwei, z. B. x t und y l . In diesem Falle bleibt noch eine Diffe- 
rentialgleichung zwischen x l und y\ zu integriren iibrig; hat man namlich a us 

-^- = y\ das Differential der Zeit durch dt=r eliminirt, so erhalt man 

dt x\ 

dx l :dy l = x\ :y\, 

wo x\ und y{ nach unserer Annahme Functionen von x t und y v sind. Von 
dieser Differentialgleichung nun giebt das- von mil* aufgestellte Princip den 
Multiplicator an. Nachdem man sie mit Hiilfe desselben integrirt hat, findet man. 
wie oben bemerkt, die Zeit durch eine blosse Quadratur. Wenn also diese 
nicht explicite vorkommt, so braucht man nur 6n 2m 2 Integrationen aus- 
zufuhren, um die beiden letzten ohne weiteren Kunstgriff zu erhalten. 

Kommt die Zeit aber explicite, also nicht bios in ihrem Differential vor, 
so lasst sie sich aus den Differentialgleichungen nicht eliminiren. Wenn jedoch 
alsdann 6n 2m 1 Integrationen ausgefiihrt werden konnen, durch welche sich 
Alles auf die Integration einer Differentialgleichung von der Form 

da; l x\dt = 

reducirt, wo x( Function von X 1 und t 1st, so erhalt man wiederum durch .das 
Princip des letzten Multiplicators das letzte Integral. 

Nachdem wir gesehen haben, was das in Rede stehende Princip leistet, 
gehen wir zur Herleitung desselben liber. - 

Als Euler schon an sehr vielen Beispielen gesehen hatte, dass man 
Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen zwei Variablen durch Multi- 
plicatoren zu vollstandigen Differentialen machen und so integriren konne, 
dauerte es doch noch sehr lange, bis er zu der Einsicht gelangte, dass dies 
eine allgemeine Eigenschaft dieser Differentialgieichungen sei. Dies lag daran, 
dass ihm die Vorstellung, die Integralgleichung nach der willkurlichen Con- 
stante aufzulosen, sehr fern lag. Ware ihin diese gelaufiger gewesen, so wiirde 
er auch nicht daran verzweifelt haben, die linearen partiellen Differential 
gleichungen auf gewohnliche zuruckzufilhren, ein Problem, welches er fur 
schwieriger hielt, als das noch heute ungeloste, Differentialgleichungen z welter 
Ordnung zwischen zwei Variablen zu integriren, wahrend die Zuriickfiihrung 
der partiellen linearen Differentialgleichungen auf gewohnliche jetzt zu den 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 10 



74 

Elementen gehort. Euler hat auch nie die Theorie des Multiplicators auf ein 
System von Differentialgleichungen ausgedehnt, obgleich in diesem Falle das 
Verfahren ebenso einfach ist, wenn man sich die Integralgleichungen nach den 
willkiirlichen Constanten aufgelost denkt. 

Nehmen wir zuerst eine Differentialgleichung zwischen zwei Variablen 
x und y, und zwar sei sie in Gestalt der Proportion 

dx:dy X:Y, 

gegeben, welche mit der Gleichung 

Xdy Ydx = 

identisch ist. Denkt man sich das Integral auf die Form F= Const, gebracht, 
so erhalt man durch Differentiation die Gleichung 

dF . dF . 
= dy-\ ~ dx = 0, 
ay dx 

deren linke Seite nur um einen Factor M von der linken Seite obiger Differential 
gleichung verschieden sein kann; man hat also 

dF dF 

MX MY = 

dy dx 

und hieraus ergiebt sich zur Bestimmung von M die Gleichung 

Dehnen wir die Theorie dieses Multiplicators M auf ein System zweier 
simultanen Differentialgleichungen zwischen drei Variablen aus. Dasselbe sei in 
folgender Form vorgelegt: 

(2.) dx : dy : dz = X : Y : Z, 

die Integralgleichungen nach den willkurlichen Constanten aufgelost seien 

(3.) f=a, r=fr 

dann hat man 



ay az 
und hieraus ergiebt sich 

dx . d .^ = f^^__^^_.__---._- 

\dy dz dz dy ) \ dz dx dx dz ) \ dx dy dy dx 

Setzt man 

A = ,_df_d<P__ _8Ldv_ B=Z ^L^__^L^L c = -^~^- df d(p 

dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx 



75 

so ist also 

dx : dy : dz = A : B : C, 

was mit dem vorgelegten System (2.) vergiichen zu der Proportion 

A:B:C=X:Y:Z 
fiihrt. Es giebt also einen Multiplicator M von der Beschaffenheit, dass 

A = MX, B = MY, C= MZ. 
Aber die Grossen A, B, C befriedigen identisch die Relation 

-M. r ._^_ + J. := o. 

dx dy dz 
daher hat man fur M die Gleichung 

d(MX) d(MT) d(MZ} 

n 1 o 1 ^ == 0, 

dx dy dz 

oder 



x dy dz 

Da f=a und <f = ft Integrale des vorgelegten Systems (2.) sind, so 
muss df und dy> vermoge desselben identisch verschwinden , ohne dass die In- 
teeraleleichungen zu Hiilfe ffenommen werden. Es ist aber 

c? O O o 

df df df d(f> d(f d(f 

df = ~dx-\ 7^dy-\ -TTdz, dw = * dx-{ ~-dy-\ ~--dz; 
dx dy dz dx dy dz 

folglich erhalt man vermoge des Systems (2.) 

(50 



^i. ~ T J. ,-, | " -, \Jm ^i. ~ T^ J. n TtLI -. \J. 

dx oy dz dx dy dz 

welche Gleichungen als die Definitionsgleichungen der Integrale des Systems (2.) 
anzusehen sind. 

Man kann hieraus beweisen, dass jede Function von / und (f, einer 
Constanten gleich gesetzt, ebenfalls ein Integral des Systems (2.) ist. In der 

That, ist to irgend eine Function von f und (p, so multiplicire man die Glei- 

^_ ^ 

chungen (5.) respective mit ^- und -~ und addire; alsdann erhalt man 

Y /^ 5ro df dtjs d(f \ v ( d& df d&f dy \ ( d& df dm dtp \ 
\ df dx d(f dx ) \ df dy dy dy ) \ df dz dg> dz ) 

oder 



dx dy dz 

10* 



76 

also 1st to ein Integral von (2.). Umgekehrt ist aber jedes Integral von (2.) 
nothwendig eine Function von f und cp. Denn gesetzt es gabe ein Integral 
to = y, welches keine Function von f und cp ware, so gilt fur to die Glei- 
chung (6.). Nun sei co eine beliebige Function von /, (p und to. Multiplicirt 

man dann die Gleichungen (5.) und (6.) respective mit 7^- -, -= und ~ - und 

of Off dm 

addirt. so erhalt man 



By 

folglich ist auch co ein Integral der Gleichungen (2.). Es ist aber co eine ganz 
beliebige Function der Grossen /, cp, to, und diese sind von einander unab- 
hangig. Daher konnte man f, cp, to als neue Variablen fur die urspriinglichen 
x, y, z einfiihren und diese urspriinglichen Variablen durch f, cp, to ausdrilcken. 
Demnach kann man jede Function von x, y, z als Function von /, cp, to dar- 
stellen, und eine willklirliche Function von /, cp, to ist gleichbedeutend mit einer 
willkiirlichen Function von . x, y, z. Man kann also jede Function von . x, y, z 
fur co setzen, d. h. jede Function von x, y, z einer Constanten gleich gesetzt 
ist ein Integral des Systems (2.), was unmoglich ist. Es kann also nur zwei 
von einander unabhangige Integrale des Systems (2.) geben und jedes dritte ist 
eine Function zweier von einander unabhangigen, f und cp. 

Man kann dies Resultat dazu benutzen, um aus einem Werthe des Multi- 
plicators M alle anderen abzuleiten. Es sei N ein zweiter Werth dieses Multi- 
plicators, so hat man 

x BM Y _dM . r ,BM \ BX BY BZ 



Bz [ dx By Bz 
X . + Y-+Z-+{*X-+W: + 3Z-} N - 

** n I -* "i I * /> I I -, 1 r\ -^ I ** W. 

ass ay Bz I Bx By Bz J 

Wenn man die zweite dieser Gleichungen mit M, die erste mit N multiplicirt 
und die Resultate von einander abzieht, so ergiebt sich 

I Bx Bx J I By By J I Bz 

oder, wenn man durch M 2 dividirt, 



By Bz 

- = Const, ist also ein Integral des Systems (2.), mithin - eine Function von 



77 

/ und (f, oder 

(7.) N=MF(f, 9 y, 

d. h. ist M ein Werth des Multiplicators, so sind alle ubrigen Werthe unter der 
Form MF(f, cp) enthalten. Aber, wie vorausgesetzt ist, sind f=a und <p = fi 
die Integrale von (2.), also wird F(f, (f) = Const. ; d. h. wenn man die Integral- 
gleichungen zu Hillfe nimmt, so sind die verschiedenen Werthe des Multiplicators 
nur^ um constante Factoren von einander verschieden. - 

Wir wollen nun sehen, welchen Vortheil die Kenntniss eines Werthes 
von M gewahrt; hierdurch findet man nicht wie bei einer Differentialgleichung 
zwischen zwei Variablen das Integral selbst, sondern man findet nur vermittelst 
der Gleichungen A = MX, B = MY, C = MZ Werthe der Grossen 

df d(f> df d(f __ df d(f df dy> __ of 6<p df dtp 



, __ __ 



dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx 

Der Vortheil, den man hieraus ziehen kann, tritt erst dann ein, wenn man 
ein Integral z. B. (f schon kennt und das andere f sucht. Man fuhre statt 
einer der Variablen z. B. statt z den Ausdruck <p ein, so dass z als Function 
von (f>, x und y dargestellt wird; wir wollen uns demnach das zu suchende 
Integral f durch x, y, (f ausgedriickt denken und die unter dieser Hypothese 

gebildeten partiellen Differentialq uotienten mit (-^-) 3 ("7j )j \fi~~] bezeichnen, 
dann haben wir 



_ _ 

da>.\dg> 6* dy \dy J\dg> dy dz \6<pdz 
und erhalten fur die Grossen A, B, C die Ausdrilcke 

(_df\d9_ _ (df\d<f_ C-(^L\^-(-^-\^- 
\dy) dz> \ dx ) dz V dx ) dy \8y) das 

Aus denselben ergiebt sich, dass, wenn man das Integral (f=^ft und einen 
Werth des Multiplicators M kennt, man / bestimmen kann. Denn denkt man 
sich / durch x, y und (f = @ ausgedriickt, so ist 



oder da dy) = Q ist, 



78 

Aber aus den obigen Grleichungen fiir A und B hat man 

B 



n I 1 1 \ I ^9 

0^ / ay V OB / ay 

<5/2 C/0 

also 

^4cfy <*; 



df = 



d(f> 



dz 
Da nun 

A = MX, B = MY, 
so wird 

(8.) df = -L-(Xdy 



und es ergiebt sich daher 



als zweites Integral des Systems (2.). Hier muss man X und Y, welche als 
Functionen von x, y, z gegeben sind, durch x, y und <p fi ausgedrtickt an- 

nehmen. Unter dieser Voraussetzung 1st, wie wir aus Gleichung (8.) sehen, 

M 

^ der integrirende Factor der Differentialgleichung Xdy Ydx = 0. Somit 

haben wir folgenden Satz: 

1st das System von Differentialgleichungen 

dx:dy:dz = X:Y: Z 

gegeben, und kennt man erstens em Integral (f ft desselben, sowie zweitens 
einen Werth des Multiplicators M des Systems, welcher der partiellen Differential 
gleichung 

BM { dX dY dZ\ M=() 
Bz } - 



8x 


dy 


dz 


~r~ i 5 i 

I dx 

M 


~ 5 ~T~~5~ 

dy dz 



genugt, so ist 

d(f 
der integrirende Factor der Differentialgleichung 



79 

vorausgesetzt, dass soivohl aus dem angegebenen Factor, als cms X und Y ver- 
moge des schon gefundenen Integrals (f == ft die Variable z eliminirt sei. 

Man konnte diesen Satz fur sehr unfruchtbar halten; denn wahrend zur 
Kenntniss des zweiten Integrals f die Losung der partiellen Differentialgleichung 



-- 

dx dy 

erfordert wird, haben wir, um M zu bestimmen und daraus das zweite Integral 
f zu linden, die viel complicirtere Differentialgleichung 

dJ\i dM SM dx dY BZ 



BZ\ 

d^r 






zu losen. Es scheint also ein leichteres Problem auf ein schwierigeres zuruck- 
gefuhrt zu sein; indessen tritt hier ein eigenthiimlicher Umstand ein. Die partielle 
Diiferentialgleichung, welche / definirt, also die Gleichung 



= U 



^ 
dx dy 

lasst die Losung / = Const, zu; aber diese evidente Losung giebt kein Integral 
des vorgelegten Systems und muss daher ausgeschlossen werden. Ein solches 
Ausschliessen einer Losung ist bei dem Multiplicator M nicht nothig, und wenn 
z. B. M einer Constanten gleich gesetzt eine Losung der Grleichung (4.) giebt, 
so ist dieser Werth von M als Multiplicator ebensowohl zu brauchen, wie jeder 
andere. Der Fall, dass man M= Const, setzen kann, tritt ein, wenn 

dX dY dZ 

(9 ^^^-^T^^^ 

ist, denn alsdann reducirt sich die Gleich ung (4.) auf 



dx ay dz 

man kann also M= Const., z. B. =1, setzen und hat den Satz: 
Wenn in dem System der Differentialgleichungen 

dx:dy:dz^ X:Y: Z 
X, Y, Z Functionen von x, y, z sind, tvelche der Bedingung 

dX 8Y dZ 

~ -- 1 ^ -- 1 ?s u 
dx dy dz 

genilgen, wenn man ferner ein Integral (f = fi des Systems kennt, aus dieser 
Gleichung z in den Grossen x, y, ft ausdruckt und den gefundenen Werth in 



X, Y, -~ einsetzt, so ist 
dz 



80 



(Xdy-Ydx} = 



Off 



em vollstdndiges Differential, und man findet also durch blosse Quadratur das 
zweite Integral f= a des Systems. 

Es ist noch ein z welter allgemeiner Fall zu erwahnen, der den eben ge- 
nannten in sich schliesst, und in welchem sich ebenfalls M allgemein bestimmen 
lasst. Fiihrt man namlich in die fur M geltende Grleichung (4.), nachdem man 
dieselbe mittelst Division durch MX auf die Form 



_1 ( dM Y dM Z 8M\ 1 ( dX BY dZ \ _ 

M \ dx " H X dy " h X dz ) + ~X\ dx dy ~ ~ dz ) = 

gebracht hat. die aus dem vorgelegten System (2.) folgenden Werthe 

y___dy_ Z __ dz 
X dx X dx 
ein so erhalt man 



oder 



oder endlich 



^ . 

1st nun "Y"!-^ 1 3- I g-M ein vollstandiger Ditferentialquotient nach x, also 

von der Form -f-, so hat man 
dot 



1 ( dM 


dM dy dM dz \ 


i 1 ( 8X dY 
+ \ i i 


az\ 


n 


M\ dx 
jh 


dy CLX dz dx ) 
1 dM 1 i 8X 


v I n "1 o I 

A V d^ dy 


ds J 


"j 


M dx X V dx 
dlgM 1 f 8X 


cty dz ) ~ 



dx dx 

J/= C.er t. 
Hieraus ergiebt sich der Satz: 

D5 vorgelegte System heisse 

dx:dy :dz = X:Y: Z, 
es sei ferner der Ausdruck 

(^ + ^L + dZ-} 

X \ dx dy dz J 



81 
gleich -~, d. h. gleich irgend einem vollstdndiyen Differentialquotienten nach x, 

(JiSC 

endlich sei (p = ft em bekanntes Integral des Systems; dann ist 



~w 

ein vollstdndiges Differential, vorausgesetzt, dass hierin vermoge des Integrals 
(p fi Alles in x und y ausgedrilckt sei. Man kann naturlich dies Resultat auch 
so aussprechen, dass die beiden Veranderlichen des Differentialausdrucks, von 
welchem der integrirende Factor angegeben wird, nicht x und y sondern x und z 
oder y und z sind. 

Wir wollen Beispiele zu diesen Satzen geben. Es sei zuerst eine ge- 
wohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung zu integriren, namlich 



,( dy \ 

= f\ x y -j- = U , 

\ dx J 



dx* 
Fiihrt man eine neue Variable z = - ein. so hat man die beiden Grleichungen 

{hOu 

dy dz 

~r~ = z > -j u > 
dx ax 

also 



dx : dy : dz = \:z:u; 
ezeichnungen 

gestellten Satze 

dX dY dZ 



daher ist nach den friiheren Bezeichnungen 



Um den ersten der beiden aufgestellten Satze anwenden zu konnen. muss 



= 



hat man die Bedingung 



dx dy 

of f 

dy 

du 



, . ,. -n n , 3X 8Y dZ 6u 

sein: in dem hier vonieo enden i*all ist g = 0. .-. =U, 5 = 5 , also 

dot a dz dz 



= 0, 



d. h. es darf in u nicht z oder, was dasselbe ist, nicht ~ vorkommen. In- 

dx 

dem man diese Annahme macht. erhalt man das Theorem: 
Es sei die Differentialgleichung 



Jacobi, Werke. Supplementband (Dynainik). 11 



82 
zu integriren, wo f kein ^- enthdlt, man kenne hiervon ein erstes Integral 



welches nach -j- aufgelost 



oder 

dy \p(x,y, a)dx = 

gebe, dann ist 



d(f 



dx 
in x, y und a ausgedruckt der integrirende Factor dieser Differ entialgleichung. 

Ein Beispiel zu clem zweiten Satze giebt die Variationsrechnung. Das 
einfachste Problem derselben ist dasjenige, in welchem das Integral 



ein Maximum oder Minimum werden soil. Diese Aufgabe fiihrt auf die Diffe 
rentialgleichungen 



= , = 

dx dy dx 

Die erste derselben giebt entwickelt 



__ 

dydy dy n ~fa By 
man hat also 

dip ay 



dy dy dxdy 






oder, wenn man zur Abkiirzung 

dy a> a> . _ 

dy dxdy dydy y ~ 
setzt, 

dy _ p 



83 
Nan ist ausserdem 



dx 

also hat man 

dx : dy : dy = 1 : y 1 : u. 

Es tritt hier y an die Stelle der Variablen. welche oben mit z bezeichnet wurde, 
und es ist also 



Damit der zweite Satz Anwendung finde, muss der Ausdruck 

__(_dX____dY__ dZ\ 

X\dx dy dz ) 

ein vollstandiger Differentialquotient nach x sein; im vorliegenden Fall ist derselbe 



du 
du 

D sicn 
stellen lasst. Es ist 



also fragt es sich, ob sich -^-7- als vollstandiger Differentialquotient nach x dar- 



also 



- du dy n dy 

W 

Aber zugleich wird 



und da zufolge der Gleichung 

o o 



8 2 W du 

v = . ]. f 
ou dx 



-3-75- im Zahler und Nenner von -5-7- sich forthebt, so erhalt man 



dx 



11* 



oder 



u 



84 



dx 



dig 



du 



Es ist also in der That -5-7- ein vollstandiger Differentialquotient nach x, und 
nach Gleichung (11.) 



M = 



Man hat demnach einen Satz, der fur alle Probleme der Variationsrechnung 
gilt, in welchen das Integral 



ein Maximum oder Minimum werden soil. Damit diese Bedingung erftillt werde, 
muss zwischen x und y die Differential gleichung zweiter Ordnung 

d^- 
dy _ dip 

dx dy 

bestehen, welche folgende Eigenschaft besitzt: Kennt man ein erstes Integral 
derselben 



und bringt dasselbe auf die Form 

dy F(x,y, a)dx = 0, 
so ist 



dy cty 



da; 
in x, y und ce ausgedruckt der integrirende Factor dieser Differentialgleichung. 

In diese Kategorie von Aufgaben des Maximums oder Minimums gehort 
z. B. die Bestimmung der kilrzesteri Linie auf einer gegebenen Oberflache. Diese 
Aufgabe ffihrt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; kennt man von 
derselben ein Integral, so lasst sich der Multiplicator der noch zu integrirenden 
Differentialgleichung erster Ordnung bestimmen. 



85 

Was bis jetzt von dem einfachsten Fall der Variationsrechnung gesagt 
worden 1st, lasst sich auf den allgemeinsten ausdehnen, in welchem unter dem 
Integralzeichen eine Function steht, die beliebig viele von einer Variablen x ab- 
hangige Variable y, z, u, . . . und von jeder die Differentialquotienten bis zu einer 
beliebig; hohen Ordnung hin enthalt. Wenn eine solche Aufgabe bis za einer 

o o o 

Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zuruckgeftihrt ist, 
so lasst sich die letzte Integration ebenfalls ausfuhren. Aber um dieses Resultat 
zu gewinnen, ist es nothig einige Satze fiber die Ausdrucke anzufiihren, welche 
bei der Auflosung der linearen Gleichungen vorkommen, und welche von Laplace 
Resultanten, von Gauss Determinanten, von Cauchy alternirende Functionen ge- 
nannt worden sind. 



Elfte Vorlesung. 

Uebersicht derjenigen Eigenschaften der Determinanten, welche in der Theorie 
des letzten Multiplicators benutzt werden. 

Setzt man 

P = (a 2 a 1 Xa 3 a l ) . . . (a, o,) . . . (a n aj 
(a 3 3 ) ... (a s a 2 ) ....(a n a 2 ) 



(a n a n _ t ), 

so hat das so definirte Product P die Eigenschaft, dass es durch irgend eine 
Permutation der Grossen a 1? 2 , ... a n oder, was dasselbe ist, der Indices 
1, 2, ... n nur das Zeichen und nicht seinen absoluten Werth andert. Von 
diesen Permutationen soil hier nur Folgendes angefiihrt werden: 

Man bezeichne die Indices 1, 2, ... n, nachdem man ihre Ordnung auf 
eine ganz beliebige Art geandert hat, mit ^, i>, ... i n und die Permutation, 

durch welche 

1, 2, 3, ... s ... n 

in 



iibergeht, mit J. Wie auch die Permutation J beschaffen sein mag, so kann 
man immer die Indices 1, 2, ... n in gewisse Gruppen von der Beschaffenheit 



86 

theilen, dass durch die Permutation J die Indices, die zu einer Gruppe gehoren, 
entweder in einander oder sammt und senders in eine andere Gruppe ubergehen, 
so dass jedenfalls die zu einer Gruppe gehorenden Indices bei einander bleiben. 
In Riicksicht auf diese Gruppen kann man alsdann wiederum die Permutationen 
klassificiren, so dass fiir einige derselben alle Gruppen in sich selbst ubergehen, 
fiir andere eine bestimmte Gruppe von Indices in eine zweite iibergeht u. s. w. 
Dieser noch keineswegs erschopfte Gegenstand ist einer der wichtigsten der 
Algebra; in alien Fallen, wo bis jetzt die Auflosung der Gleichungen moglich 
gewesen ist, ist hierin der Grund zu suchen. 

Die wichtigste dieser Klassificationen der Permutationen ist die in positive 
und negative Permutationen, von welchen die ersteren P ungeandert lassen, 
die letzteren P in P verwandeln. In die zweite Klasse gehort z. B. der ein- 
fachste Fall, in welchem man nur zwei Indices i und i mit einander vertauscht. 
Man sieht dies auf der Stelle ein, wenn man P auf die Form 

bringt, wo k sammtliche Indices bedeutet, die von i und i verschieden sind, 
und k, k sammtliche Combinationen der von i und i verschiedenen Indices zu 
je zweien, wobei die Vertauschung zweier in derselben Differenz vorkommenden 
ausgeschlossen ist. Um zu beurtheilen, ob eine Permutation 

f 1, 2, 3, ... n 

\ ) \ 

l*j, * 2 , * 3 , ... ^ n 

positiv oder negativ sei, vergleiche man der Reihe nach jedes { mit den nach- 
folgenden Zahlen. Ist p die Anzahl derjenigen Falle, in welchen das grossere i 
vor einem nachfolgenden kleineren steht, so ist (J) eine positive oder negative 
Permutation, jenachdem /& gerade oder ungerade ist; oder einfacher: (-/) ist 
positiv oder negativ, je nachdem man durch eine gerade oder ungerade Anzahl 
von Vertauschungen je zweier Elemente aus 1, 2, 3 ... n, die Permutation 
4? 4? 4 4 erhalt. 

Um von clem Bisherigen zu den Determinanten iiberzugehen , betrachte 
man die n 2 Grossen 

a,, b , c , ... p . 

a n> b n> C n> Pn 

Man bilde das Product 

a. b v c, , . p , 

"i "j v s r n > 



87 

permutire in ihm die Indices auf alle moglichen Arten, gebe dem jedesmal re- 
sultirenden Producte das Plus- oder Minuszeichen, jenachdem die Permutation 
eine positive oder negative 1st, und summire alle diese Producte mit den ihnen 
zukommenden Zeichen. Der dadurch entstandene Ausdruck 

R = 2 ai b 2 c 3 ...p n , 

wo das doppelte Vorzeichen in der angegebenen Bedeutung genommen werden 
muss, ist die Determinante der n 2 Grossen a v ... p n , und diese tf Grossen 
werden die Elemente der Determinante R genannt. Man kann sich R aus der 
Entwickelung von P dadurch entstanden denken, dass man in jedem Gliede das- 
jenige a, welches in demselben nicht auftritt, zur nullten Potenz erhoben als 
Factor hinzufugt und sodann fur jeden Werth des Index i an die Stelle der 
Potenzen a?, a], a], ... c%~ 1 beziehungsweise a { , b { , c { , . . . p t setzt. Die De 
terminante R hat folgende Fundamental-Eigenschaften : 

1. Permutirt man zwei Indices i und k oder zwei Buchstaben z. B. a 
und b mit einander, so geht B in R fiber. Daraus folgt, dass, sobald zwei 
Reihen von Grossen mit einander zusammenfallen, sobald also 



(i. = h, , fir, = A 9 , ... q = h , 

/ 1 \J irp 2* ffn n 

die Determinante R verschwindet. 

2. Die Determinante R ist in Beziehung auf alle Grossen, die in einer 
Reihe stehen, homogen und linear, also sowohl in Beziehung auf die Grossen 

a i> b i> - Pa 
als auch auf die Grossen 

9v 9v </ n - 
Daher hat man 

dR 8R . 8R 

R = - a.-\ 



-) "V < "IL i r^ n A 7 ,- 3 

aa. * co. f op. 

i 1 1 

dR 6R 6R 



Setzen wir 



8R 8R SR _ 

***> ^IA ~ ***> n^ * < 



da. db. dp. 

l I J- i 

so ist 

R = 

ebenso 

R = 



88 

Aber durch Vertauschung der Indices i und k geht R in R fiber, also, wie 
hieraus ersichtlich ist, A f in A k , B; in B k u. s. w.; mithin geht der Term 
von AI, der in b k maltiplicirt ist, in den Term von A k fiber, der in 6, multi- 
plicirt ist, d. h. in R haben a t b k und a k b t entgegengesetzte Factoren, oder es ist 

d R d*R 

da.db, da,db. 

i k k i 

Ebenso hat man fur drei Indices i, k, I 

d*R d*R d 3 R d 3 R d s R 



da.db.dc, da,db,dc. da.db.dc. da,db,dc. da.db.dc. da.db.dc 

t k I k I i lik I k i k i I i I 



und hieraus ergeben sich folgende Darstellungen von 



, 

k \t da.db. 

i k 



R = ^ 

wo die Summationen auf alle von einander verschiedenen Combinationen der 
Indices 1, 2, ... n zu zweien und zu dreien auszudehnen sind. Diese Dar- 
stellung einer Determinante durch Producte von Determinanten niederer Ord- 
nung nndet sich zuerst in einer Abhandlung von Laplace iiber das Weltsystem 
in den Pariser Memoiren von 1772. Laplace und Cramer in Genf sind iiber- 
haupt die ersten, welche die Eigenschaften der Determinanten gehorig unter- 
sucht haben. 

3. Die oben angefuhrte Gleichung 

dR dR dR 

R = 



~3~ 

dg n 

giebt, wenn man a fur g schreibt: 

dR dR dR 

R = a.-~ --- h 2 ^ --- 1 



o i ** o I i^ " o 

oa 1 oa 2 oa n 

Dieser Gleichung sind noch n 1 andere hinzuzufiigen, welche sich dadurch 
beweisen lassen, dass R identisch verschwinden muss, wenn man zwei Reihen 
von Grossen einander gleich setzt; sie lauten: 

dR dR dR 



oa l " oa 2 oa n 

dR dR dR 



da n 
dR dR 



89 



Auf diesen Formeln beruht die Auf losung der linearen Gleichungen. Denn hat 
man das System 

a^ x, -h b l # 2 H ----- \-p l x n = yi , 



, . r . -r m i * v ^ d <9# 

and multiplicirt man aiese (jrleicnunffen respective mit -~ . -3, -= . mit 

da l da. 2 da n 

, -7^- , etc. wo JR die oben angemjbene Bedeutunc: 





hat. so erhalt man 



5.R 8R 6R 

Roe. = -~ 



f\ ,7 1 I ") 

da, aa a 

6R dR 



5/2 ^R dR 

J\ tn - ^T ?/ . -- ^ ^/o I * I -- ^. - 1/ . 

dp, J dp, J dp n Jn 

4. Mit Hiilfe dieser Formeln beweist man einen merkwiirdigen Satz liber 
die Variation der Determinants R. Man bezeichne die Variationen der Grossen 
a,, b,, ... pi mit dcii, db t , . . . J)j ; und bilde folgende n Systeme von linearen 
Gleichungen: 



a x\ -\-b x -\ ----- \-p x = da ; 

n I n 2 JTn n n 

2) fll 



u. s. w. u. s. w. 
endlich 



Jacobi, Werke. Supplementbaud (Dynamik). 12 



90 

Nun ist 

3R = 2 {^ Sa + -xj- db-\ h -g %) 

I da. ! oo. a. M 

* *. I J JT f J 

Aber nach den obigen Formeln fiir die Auflosung der Gleichungen hat man 



dR , . BR . ^dR 

-da,-h- 
da 

und ebenso 



D , r . , 

Rx\ = -~ da.-\ ~ da.,-\ 1 ^ da = 2-^ oa , 

* - a. 



__ ^. QR 

% ** ri/ 
t 

also, 
oder 



Zwolfte Vorlesung. 

Der Multiplicator fiir Systemo von Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veranderlichen. 

AVir wollen sogleich von dem gegebenen Satz fiber die Variation der De- 
terminante eine Anwendung auf ein System von Differentialffleichurigen machen. 

d 

Es sei folgendes System gegeben: 

a\ (US^ -IT C(X^ ^ -y ClXl ^ -y ClX n -y 

) 7 - "!) J - ""35 " " 7 - " O * 7 - * 

aa; cte (/.i- tfe 



Dieses System, in welchem X l} X 2 , ... X n beliebige Fanctionen von x, x^ x ? , . . . x n 
sein konnen, sei integrirt durcli folgendes System von Gleichungen: 



Setzt man hieraus die Werthe von ^ 1; a; 2 , ... x n in X 15 X 2 , ... X n ein und 

/y -Y\ fj fv\ fj rv* 

bestimmt auch die Differential quotienten , 1 , . 2 , -~r~ als Fanctionen 

Cliff O.CG CLvG 

von x und den M willkiirlichen Constanten , , 2 , ... w n , so wird durcli diese 
Werthe das System (1.) identisch erfullt, d. h. die Gleichungen (1.) gelten fiir 
jeden Werth der Veranderlichen x und der willkiirlichen Constanten 1? 2 , . . . , 
daher kann man sie nach jeder dieser n Constanten difterentiiren. Aus jeder 



91 



der Grleichungen (1.) entstehen auf cliese Weise n Gleichungen, im Ganzen n 
Systeme von je n Gleichungen, also tf Grleichungen. sammtlich von der Form 



_ da k 


*"l ~\7~ ^1 

dXi d,^ ( 


dX; dx n dX; 
2 i ... i 


dx n 


dx 
Das aus der ersten Gleich 

!) ^, ^ 


<92?, da/; 
dx. 


dx 2 da k dx n 
X^ folgende System 

dx n dX, 


da k 
ist: 


dx 
ftr, dX, 


5a, 


da, dx, 

dx, dX, 


da, dx 2 
! d<* 2 3X, 


da, dx n 
dx n dX, 


dx 
dx, 


da 2 


da 2 dx, 

dx, dX, 


d 2 5 ( ^ 2 

8 8 ax, 


111 I i 3 
da 2 dx n 

1 ^ 1 


dx 
o.r, 


da n 


o f\ In o 1 

da n dx, da n dx 2 
Die aus den iibrigen Gleichungen (1.) 


da n dx n 
folgenden Systeme 

n ^ ~v 

a.y ra oA 

... | 2 


sind : 
da* 


da, dx, 

d~> V 
x, dX 2 


*"l *^ 

fiff rt 9 
i_/Uj 00/2 

at- 2 5X 2 


<9a, 5tr n 

. , . , dx n dX, _ C 


J.r 


5a a 


da 2 dx, 
dx, dX 2 


O 2 0^ 2 

9 

, el*, dX 2 


da 2 dx n 

dx n dX. 2 


^,r 


da n 


da n dx, 


da n dx 2 
u. s. w 


1 r> r) 

da n d,r ti 
u. s. w. 


dx 




endiich 

, dx dX >t 


Ht 9 5X ra 
i 2 i 


n TV ^ 

o,r,, aJLn 


<9,^, 


da, 


VJ da, dx, 

d") ~V 
X, dX n 


i . .-, i 

riff ri T 
L/tv. \JtV 2 

h2 ra i 


da, dx n 

dx,, dX n 


dx 
& 


8 


da 2 dx, 
dx, dX n 


o 2 d2; 2 

dx n dX,, 
1 1 


<3 2 dx n 
dx H dX n 


das 
6a? B 


60,, 


da n dx, 


d re dx- 2 


da n dx n 


^ 



12 



92 



Vergleicht man cliese Systeme mit denen, welche in N. 4 tier vorigen Vorlesung 
bei Gelegenheit des Satzes von cler Variation der Determinante aufgestellt worden 
sind, so findet man, class jene in diese durch die folgenden Annahmen iibergehen: 



da, da, 

eta. 



& = 



O n C* re de^ 

v +" a l> v 2 ~t~ * 2 . . . n 

6a l d 2 da n 

^ ~V Y" ^1 ~V 

O*A.. t C -A, , C7-A, 



(fl) 

a?V = 



c/^; 

Daher lasst sich der vollstandige Differentialquotient von IgT? nach a 1 in der 
merkwiirdigen Form 

71 7") *~i "V *"i "V "l V 

aisjxv d2L. dA, dA n 

(2.) ^ = -5 L H ; -H ^~~^~^ 

darstellen, wo 



Nach vollendeter Integration des Systems (1.) findet man also R aus der Glei- 
chung (2.) durch eine Quadratur nach x. Aber es giebt Falle, in welchen die 
Determinante R vor alien Integrationen angegeben werden kann, namlich wenn 

^j ~*r r\ -vr f^ ~y 

sich die Summe -5 L -t-- r^H ----- 1 ^-7^ mit Hiilfe des Systems (1.) in einen voll- 

Qi. Q&.2 (j$fi 

standigen Differentialquotienten nach x transformiren lasst, oder, was ein noch 
einfacherer Fall ist, wenn X l kein x lt X 2 kein x 2 u. s. w. X n kein x n enthiilt. 



. . 6X. t . n n -, 

Alsdann ist ^- L H ^H ----- h- - = 0: claher 
oos l 0^2 aa 

cZlg,R 

- = 0. R = Const. 



93 

Der in der Gleiehung (2.) enthaltene Satz ist zuerst von LiouviUe und 
zwar in dieser Form aufgestellt worden (LiouviUe Journal Bd. 3, p. 348): in einer 
anderen Form, in welcher die willkurlichen Constanten a durch unabhanoio-e 

o o 

Variable x und diese durch Functionen / von den Variablen x ersetzt sind, 
kommt derselbe in einer meiner Abhandlungen (Crelle Journal Bd. 22, p. 336) vor. 
LiouviUe hat aus diesem Satz nicht den Nutzen gezogen, welchen er fur die 
Integration gewahrt. Ehe wir zu dieser Anwendung ubergehen, wollen wir clem 
gewonnenen Ergebniss eine etwas allgemeinere Form geben, indem wir daran 
eine Veranderung anbringen, die zwar sehr unwesentlich scheint, ohne welche 
aber nichtsdestoweniger seine Anwendbarkeit sehr viel beschrankter sein wurde. 
Schreibt man das System (1.) in Form der Proportion 

dx : dx 1 : dx 2 :...: dx n = 1 : X l : X 2 : . . . : X n , 

so lasst sich derselben, durch Multiplication mit einer willkurlichen Grosse X 
auf der rechten Seite, die frtiher betrachtete Gestalt 

(3.) dx : dx 1 : dx 2 : . . . : dx n = X : X 1 : X 2 : . . . : X n 

geben, wenn man gleichzeitig X l} X 2 , ... X n beziehungsweise durch die 

XX X 

Quotienten -^-, --, . . . -~^- ersetzt. Durch diese Veranderung oreht die Glei- 

JL JL -A. 

chung (2.) in 

X. 



dlgR \ X 



f- 



i(dx l ox. dx n \ i ( ex Y ox 

~~ X \ dx, ~~^T~+" dx n }~ X 2 l AI ^ hA " 



X 2 \ cu , * ex., 

iiber. Das substractive Glied auf der rechten Seite dieser Gleiehung kann man 
mit Hiilfe der Grleichunsren 

cA/ j X 2 dx., X n __ dx n 






auf die Form 

dX fa, 6X dx., dX dx n 



X dx n \ 

s n dx ) 



X \ dx l dx dx 2 dx dx n 

oder 

1 ( dX dX\ 
~~X\ dx ~ dx J 

brino-en. Setzt man dies in den Ausdruck von - ~ ein, so ergiebt sich 

ax 
7 1 T-> -t / ~i -\r "~\ ~v n *v 

c/Jo /t 1 / dJL dA o2L n 

I L _| -L i . . . _j ! 

X \ 6x^ dx 2 dx n 



?Xn\__(dX_ dX\ 
Bx n J X \ dx ex / 



94 
oder 

x ax ax n 



d\ g (XR) = iiax dx 

dx X\ dx dx 

Man kann also, wenn sicli -V\Q-, \~~Q~ L ~\ ----- ^"TT/ durch das gegebene Sy 



stem (3.) in einen vollstandigen Differentialquotienten nach x transformiren lasst, 

-i - 8X 6X. 

oder wenn = 1 ^ L H 

ox ctej 

Im letzteren Falle hat man 



r) V ^ ~Y r3 "Y" 

oder wenn -= I ^ L H 1 o- JL = 1st, R vor alien Inteffrationen bestimmen. 

ox dx ox n 



XR = Const., 
Const. 



X 

wo, wie fruher, 

T> v ( I ^2 GX n 



da, 6a 2 Qa n 

Setzen wir nun voraus, das System (3.) sei in der That von der Be- 
schaffenheit, dass sich R vor aller Integration angeben lasst, und nehmen wh 
an, man habe schon n 1 Integrale gefunden, das n te fehle noch, so kann man 



die n 1 Integralgleichungen in der Form 



darstellen, und es bleibt alsdann die Differentialgleichung 

o o 

Xdx 1 X l dx = 
zu mtegriren tibrig, deren Integral auf eine Grleichung von der Form 

x i =^ 1 (^ I ,2^"n) 

fiihrt, Aus der Vergleichung mit dem obigen vollstandigen Integrationssystem 
der DifFerentialgleichungen (1.) folgt iiberdies, dass die gegenwartig mit ^ be- 
zeichnete Function dieselbe 1st, welche oben mit /i bezeichnet wurde, und dass 
die Functionen (f> 2 , ^ 3 , ... <p n respective in / 2 , f 3 , . . . f n iibergehen, wenn man 
fur x l seinen Werth (p v substituirt. 

Schliessen wir die Differentialquotienten der Grossen x 2 , x 3 , ... x n , 
insofern wir sie als Functionen von x, x lt cr 3 , 3 , ... cc n ansehen, zur Unter- 



scheidung von den bisher betrachteten Differentialquotienten in Klammern ein, 
so wird 

dx. dx. \ dx. 



dx, 

wo i und k alle Werthe von 2 bis n inclusive annehmen konnen. Fur k = 1 
erhalt man 

dx. ( dx. 



da, \ dx, J da, 

eine Gleichung, welche man unter der allgemeinen Formel mit begreifen kann, 
wenir man beriicksichtigt, dass 



(5 ) 



da, 
ist. Es gilt demnach die Formel 



o 

dx. 



f dx. \ ( dx. \ a , 
x =(-a- i -)-i-l^ J -hr L 

da k \ da k J \ dx l J da k 
von = 2 bis i=n-\md von k=l bis k = n. Hierdurch wird 

R = 3- 



da, IV da.; J \ dx, J d 2 J IV da 3 
d. h. R wird die Determinante aus den Grossen 



"\ I I to li i * 1 1 "i I I i o I f- i i 

da 3 J \ dx, J da 3 J IV dctn J \ dx-, J da n J 



d^i ( -d^s \ | T d^ 2 \ fa t ( d* \ ! ( fa 3 \ fat . . . ( fa \ [ /" ^ "\ fai 

da, \ da, J \ dx, J da, V 6j / V 5,, / da, V c/, / V dx, J da, 

dx, ( dx, \ , ( dxs\_&e,_ ( dx, \ . ( dx, \ dx, ( dx n \ . ( dx, 
x. J da., 



dx, J da, V da. 2 J V dx, J da. 2 V d. 2 / V dx 

dx, I dx, \ | / dx, \ dx, / dx s \ I dx s \ dx, 1 dx n \ | / dx n \ dx, 

da 3 V da 3 J V dx, J da 3 V da 3 J V dx, J da 3 V da 3 J { dx, J da 3 

d-^ i | dx, \ / dx, \ dx, | d-^3 \ / dx s \ dx, ^ ^ ^ I III " I 
da n V da n J { dx, J da n V da n J { dx, J da n - V da n J { dx, J da n 

Bezeichnet man mit R, und mit R 2 die Determinanten, in welche die 
vorgelegte Determinante R iibergeht, wnn man die n Grossen der zweiten 
Verticale fur R i auf ihren ersten Term, fur R 2 auf ihren zweiten Term reducirt, 
so ist R als lineare homogene Function jener n Grossen gleich der Summe von 

R { und R 2 . Aber R 2 hat den gemeinschaftlichen Factor (-3-7-), und nachdem 

V dx, ) 

man denselben herausgezogen, fallen die Grossen der ersten und zweiten 



96 

Verticalreihe zusammen, d. h. R> ist eine nach Nr. 1 der vorigen Vorlesung 
verschwindende Determinante, und R wird gleich R^ d. h. R bleibt unver- 
andert. wenn man die Grossen der zweiten Verticalreihe auf ihre ersten Terme 
reducirt, Dasselbe gilt von den Grossen der dritten, vierten, . . . ra ten Vertical 
reihe, und es ergiebt sich daher R gleich der Determinante atis den Grossen 



da 

da, 



^1 
da, 

_^k_ 

da n 

Stellt man nun diese Determinante als lineare Function der Grossen der ersten 
Horizontalreihe dar und beriicksichtigt, dass nach (5.) dieselben mit Ausnahme 
von -~- alle verschwinden, so erhalt man R als Product von -^- in ^ r 

r\ ~5 

d. h. als Product von -^- L - in die Determinante a 

.(60 -*t(4 



deren Elemente diejenigen sind, welche von dem letzten Schema iibrig bleiben. 
wenn man die erste Horizontalreihe und die erste Verticalreihe fortlasst. Man 
hat also schliesslich 



Diese Gleichung ist von der hochsten Wichtigkeit. Da man namlich nach 
unserer Annahme R aus dem gegebenen System (3.) a priori finden kann, ohne 
irffend eine Integration gemacht zu haben, da ferner Q vermoge der n 1 bereits 

O O o 7 *? 

ausgefuhrten Integrationen bekannt ist, so liefert die Gleichung (7.), wie wir 
sogleich sehen werden. die noch iibrig bleibencle n tc Integration, inclem sie fur 
die Differentialgleichung 



in welcher X und X { als Functionen von x und ^ ausgedriickt sind, den inte- 
grirenden Factor bestimmt. Das vollstandige Integral dieser Gleichung sei 

(8.) ^CvO = <v 



97 

Hieraus ergiebt sicli dtircli Auflosung f tir z\ derselbe Ausdruck, den wir 
oben mit 

A i = ? ; iO r >n 2 , ) 

bezeichnet haben. Die Substitution dieses Ausdrucks fur a\ macht (8.) zu einer 
identischen Gleichung, daher erhalt man durch Differentiation nach a l 



r 



oder, da nach Gleichung (7.) 



__ 

So, Q 

<57^ Q 



Bezeichnet man mit N den integrirenden Factor von Xcli\ X v dx, so hat man 

NX = ^. NX, = dF , 

also aus der ersten dieser Gleichungen 

/n \ 1 oF 

(9.) N - 



X da\ XR 
Q :> 



i gt a ^ so c ^ er integrirende Factor der Grleichung Xdx.^ X^dx = 0. Also 
hat man den Satz: 

Ist in dem System von Differentialyleichungen 

clx : dx l : dx^ : . . . : dx n = X : X { : X 2 : . . . : X,, , 
der Ausdruck 

1 ( 8X . 8X, . dX n 



-X V dx dx 1 Qx n 

ein voUstc indiger Differ entlalquotient nach x, kennt man n 1 Integrals des 
Systems, aus welchen sicli die Vera nderlichen x a , x 3 , . . . x n als Functionen 
von x, x 1 und den n 1 willkurlichen Constanten der Integration durch die 
Gleichungen 

darstellen lassen, und bleibt demnach allem die Differentialgleichung 
zu integriren ilbrig, so ist 



Jacobi, Wcrke. Supplementband (Dyuamik). 13 



98 
der integrirende Factor dieser Di/erentialgleic/mnyen, wo 



OX 

-n, == e 
und 



_ d^ n 

da 2 da s da n 

Wenn ^ 1 ^H 1 77-^ = ist, so wird XR = Const., und in diesem 

ox ox t ox n 

Fall ist die Determinante Q selbst der integrirende Factor der Differential- 
gleichung Xdx 1 X^dx = 0. 

Wenn man die Gleichung (4.) dieser Vorlesung mit der Gleichung (11.) 
der zehnten Vorlesung zusammenstellt, so zeigt sich, dass die Differential- 
gleichung, welcher \gXR genugt, die namliche fiir n-\-l Variable ist, welche 
wir damals (fiir ein System zweier Differentialgleichungen zwischen drei Variablen) 
fiir \gM gefunden haben. Man kann daher 

setzen, oder 

M = = ~XR 

und es ist unter den Voraussetzungen des soeben ausgesprochenen Satzes 

MQ 

der integrirende Factor der letzten Differentialgleichung Xdx l X { dx=0, wo M 



aus der Gleichung 



8X dX 8X n _ 

H o U 



dx dx dx l dx n 

zu bestimmen ist. 

Die im Vorigen betrachtete Determinante Q kann man auf verschiedene 
Weise bilden. Die einfachste Darstellung ist die in Form eines Products. So- 
wie wir namlich vermittelst x l die Constante a 1 aus den Variablen # 2 , x. 3 , ... x n 

(j ? 

eliminirten und dann die Determinante R als Product von _ in die Deter- 

da l 

minante Q darstellten, deren Ordnung um eine Einheit niedriger ist, als die 
Ordnung von R, so konnen wir wieder vermittelst x 2 die Constante # 2 aus den 

Variablen # 3 , x 4 , . . . x n eliminiren und dann Q als Product von -~- J - in die 

n *->, * 

cj 7 1 ci 7* ci ?* 

Determinante P= J _ 3 -~ 5-- darstellen. Auf diese Weise hat man 

oa 3 oa 4 oa n 

fortzufahren ; man eliminire vermittelst x, die Constante #, aus X,. #-,, . x n , 

f O 4 7 O 7 n x 



vennittelst x 4 die Constante 4 aus x- a , # 6 , . . . x n u. s. w., so dass man folgende 



Darstellung der Integralgleicliungen erhalt: 



alsdann ist 

(10.) R = . X} ? ^ Xn 

wo fiir die Grossen x : bis x n die Ausdriicke F v bis F n zu setzen sind, und fiir 
dieselbe Darstellungsart der Integralgleicliungen hat man 

das* 



(11.) 



Q^^-c, 
= ^r 



Die hier gebrauchte Transformation besteht also in Folgendem: 



Sind n Grossen x 1 , x%, ... x n Functionen von n anderen 15 a 2 , ... a n 



dass 



und stellt man durch successive Elimination die Grossen x^ x 2 , ... x n folgender- 
massen dar: 

. . f / ^x. y-j fy ry ft *\ 

a 2 , 3 ,...,,_i, ). 



= F 



so ist 



^, -5/; W H . 



dF n 



Ja, c9 2 5 oa l da z 8a n 

O6?e? wenn wir die Differentiationen der Grossen x in der ersten Darstellung ohne 
Klammern, in der zweiten mit Klammern bezeichnen, 



6a n 



_ ( d%i \ ( dx. 2 \ / d& n \ 
V 8a l ) V 5 2 / V da n ) 



13 



100 

Die Form (T.) der Integralgleichungen 1st diejenige, welche sie fur den Fall 
einer einzigen Differentialgleichung hoherer Ordnung bei successiver Integration 
von selbst annelnnen. Die successive Integration der Gleichung 

y( n+V = fo Wf y (n-l) } y (n-V } _^ f y , f rj) ^ 

giebt : 

y (n \ = /, (<*n,y<> n -W-*\...y",y ,y,x), 

y(~l) = (^ an _ } ? y(n-y) f . . . y ^ y^ ^ ^ 



Gehort nun die vorgelegte Gleichung ?/ ( l+1) = ^ zur Kategorie clerer, fiir welche 
der Multiplicator M sich a priori bestimmen lasst, so ist fur die Differential 



gleichung erster Ordnung 



der integrirende Factor 

MQ, 

wo 

%,,_! dy" dij 



Q = 



n da n \ da da l 



Dreizehnte Vorlesung. 

Functioualdeterminanten. Ihro Anwendung zur Aufstellung der partiellen 
Differentialgleichung fiir den Multiplicator. 

Determinanten der Form 



werden von mir Functional-Determinanten, von Cauchy, welcher in den Comptes 
renclus der Pariser Akademie einige Satze dariiber gegeben hat, ,,fonctions 

differentielles alternees" genannt. Functional-Determinanten werden also aus 

8f. 

den n" partiellen Differentialquotienten -^- von n Functionen f l} / 2 , ... f n ge- 

bildet, deren jede von den n Grossen x ly x 2 , ... x. n abhangt. 

Ich habe im 22 sten Bancle des 6Ve//eschen Journals eine Abhandlung iiber 
Functional-Determinanten erscheinen lassen, in welcher die Analogic nacho-e- 

O O 



101 

\viesen wird, welche zwischen den Functional-Determinanten in Problemen mit 
mehreren Variablen und den Differentialquotienten in Problemen mit einer 
Variablen stattfindet. In folgenden, daselbst bewiesenen Satzen spricht sich 
diese Analogic aus: 

1. Ist / Function von w und w Function von x. so ist /- = -/ j 

dx dy das 

Dem entspricht fiir n Variable der Satz: Sind /i, f 2 , ... f n Functionen von 
(fu <j}<), ... (f n und diese iviederum Functionen von x v , # 2 , . . . x n , so ist 



) Y* /i 7* f^ 7* 

/fcC/l C/tt/2 "***M 

2. Dies kann in anderer Gestalt auch so ausgedruckt werden: Sind / 
und (p Functionen von x, so ist 

df_ 

df dx 



d(f d(f 

dx 

Hierzu hat man fiir n Variable den analogen Satz: Sind f\, f 2 , ... f n und 
y>i, (f.^ ... (f n Functionen von x l , x 2 , ... x n) so ist 



d(f n 



und daher, wenn man f 1 =x 1 , f^ = x 2 , ... f n = x n setzt, 



(jiv . Cfiff^ \JtC-fo 

3. Aus der Gleichung 
ergiebt sich: 

a/7 

dy dx 



Hierzu hat man folgende Analogic: Aus den n Gleichungen zwischen 2n Variablen 



102 
ergiebt sich: 



4. Damit die Gleichung F.v = zwei gleiche Wurzeln habe, muss zugleieh 
[<""# = sein. Hierzu giebt es folgende Analogie: Damit die Gleichungen 

nvei zusammenfallende Systeme von Wurzeln haben, muss zugleieh 

i t/ / 

r\ ~ = ~~ *j 



eta 1 , ce 2 
sein. 

5. Wenn fiir alle Werthe von x der Differentialquotient -^ verschwindet. 
so folgt hieraus .F= Const. Hierzu hat man die Analogie: Sobald fur alle 
Werthe von # 1? x>>. ... ,T W 

^ ^. W, .. ^ =Q 

w^, muss zivischen den n Functionen F l . F 2 , ... F n eine Gleichung 



bestehen, in welcher die Variablen x^ # 2 , . . . x n nicht explicitc vorkommen. 
Dies giebt fur n=l auch in der That 71(^)^0, also F= Const., wie es 
sein muss. 

Diesen Beispielen fiir die erwahnte Analogie lassen sich viele andere 
hinzufugen, welch e theils in der angefiihrten Abhandlung, theils in der im 
12 ten Bande des CrelleBchen Journals erschienenen ^de binis quibuslibet functio- 
nibus homogeneis etc." zu finden sind. 

Indem wir von der Betrachtung der Functional-Determinanten ausgehen. 
gelangen wir dazu. fiir den allgemeinen Fall von n-i-l Variablen die Theorie 
des Multiplicators eines Systems von Differentialgleichungen in anderer Art. 
als es in der zwolften Vorlesung geschehen ist, zu begriinden, namlich auf deni- 
jenigen Wege, den wir in der zehnten Vorlesung fiir den Fall von drei Variablen 
betreten haben. 

Das System 

dx : dx l : dx^ : . . . : dx n = X : X, : X 2 : . . . : X,, 



103 
sei integrirt durch die Gleichungen 

fi = i, /2 = 2 , f n = , 



in welchen # 1? ct 2 , ... ce n die willkiirlichen Constanten bedeuten. Die unmittel 
baren Differentiate derselben sind 



. = 0, 



fiV* - r^ t* 

u**^ t/*c*n 

welche, da die willkurlichen Constanten durch die Differentiation verschwunden 
sind, mit dem vorgelegten System identisch sein miissen. Fiigt man zu diesen 
ii in Beziehung auf dx, dx^ . . . dx n linearen Gleichungen als -4-l te die iden- 
tische Gleichung 

df df df df 

hinzu, wo f eine beliebige Function von x, x 1} ... x n bezeichnet, und wendet 
auf diese n-\-l Gleichungen die in No. 3 der elften Vorlesung enthaltenen Auf- 
losungsformeln fiir lineare Gleichungen an, so ergeben sich fiir dx, dx^ . . . dx n 
die Werthe: 

Rdx = Adf, Rdx l = A t df, . . . 



eta, 
V_ , , ^ , , , df 

V 



-^rl ^. | -^1 />. 

oa> * ">" 



dR dR dR 



dx dx 1 dx n 

Obgleich diese aus der Entwicklung von R nach den partiellen Diffe- 
rentialquotienten von f sich ergebende Bestimmung der Grossen A, A l} ... A n 
gerade diejenige 1st, deren wir uns im Folgenden zu bedienen haben werden, 
so ist es, namentlich um die Analogic mit dem in der zehnten Vorlesung ge- 
gebenen Fall von drei Variablen zu verfolgen, von Inter esse, die Grossen A 



104 

cine aus der anderen, ohne R zu Hi ilfe zu nehmen, abzuleiten. Zunachst 1st 



Aus A erhalt man nach No. 2 dor elf ten Vorlesung /!,, indem man die Diffe- 
rentiationen nach x und nach x 1 mit einander vertauscht and das Zeichen andert. 
Diese Res;el, A, aus A herzuleiten, kann man durch fol^ende gleichbedeutende 

o i O O 

ersetzen. Man permutire die nach sammtlichen n-f-1 Variablen x genommenen 
DifFerentiationen cyclisch, an die Stelle der nach x, x\, x 2 , . . . # n _u x n v ~ 
nommenen setze man namlich beziehungsweise Differentiationen nach ,T 15 x. 2 , 
x... . . . x n , x, und andere nberdies das Vorzeichen oder behalte es bei, je nacli- 

dem die Anzahl n-\-l der \ 7 ariablen gerade oder ungerade 1st, alsdann ver- 

wandelt sich A in A^. Die letztere Regel hat den Vortheil, dass durch blosse 

AViederholung derselben Operation sicli A^ in A<>, A 2 in A 3 u. s. w. verwandelt. 

Indem man aus den fur dx, dx i , . . . dx n erhaltenen Werthen df eliminirt, 

ergiebt sich 

cLv : ffe, : . . . : dx n = A : A l : . . . : A n , 

was mit dem gegebenen System 

dx : dx l : ...: dx n = X : X 1 : . . . : X n 

t lbereinstimmen muss. Es muss also die Proportion 

A:A t :...:A n = X:X l :...:X n 
bestehen. d. h. es muss einen Multiplicator M von der Beschaffenheit geben. dass 

MX = A, MX, == A,, ... M X n = A n 

ist. Es kommt jetzt darauf an. die fur n = 2 bereits in der zehnten Vorlesung 
bewiesene identische Gleichung, der die Grossen A geniigen, auf den allgemeinen 
Fall auszudehnen. also zu beweisen, dass die Gleichung 

dA dA vA n = 



d\ \ i - -> 

M OX^ (jX n 

stattfindet. Wenn man auf die Zusammensetzung der Grossen A, A^ ... A n 
Riicksicht nimmt, so sieht man leicht ein, dass auf der linken Seite dieser 
Gleichung nur erste und zweite Differentialquotienten der Grossen /j, f 2 , ... f n 
vorkommen konnen und zwar die letzteren riur linear, d. h. menials das Product 
zweier Differentialquotienten z welter Ordnung. Ferner, da in A keine Diffe 
rentiationen nach x, in A l keine nach x l u. s. w. in A n keine nach x n vorkommen, 
so konnen die in dem Ausdruck 

dA ^dA 8A n 

i i~ ^ j .. | - 

dx ox ox n 



105 

o 2 /* 

auftretenden zweiten Differentialquotienten nicht von der Form -~- sondern 

i 

<9Y 

n ur von der Form -^ ^-- sein, wo i von k verselrieden ist, Man kann also 
ox. aas 



. , 



dA- 
den betrachteten Ausdruck -^-5 L a l s eme Summe von Termen der Form 

jX ) . d 8 /. 



darstellen. Der Werth von F$ wird mit Hiilfe der Formeln 



... 

x n ox ox l dx n 

dR 8R 



ox. ox k 

r\ A 

ermittelt, und zwar sind dazu nur die beiden Differentialquotienten -^-- und 

i 

^ zu untersuchen, denn in den iibrigen kommt -^ ^ offenbar nicht vor. 

dx ox. ox 

k IK 

Da nun die Grossen A t und A k selbst Determinanten sind, so konnen sie fol- 
o-endermassen dargestellt werden: 

o D 

A dA, df, | 8Aj df, [ 6Aj df s | ( dAj df n 

O ^ C/ ^> ~ O r^ C7 ^r 



a/, a^ t a/ 2 a^i t df s dA k df n 

dr-j / r> r\ / r>i o _/ ^ 

^. of, c, o o/ s o. a/ OT a*. 



5^. SeC. 5. 5^. 

Hieraus ergeben sich als Beitrag zu dem betrachteten Ausdruck ^~^- L zwei 

i 

<^2/ dA- 

in -= ~ multiplicirte Terme. Der eine riihrt aus - j- 5 - her und ist 
Ox.dx, ox. 



8 



*~1 A 

der andere riihrt aus --^- her und ist 



df t das, das. 



d% 



dx.dx 



Jacob i, Werke. Supplementband (Dyuaraik). 14 



106 

folglich wird 

F M_ dAj 8A k _^L_ dlR 

i.k $-f r^-f r^i~ r^T r}f 



-- 

ax. dx, dx 

/C A, 



Die in N. 2 der elften Vorlesung entlialtene Formel 

oder -x 



da.db, da.db. da.db, da.db. 

i k k i ik k i 



giebt im vorliegenden Fall 

"i M /> I "i f TT? ^"i 



dx. dx k dx k dx. 

also 

Auf diese Weise ist die identische Grleichung 

dA dA^ dA n _ 

^ ^ r- "H o f 



allgemein bewiesen. Aber wir hatten 

A = MX, A, = MX,, ... A n = MX n ; 
daher ergiebt sich 



n 

1 -- 5 - U, 



- ^ --- ^ -- 

ox dx l ox n 

welches die partielle Differentialgleichung fiir den Multiplicator M ist. 



Vierzclinte Vorlesung. 

Die zweite Form der den Multiplicator definirenden Gleichung. Die Multiplicatoren der 

stufenweise reducirten Systeme von Differentialgleichungen. Der Multiplicator bei 

Benutzung particularer Integrale. 

Wir konnen nun die fern ere Untersachung fur n-f-1 Variable ganz auf 
dieselbe Weise fi ihren, wie in der zehnten Vorlesung filr 3 Variable. Indem 
wir die partielle Differentialgieicliung fiir den Multiplicator M entwickeln, er- 
lialten wir 



107 

Diese Differentialgleichung werde durch eine andere Grosse N befriedigt, dann 
hat man auch 

dN dN , dN tdX 8X ..!_ 

" 4 " 1 ----- ^ n ~ h ~ + ~~ H ----- f ~ 



Multiplicirt man die zweite dieser Grleichungen init -TT, die erste mit -r^- und 
zieht sie von einander ab, so erhiilt man 



v ox ax | v 


SA-, a 


c | , , 1 v 


dx n ^ dx n 


/v/ 


if 2 


II -A-ll 


M* 


/iV\ 


af^l 


*( N \ 

d \M) 




"Y" | 


"Y" 




n 



oder 



N . . 
d. h. -TJ ist eine Losung der Grleichung 



-- 

, - . 

\J&ji 

Zur vollstandigen Integration einer solchen Gleichung ist die Kenntniss 
von n von einander unabliilngigen Losnngen / 1? / 25 / nothig, d. h. von 
n Functionen /i, / 2 , ... f n , welche den Gleichungen 

Y dfi . Y g /i " 

A 7, -- r~ A i~T -- 1 

1 



2 2 Y 

-- r-a.-5 -- 1 ----- HAw-n = U, 



df n df n df n 

^ r~-"-i ^, r~ * " ~T" A ra ^ U 



genugen, ohne dass eine der n Functionen eine Function der iibrigen ist. Kennt 
man solche n Functionen, so ist die allgemeinste Losung 



Dies beweist man, indem man die obigen n Gleichungen respective mit , 

~\ 77T ri Jjl 

-fif-, -57 multiplicirt und dann addirt. Eine (^-f-l) te Losung / OT+1 , welche 

ft d /n 

von den n iibrigen unabhilngig ware, giebt es nicht; denn gesetzt es gabe eine 
solche, so wilrde nach der eben angewandten Schlussweise folgen, dass jede 
Function dieser n-+-l Losungen 



108 

gleichfalls eine Losung ist. Da aber /j, / 2 , ... f n , f n+l von einander unab- 
hangig angenommen werden, so kann man sie als neue Variable fiir x, x 19 ... x n 
einfiihren, und daher ist eine willkiirliche Function von / 1; f z , ... f n , f n+l 
gleichbedeutend mit einer willkiirlichen Function von x, #,, ... x n . Der in 
Rede stehenden Differentialgleichung fiir f wiirde demnach jede beliebige Function 
von x, x l , . . . x n geniigen, was unmoglich ist. Es kann also nur n von einander 
unabhangige Losungen /i, f 2 , ... f n geben. 

Diese n Losungen der partiellen Differentialgleichung (2.) haben die 
Eigenschaft, dass sie durch die Integralgleichungen des Systems gewohnlicher 
Differentialgleichungen 

(3.) dx : dx^ : ... : dx n = X: X } : ... : X H 

Constanten gleich werden. Denn da diese Integralgleichungen die Grossen 
Jf, X l} ... X n den Differentialen dx, dx l} . . . dx n proportional machen, so kann 
man in der fiir irgend ein f geltenden partiellen Differentialgleichung, also in 
der Gleichung 

C/fci* C/wi C/ti /j 

die Grossen X, X 1 , ... X n durch die denselben proportionalen Differentiale 
dx, dx lt . . . dx n ersetzen und erhalt 

df. df. df. 

^ dx-\ ~ dx.-\ 1 7; dx n = 



oder 

df. = 0, 

und daher 

f. = Const. 

Indem man annimmt, dass die Constanten, welchen / 15 /,, ... f n gleich werden 
miissen, n von einander unabhangige willkiirliche Constanten a l9 ct 2 , ... ce n sind, 
erhalt man die allgemeinste Integration, deren die Differentialgleichungen (3.) 
fahig sind, und es bilden also 

f l =a 1 , f, = a. 2 , ... f i = a., ... f n = a n 

ein voll stand ip es nach den willkiirlichen Constanten aufgelostes System von 
Integral en jener Differentialgleichungen. Umgekehrt, wird die vollstiindige In 
tegration der Differentialgleichungen (3.) durch n Gleichungen mit n von ein 
ander unabhangigen willkiirlichen Constanten geleistet, d. h. durch n Gleichungen 
der Beschaffenheit, dass es unmoglich ist, aus denselben eine von alien n Con 
stanten freie Result-ante der Elimination herzuleiten, und ergiebt die Auflosung 



109 
dieser n Gleichungen nach den Constanten die Werthe derselben 

/i ^n /2 ^2 . li ttj.j ... i n & n ) 

so erhalt man durch Differentiation 

dfi d fi d f, 

I 7 i ^ 7 i * fc 7 /"\ 

, /"/ -/ _1 /7 /> I . , . _ I . /Y /r - " I 1 

, \A;<AJ | Lttt/. i p _ tttt/^j w 

C/2/ 1 QCyi 

Da aber ^ = t , / 2 = ^2 > / = ^ e i n vollstandiges System von Integralen 
der Differentialgleichungen (3.) bilden, so sind die Differentiate dx, dx^ . . . dx n 
den Grossen X, X^ ... X M proportional, so dass 



d. h. f lt / 2 , ... / sind Losungen der Gleichung (2.). 

Es ist also vollkommen dasselbe, ob man sagt: f l} f 2 , ... f n sind n von 
einander unabhangige Losangen der partiellen Differentialgleichung (2.), oder ob 
man sagt: /! = !, /2 = G; 25 fn = cf n bilden ein vollstandiges System von In 
tegralen der Differentialgleichungen (3.). Nun haben wir gesehen, dass 



die allgemeinste Losung der Gleichung (2.) ist, ferner dass -jj eben dieser 

Gleichung geniigt. Hieraus folgt, dass, wenn M eine bestimmte Losung der 

N 
Gleichung (1.) ist und N irgend eine Losung, -^ eine Function von f t , / 2 , f n 

sein muss. Dies giebt 

N= 

ist M ein Multiplicator, so ist also 

jf/ 

die allgemeine Form, unter welcher alle Multiplicatoren enthalten sind. Durch 
die Integralgleichungen des Systems (3.) wird aber f l = ce l , / 2 = ^2 5 f n = cf n > 
bei Benutzung der Integralgleichungen unterscheidet sich also diese allgemeine 
Form nur durch einen constanten Factor von M. Um VerWechselungen zu 
vermeiden, wollen wir den bestimmten Worth des Multiplicators M mit .M be- 
zeichnen, den allgemeinen mit M, ferner mit - - die Function von /i, /,, ... f n , 

mit welcher M zu multipliciren ist um M zu ergeben, so dass M=M -- 
Alsdann kann man die am Ende der vorigen Vorlesung vorkommenden Glei 

chungen 

MX = A, MX, =J 1? ... MXn = A n 



110 

auch so schreiben: 

(4.) M X = An, M X, = A } v, ... M X n = A n m. 

Mit Hiilfe des Systems der Differentialgleichungen (3.) lasst sich die fur 
M gefundene partielle Differentialgleichung (1.) transformiren. Die Gleichung 

ax. dx,,\ 

rrH = 0, 



1 1 

oder, was dasselbe ist, 

(dM X, dM X n dM\ (dX SX, dX 

A I ^ 1 ^ ~ 1 1 ~r- -5 I -+-1U I ~ 1 ^ 1 1 ~ 

V ox A aa/j A ox n ) \ ox ox l dx fi 

geht namlich unter Berucksichtigung von (3.) in 

^T \ 

= o, 



ta 5^c 
oder in 

/p, N y Q [ I 

(P-J ^ ^ r~^r^ 



tiber. Diese Gleichung ist, da fur die Grossen ^, # 1? ... ^ die Differential 
gleichungen (3.) bestehen, mit der Gleichung (1.) vollkommen identisch; man 
kann vermittelst (3.) den Uebergang von (1.) zu (5.) sowie den umgekehrten 
Uebergang machen. 

Aus der Gleichung (5.) lasst sich der Multiplicator M haufig bestimmen. 

r^TT r~)~^T /~) "Y" 

1st - h .> H ----- h ^. " = 0, so findet man M= Const. In anderen Fallen 

ox ox l dx n 

lasst sich vermoge der Differentialgleichungen (3.) der Ausdruck 

dX | dX n 



X \ dx dx l dx 

in einen vollstandigen Differentialquotienten nach x transformiren. eine Trans 
formation, welche freilich haufig noch grosse analytische Kunstgriffe erfordert. 
Ist eine solche mogiich. so erhalt man ebenfalls M aus (5.) 

Hat man nun auf irgend eine Weise einen Werth M des Multiplicators 
M gefunden, so besteht der Nutzen, der sich hieraus fiir die Integration des 
Systems (3.) ziehen lasst, darin, dass man vermittelst M den integrirenden 
Factor derjenigen Differentialgleichung angeben kann, welche nach Auffindung 
von n 1 Integralen zu integriren iibrig bleibt. Zufolge der ersten Gleichung (4.) 
hat man 



wo tD eine Function der n Losungen der partiellen Differentialgleichung (2.) 
oder, wie bewiesen worden, eine Function der n Integrale des Systems (3.) ist. 



Ill 

Nehmen wir nun an, man kenne nl dieser Integrate, namlich / 2 , f 3) ... f n , 
so dass nur noch /j zu linden iibrig bleibt, so fuhren wir statt n 1 der unab- 
hangigen Variablen, namlich statt x s , x 3 , ... x n , die Grossen / 2 , / 3 , ... f n ein 
und driicken Alles durch x, x l} / 2 , / 3 , ... / aus. Untersuchen wir, welche 
Veranderung dadurch in der Determinante 



hervorgebracht wird. Schreiben wir dieselbe als lineare Function der partiellen 
Diiferentialquotienten von f{: 



so bestehen nach der Fundamentaleigenschaffc der Determinanten die Gleichungen 

df, , df, df, R 

~Qas~ l ~d 2 ~rT~^ nj 



df df df 

== -J*-B l +-?p-B;-\ \^-B n . 

C/^j O^ 2 <JX n 

Denken wir uns nun / 2 , / ... f n fur x a , X 3 , . . . x n eingefuhrt, so class f, unter 
der Form 

dargestellt wird, und schliessen wir die unter dieser Hypothese gebildeten 
Differentialquotienten von / t in Klammern ein, so ist 



- 

df n 

. . 



df 

und hierdurch wird mit Berucksichtkmng der friiheren Gleichuno-en 

O O O 



WO 



112 

Substituirt man diesen Werth von A in die Gleichung 

M X = Aw, 
so ergiebt sich: 

(6.) 



Da nun /i das zu suchende Integral der noch iibrig bleibenden Differential- 



o*leichung 



ist, in welcher aus X und X 1 vermittelst der bekannten nl Integrale die 
Variablen x 2 , # 3 , ... x n eliminirt sincl, so muss durch den zu bestimmenden 
integrirenden Factor diese Differentialgleichung in 



oder 



tibergehen; folglich ist der gesuchte integrirende Factor 



X \das 
oder nach (6.) 



d. h. man hat identisch 



oder 



M 

QfJ.da.-X.dx) = 



Hierin ist tw eine willkurliche Function von f l9 / 2 , ... /. Inzwischen werden, 
mit Hiilfe der gefundenen nl Integrale, / 2 , / 3 , ... f n Constanten gleich, also 
wird w eine blosse Function von /J und wdf^ ebensowohl ein vollstandiges 
Differential als df t selbst. Man kann daher w im Divisor fortlassen und erhalt 
-j^- als Multiplicator der Differentialgleichung 

l X^x = 0. 



Somit gelangen wir zu folgendem Satze: 

Es sei das System, von Differentialgleichung en 

dx : dx l : dx^ : ...: dx n = X:X l :X^:...: 
voryeleyt, man kenne n 1 Integrale desselben, 

fa = 2? fa = a v f = a n> 



113 

man kenne ferner eine Losung M der Differentialgleichung 

dX ax d 



. j ^ r~ r*. ~ ^ 

dx ox ox l ax n 

1st vermoge jener n 1 Integrate das vorgelegte System auf die Differentialgleichung 
erster Ordnung zwischen zwei Variablen 

Xdx^ X^x = 

zurilckgefuhrt, so ist der integrirende Factor derselben 

If 



Dies ist derselbe Satz, der in der zwolften Vorlesung aufgestellt wurde. Dort 
fanden wir fur den Multiplicator den Ausdruck 



9 2 (3 3 8a n 
aber da ^ 2 2 , f 3 = cf 3 , ... f n = a n) so hat man, nach einem p. 101 No. 2 an- 

ffefuhrten Satz ilber Functionaldeterminanten, 

~ 

fr f /i nt* 

l_/f(/ \jtAjfi _L 

3 ... __ 

6a 3 da n , df 9 8f s df n 



\jvCfi C/fA o QtiCfi 

so dass beide Multiplicatoren identisch sind. 

Der Name des zum System der Differentialgleichungen (3.) gehorenden 
Multiplicators, den wir der durch die Grleichung (1.) oder (5.) definirten Grosse M 
beilegen, empfiehlt sich deswegen, weil dieselbe fur den Fall zweier Variablen, x 
und x l , mit dem Eulerschen Multiplicator oder integrirenden Factor zusammenfallt. 

Wir haben bisher gezeigt, class, wenn durch n 1 Integrale das System 
auf eine Differentialgleichung zwischen zwei Variablen zurtickgefiihrt worden ist, 
der Multiplicator dieser Differentialgleichung aus dem Multiplicator des Systems 
hergeleitet werden kann. Aber dies ist nur ein specieller Fall eines allgemeineren 
Satzes; kennt man namlich nicht n 1 Integrale, sondern eine kleinere Anzahl, 
etwa n k, so dass man das gegebene System zwischen n-+-l Variablen auf 
ein System zwischen /t-hl Variablen zuriickfuhren kann, so lasst sich, wie wir 
sogleich sehen werden, aus dem Multiplicator des gegebenen Systems der Multi- 
plicator des zuruckgefiihrten Systems bestimmen. Diese Verallgemeinerung wird 
uns zugleich in den Stand setzen, eine den Multiplicator betreffende, bis jetzt 
unberuhrt gebliebene Frage zu erortern. Wir haben namlich bisher vorausge- 
setzt, dass bei jeder Integration des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen 
eine neue willkurliche Constante hinzukomme. Es ist aber nothwendig, die 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). . 15 



114 

Frage zu beantworten, ob und in welcher Weise die Methode des letzten Multi- 
plicators sich auch auf den Fall ausdehnen lasst, wo die willkiirlichen Constanten 
besondere Werthe annehmen, und wo man daher schliesslich nicht mehr zur 
vollstandigen Integration des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen 
gelangt. Um zu zeigen, wie man aus dem Multiplicator eines gegebenen Systems 
den Multiplicator des reducirten irgend einer Ordnung finden kann, verfahren 
wir stufenweise. Wir nehmen zunachst eine Integralgleichung / = als ge- 
geben an, wodurch sich die Ordnung des Systems um eine Einheit erniedrigen 
lasst, und suchen den Multiplicator des so reducirten Systems auf. 

Fur das gegebene System 

(3.) das : dx^ : ...: dx n = X : X 1 : . . . : X n 

wird der Multiplicator M durch die DifFerentialgleichung (1.) oder (5.) definirt. 
Nehmen wir aber alle Integrale des Systems als bekannt an, so ist nicht mehr 
die Losung einer Differentialgleichung noting, sondern wir konnen M unmittelbar 
linden und zwar aus jeder der Gleichungen 

MX = &A, MX 1 = GL4,, . . . MX n = a A n , 



wo A = --2.--L.- n =(-1---- , - u . s. w. 

ctaj dx^ 8x n da 2 dx z dx n dx 

und co eine Function von /j, / 2 , ... / ist. Betrachten wir die erste dieser 
Gleichungen, also 



Gesetzt, das Integral f n = ce n sei gefunden, und es komme x n in demselben vor, 
so lasst sich x n durch f n und die tibrigen Variablen x darstellen; wird dieser 
Ausdruck von x n in f^ f 2 , ... f n _^ substituirt, so sind diese Grossen Functionen 
von x l} x 2 , ... x n _-i und /. Schliesst man die unter dieser Hypothese ge- 
bildeten Differentialquotienten in Klammern ein, so erhalt man fiir die Elemente 
der Determinante A folgende Werthe: 



df n 



a/, 



115 

Wie p. 95 gezeigt 1st, kann man hier diejenigen Terme der ersten n 1 Vertical- 
reihen fortlassen, welche den Elementen der letzten Verticalreihe proportional 

sind; dabei verschwinden die ersten n 1 Elemente der letzten Horizontalreihe, 

df 
so dass ~ n Factor der Determinante wird, und man erhalt daher 



oder, da f n = cc n ist, 
(7.) 



Nun habe man vermoge des Integrals / = # aus dem gegebenen System (3.) 
x n Qnd dx n eliminirt und sei dadurch zu dem reducirten System 

(8.) das : dx l : ... : dx n \ = X : X 1 : . . . : X n _i 

gelangt. Ist ft der Multiplicator dieses Systems, so hat man zu seiner Be- 
stimmung die Gleichung 



wo F eine \villkurliche Function von /j, / 2 , ... f n ^ ist. Ein Werth von p 
entspricht der Annahme F=u>(f l ,f 2 , . . . / n _ 1? a w ), derselbe wird durch die Gleichung 



bestimmt. Aus dieser letzteren und aus (7.) ergiebt sich durch Division 

M _ W n 
H dx n 

oder 

M 



Dieser Ausdruck also ist der Multiplicator des Systems (8.). 

Auf dieselbe Weise kann man welter gehen; kennt man ein Integral 
f n _ l = cc n _ l des Systems (8.) und reducirt dadurch dasselbe auf folgendes: 

wo #_! eliminirt ist, so ist der Multiplicator dieses Systems 

M 

% 

dx n 



116 

Eliminirt man durch ein neues Integral / n _ 2 = a rt _a die Variable x n _ 2 , so erhalt 
man als Multiplicator des so entstehenden Systems den Ausdruck 

M 



wo die Klammern bedeuten, dass f n-l durch f n and x lt x 2 , ... # n _ 1? imd dass 
f n _ 2 durch f n , /_! und ^ 1; x 2 , . . . a? n _ 2 auszudriicken ist. Indem man so fort- 
fahrt, kommt man zuletzt auf die Differentialgleichung 

da; : dx l = X : X^ 

oder 

Xdx l X^lx = 0, 

und ihr Multiplicator ist 

M 



wo die Differentiationen so zu verstehen sind, dass die Functionen f n , f n _ l , 
in der Form 

In = Vn^ X i ^21 X V X n 2 "^w-l *) 



dargestellt angenommen werden. Bei dieser stufenweisen Reduction wird die 
jedesmal hinzukommende Integralgleichung dazu benutzt, um eine Variable zu 
eliminiren. Das erste Integral f n = ce n z. B. wird dazu benutzt, um -x n durch 
x, 1; . . . x n _^ und a n auszudriicken und den erhaltenen Werth in X, JT 1; ... X n _^ 
zu substituiren. Hierbei haben wir zwar bisher a n als eine willkiirliche Con- 
stante angesehen; indessen ist leicht einzusehen, dass in dem Raisonnement 
nichts geandert wird, wenn man fur a n einen bestimmten Werth a n setzt. Nur 
wird in diesem Fall das reducirte System nicht mehr gleichbedeutend mit dem 
gegebenen, sondern entspricht nur dem besonderen Fall, wo in der Integral 
gleichung f n = ce n die willkiirliche Constants cc n den besonderen Werth a n hat. 
Obgleich man also im Verlauf der Integration der willkiirlichen Constante a n 
einen besonderen Werth geben und dadurch ein besonderes Integral des ge- 

*~> O O 

gebenen Systems in die Rechnung einfiihren darf, so muss man doch das voll- 
standige Integral / = a n kennen , weil zur Bestimmung des Multiplicators p, 

. 



117 

aus M die Kenntniss von f n nothwendig ist. Es geniigt also nicht, ein par- 
ticulares Integral x n = <[>(x,x l , ...x n _^ ohne willkurliche Constante zu kennen, 
sondern man. muss wissen, wie dies particulare aus dem vollstandigen Integral 
f n = cf n hervorgegangen 1st, und welchen Werth man der willki irlichen Constante 
gegeben hat. Hierin liegt eine Ausdehnung des Princips des letzten Multi- 
plicators, welche man folgendermassen aussprechen kann: 
Es sei das System von Differentialgleichungen 

dx : dx l : ...: dx n = X : X l : . . . : X n 

gegeben; ein Integral desselben mit einer willkurlichen Constante sei bekannt und 
auf die Form f n = a n = Const, gebracht. Man lege der Constante irgend einen 
particularen Werth a n bei, lose f n = a n nach x n auf und setze seinen hieraus 
hervorgehenden Werth in X, X lt ... X n _^ ein. Hierauf erhdlt man das erste 
reducirte System von Differentialgleichungen 

dx : dx l : . . . : dx n \ =- X : X 1 : . . . : X n _i , 

welches alter nicht mehr die Allgemeinheit des vorgelegten Systems hat, sondern 
nur den Fall ct n = a n reprdsentirt. Von dem ersten reducirten System von Diffe 
rentialgleichungen sei wiederum ein Integral mit einer willkurlichen Constante be 
kannt und auf die Form f n _ 1 = w _i = Const, gebracht, ivo f n _^ eine Function 
von x, x ly ... x n _ ist. Man lege der Constante cc n _^ den besonderen Werth a n _^ 
bei, lose f n _^ = a n _^ nach x n _^ auf und setze seinen hieraus hervorgehenden Werth 
in die Grossen X, X l} ... X n _ 2 ein, so dass sich das zweite reducirte System 
von Differentialgleichungen 

dx : dx^ : . . . : dx n % = X: X l : ...: X ra _ 2 
ergiebt, und fahre auf diese Weise fort, Us man auf die Differentialgleichung 

dx : dx^ = X :.Xj 
kommt: dann ist ouch jetzt der Multiplicator der letzten Differentialgleichung 



df, 



dx n 8x n -i dx^ 

Hier sind aber f n , f n _ l9 . . . / 2 nicht mehr n l Integrale des vorgelegten 
Systems, sondern nur f n = a n ist ein solches; f n _ v = a n _i ist ein Integi-al des 
ersten reducirten Systems, welches den besonderen Fall a n = a n des gegebenen 
darstellt; / w _ 2 = n _ 2 ist ein Integral des zweiten reducirten Systems, welches den 
besonderen Fall a n _ l = a n _ 1 des ersten reducirten Systems darstellt u. s. w. 



118 

Hiermit 1st der Umfang erschopft. den wir dem Princip des letzten 
Multiplicators zu geben vermogen; wir gehen jetzt zu den Anwendungen des- 
selben ilber. 



Fiinfzehnte Vorlesung. 

Der Multiplicator fiir Systeme von Differentialgleichungen mit hoheren Differential- 
quotienten. Anwendung auf ein freies System materieller Punkte. 

Alle unsere bisherigen Betrachtungen betrafen Systeme von Differential 
gleichungen, in welchen nur Differentialquotienten erster Ordnung vorkommen. 
Systeme dieser Art kann man als einen besonderen Fall derjenigen ansehen, 
in welchen die Differentialquotienten auf beliebige Ordnung steigen. Aber 
auch umgekehrt kann man durch Vermehrung der Anzahl der Variablen ein 
System mit hoheren Differentialquotienten auf die Form eines nur Differential 
quotienten erster Ordnung enthaltenden Systems zuruckfuhren, so dass jenes 
ein besonderer Fall von diesem wird. Mit dieser Zuruckfiihrung eines be- 
liebigen Systems auf ein anderes, in welchem nur Differentialquotienten erster 
Ordnung vorkommen, wollen wir uns zunachst beschaftigen. Man habe ein 
System von i Differentialgleichungen zwischen .i-i-l Variablen t, x, y, z, . . ., 
wovon t als die unabhangige, x, y, z, ... als die abhangigen Variablen an- 
gesehen werden. Die hochsten Differentialquotienten, welche in diesen Diffe 
rentialgleichungen vorkommen, seien der m te von x, der n is von y, der _p te von 
z, etc. Nehmen wir ferner an, dass man nach diesen hochsten Differential 
quotienten auflosen konne, so dass die Differentialgleichungen folgende Form 
bekommen: 

a.) 



wo die hochsten Differentialquotienten, die in A, B, C ... vorkommen, der 
(m l) te von x, der (n l) te von y, der (p l) te von z, etc. seien, so ist dies die 
canonische Form der Differentialgleichungen, in Beziehung auf welche alle 
Untersuchungen anzustellen sind. Auf diese canonische Form (1.) wird sich 
nicht immer unmittelbar jedes gegebene System zuruckfuhren lassen; dies wird 
z. B. nicht angehen, wenn in der einen der gegebenen Grleichungen die hochsten 

Differentialquotienten ^-, f-, , . . . nicht vorkommen. Alsdann muss 



119 

man zur Elimination die Differentiation hinzufiigen. Gesetzt z. B. in der 
in Rede stehenden Gleichung waren die hochsten Differentialquotienten 

.Jill ft jn V 3 ft TC 

. und es ware u,<v<^n<i...) so differentiire 
dt" -" dt n - v dt p ~ n - 

jm 

man .urnal nach t und benutze die so erhaltene Gleichung, um aus den 

dt 

ilbriffen Gleichungen zu eliminiren. Findet sich unter den aus dieser Elimination 

o o 

hervorgehenden Gleichungen wiederum eine, in welcher keiner der hochsten 
Differentialquotienten von ?/, z ... vorkommt, so hat man diese von Neuem 
zu differentiiren u. s. w. Genugt auch diese Betrachtung um zu zeigen, dass 
die Zuruckfiihrung auf die canonische Form in jedem Fall moglich ist, so giebt 
es doch vorlaufio- keine allgemeine Methode dieser Zurttckfahrung. Eine solche 

o O O 

aufzustellen wurde eine sehr schone Aufgabe sein*); sie kommt damit iiberein 
die Anzahl der willkurlichen Constanten zu bestimmen. welche in den Integralen 
eines gegebenen Systems von Differentialgleichungen enthalten sind, diese Anzahl 
ergiebt sich unmittelbar aus der canonischen Form, sie ist namlich m-hn-hpn 
Die Aufgabe, den Grad der Eliminationsgleichung aus einem gegebenen System 
algebraischer Gleichungen zu bestimmen, hat daher mit der in Rede stehenden 
einige Aehnlichkeit. 

Ein besonderer Fall der canonischen Form ist der, in welchem man 
alle Variablen, y, z, ... bis auf zwei, t und x, eliminirt und nach den Diffe 
rentialquotienten von x nach t ordnet. Diese Elimination ist aber fur unsere 
Betrachtuno; nicht noting: wir brauchen nur, wie aresao;t, die Differential- 

O O 7 ^ O O 

gleichungen auf die Form (1.) reducirt anzunehmen, wo die hochsten Differential 
quotienten in A, B, C, . . . der (m l) te von x, der (11 l) te von y, der (/> l) te 
von z . . . sind. 

Dies vorausgesetzt wollen wir m-t-n-\-p-\ / neue Variable ein- 

fiihren, namlich: 



*) Jucobi selbst bat diese Aufgabe gelost; Andeutungen darubet fiaden sich in seiner Abhandlung 
uber den Multiplicator (Crelles Journal. Bd. XXIX, p. 369), wo auf eine weiter zu erwartende Abhandlung hiu- 
gewiesen ist, welche diesem Gegenstande gewidmet sein sollte. Von den beiden im Nachlasse vorgefundenen 
Aufsiitzen iiber das vorliegende Problem war der eine, welcher eine sehr vollsllindige Auseinandersetzung der 
Resultate erhiilt (de aequationum differentialium systemate non normal! ad formam normalem revocando) der 
ersten Ausgabe dieser Vorlesungen beigefugt worden; der andere, die Beweise enthaltend, fiudet sich iin 
64. Bande des mathematischen Journals abgedruckt (de investigando ordine systematis aequatiouum differen 
tialium vulgarium cujuscunque). Beide Abhandlungen erhalten jetzt im funften Bande der gesammelteu Werke 
Jaco/ns ihren Platz. Anm. d. Herausgebers. 



120 



(2.) 



, _ dx ,, 

~ ~dT> 

*-- $- y" 

J dt J 



dt 



z = 



dt 



dt 
dz 1 

~dT 



dann kann man alle diese Gleichungen mit den Gleichungen (1.) zusammen 
folgendes System darstellen: 



(3.) 



dt-.dx: da : ... 

:dy:dij :... 
:dz:dz :.. 



l:a/:a? :...:A 

: y : y" : . . . : B 
~i . ~" . . r< 



Wendet man auf dieses System die allgemeine Theorie an, so erhalt man als 
Differentialgleichung fiir den Multiplicator 

d\gM dA 8B 8C 



(40 



*o 

= 



dt 



Man kann daher M in alien Fallen angeben, in welchen die Summe 



ein vollstandiger Differentialquotient ist. Wenn z. B. 

dA dB 80 

- ~- - ~ 



x y 

ist, was namentlich immer der Fall ist. wenn A kein - - , B kein - ~~ , 

dt m ~ dt 

C kein - - enthalt u. s. w., so hat man 
dt p 

M = Const. 

und kann daher nach unserer Theorie, wenn man die Differentialgleichungen (1.) 
auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zuriick- 
gefuhrt hat, den integrirenden Factor derselben angeben. 

Diese Betrachtung wiirde von keinem sehr grossen Interesse sein, wenn 
nicht solche Falle in der Praxis vorkamen. Dies findet aber statt. Sobald 
namlich die Bewegung eines freien Systems materieller Punkte bloss von ihrer 
Configuration abhangt. so dass der Widerstand des Mediums nicht in Betracht 
kommt, so sind die Differentialgleichungen der Bewegung 



(5.) 



m. 



dt 1 



dt 



= Z 



121 

wo X;, YI, Z t - keine ersten Differentialquotienten enthalten; daher hat man 

O-A./ (J i j Cj^i 

dx( du . dz . 

1 & i i 

also 

M = Const., 

und das Princip des letzten Multiplicators ist anwendbar. Es findet aber sogar, 
wie wir spater nachweisen werden, noch fur ein durch irgend welche Verbin- 
dungen beschranktes System seine Anwendung. 

Eine besondere Betrachtung verdient der Fall, wo in der canonischen 
Form der Differentialgleichungen, 

C6.) = A. ^ = B. -^ = C, 

x / -i.m -i,n 7,n 

at dt af 

die Grossen A, B, C, ... kein t enthalten. In diesem Fall kann man t ganz 
eliminiren, und zwar einfach dadurch, dass man in der unter (3.) gegebenen 
Form der Differentialgleichungen auf der linken Seite dt, auf der rechten das 
ihm entsprechende Glied 1 fortlasst. Man erhalt auf diese Weise ein System, 

dessen Ordnung um eine Einheit niedriger, namlich gleich m-^-n-^p^ 1 

ist. Hat man dies System integrirt, mithin alle Variablen, also auch x , durch 
eine, z. B. x, ausgedriickt, so ergiebt sich t, wie schon frilher erwahnt, aus der 

Differentialgieichung 

dx x dt = 0. 

Also hat man 

_. dx 

; , 
t = 



Man findet daher t darch blosse Quadratur. 

Hat man nun einen Multiplicator M, der von t frei ist (hierher gehort 

namentlich der Fall, wo ~ ,, ^ +-^rr~Tr+ - S ^ ^ = ^> a ^ so -^= Const. 

o^ "~ l) oy (n ~ l) ozw 1 ) 

ist), so giebt dieser Werth von M den letzten Multiplicator des Systems 

(jn-t-n-\-p-i l) ter Ordnung, aus welchem t eliminirt ist; man kann also die 

beiden letzten Integrationen ausfiihren. Besitzt man dagegen nur einen Werth von 

M, der t enthalt, so kann man hieraus keinen Nutzen fiir die (in-{-n-\-p-\ l) te 

Integration ziehen, sondern nur fur die (m-+-n-+-p-\ ) te , welche den Werth 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 16 



122 

von t liefert und bereits auf eine Quadratur zuriickgefuhrt 1st; und zwar besteht 
dieser Nutzen darin, dass man auch die Quadratur ersparen und t durch Auf- 
losung einer Gleichung bestimmen kann. In der That, nach der ersten der 
Gleichungen (4.) der vorigen Vorlesung batten wir fiir den Multiplicator M des 
daselbst mit (3.) bezeicbneten und zwischen den Variablen x, x l9 . . . x n statt- 
findenden Systems n iM Ordnung die Formel 

m MX- B*+ 7 ^ 6fn 

~--~~ " 



wo /i = i, /2 = 2? fn = a n c ^ e Integrale jenes Systems darstellen und o> 
eine Function von /i, /i>, /> d. h. da diese Grossen durch die Integrale 
des Systems zu Constanten werden, eine Constante bedeutet. Dies wollen wir 
auf das System (6.) anwenden. Sind 

7l ~ ~H /2 ~ ^2 * T m ->rn+p-\ 1 ~ m+n-f/H 1 

die Integrale des nach Elimination von t aus (6.) erhaltenen reducirten Systems, 
und ist 

/= t\-^- = Const. 

*s t/C 

das letzte, clen Werth von t liefernde Integral von (6.), so ergiebt sich aus 
Formel (7.), indem t, x, x , . . . x (m ^\ y, y , ... y (n ~ \ z, z , . . . z<*>-, . . . an 
die Stelle von x, <i\, . . . x n und demgemass 1 an die Stelle von JTgesetzt wircl, 
fiir den Multiplicator M des Systems (6.) die Formel 

I/ ,~, v ( / / /2 . ml / m m+nl m+n / m+n+pl 

Ul \x*4t I ,^ ~ . ^ it ^ I t\ -\ o / i 



Aber es ist /= |~y~J wo ^ eme gegebene Function von ^ ist, daher 



- _L ^L d f 

x 1 das dx" - 



mithin 



M= Const. T 2 



_ . -3-n ---- 
sf die das" dz^~ 

Die rechte Seite dieser Gleichung ist zugleich ein Multiplicator des von t 
freien Systems (m-Hi-h/H ----- l) ter Ordnung; denn fiir den Multiplicator dieses 
Systems, welcher mit /u bezeichnet werde, ergiebt die Anwendung von (7.) 
die Formel 

8 ^ d f m +n+ P -i 



123 

wo f.i, wie sich von selbst versteht, em von t freier Ausdruck ist. Wir 

haben also 

M = Const, ;U, 

und da M der Annahme nach t enthalt, so ergiebt sich t durch Auflosimg 
dieser Gleichung. Inzwischen wissen wir vermoge der uns bereits bekannten 
Bestimmung von t 

C dx 

t = r -+- Const, 
. . x- 

dass die Constante mit t additiv verbunden sein muss; damit diese Verbindung 
von t mit der Constante auch aus der obigen Grleichung fur M hervorgehe, 
muss M von der Form 

e m N 

sein, wo N frei von t ist. Alsdann erhalt man durch die Logarithmen 

Const. 



Wenn A, B, C, . . . die Variable t nicht enthalten, so giebt also M, wenn es 
t ebenfalls nicht enthalt, die vorletzte Integration. Enthalt dagegen M die 
Variable t, so kann man durch die Kenntniss. von J/ die Quadratur ersparen, 
welche sonst zur Bestimmung von t nothwendig ware. 

Zu dem ersten Fall gehoren die fiir die Bewegung eines Systems von n 
materiellen Punkten geltenden Differentialgleichungen (5.), da der uns bekannte 
Werth M= Const, des Multiplicators derselben von t frei ist. Die Differential 
gleichungen (5.) bilden ein System der 6 ten Ordnung, welches nach unserer 
Methode durch die 6^-f-l Variablen ,r ( ., a 1 , , y f , y\, z i} z\ und t dargestellt wird. 
Kennt man 6?z 2 = ^ die Variable t nicht enthaltende Integrals 

f\ ~ a ii fz~ a v f> = Cl r 

dieses Systems, kann man also alle abhangigen Variablen durch zwei, etwa X L 
und y lf ausdriicken, zwischen welchen die noch zu integrirende Differential- 
gleichung erster Ordnung 

<^/i 2/i^i = 

stattfindet, so lasst sich der integrirende Factor Ft dieser letzteren angeben. 
Bezeichnet man die nach Ausschluss von .^ und y i von den 6?^ Variablen 
.r ( , x it y^ y], z ; , z\ iibrig bleibenden 6n 2 = v mit j; n p. it ... p,., so ist 

dp, dp a dp,. 



T> V t 

1 1 = 2, Zt 



da, da 2 da,, 

16 



124 

wo vorausgesetzt 1st, dass man fur die Variablen p 19 p 29 ... p v Hire aus den 
Integralen f = a^ f 2 = ,, ... f v ot v sich ergebenden Werthe substituirt 
habe. Sind die gegebenen v Integralgleichungen weder nach den Variablen 
p l9 p 2 , ... p v , noch nach den willkiirlichen Constanten a l9 cc 2 , ... a v aufge- 
lost, und werden sie mit 

CJj = 0, GT 2 = 0, ... ts v = 

bezeichnet, so ergiebt sich nach den in der dreizehnten Vorlesung ausge- 

O O O 

sprochenen Satzen iiber Functionaldeterminanten f iir den integrirenden Factor 
R der Bruch 



~* da l 8a 2 da,, 



Unter der oben gemachten Annahme, dass die Integralgleichungen nach den 
willkiirlichen Constanten aufgelost seien, hat man w i = f i cc t zu setzen; dann 
reducirt sich der Zahler des Bruches auf 1 , und der integrirende Factor wird 

1 

- d fl 5 /2 . dfr 



Ein umfassenderer Fall, in welchem die den Zahler des obigen Bruches bildende 
Determinant sich bedeutend vereinfacht, ist der. wenn w nur a^ enthalt, 
cD 2 nur a^ und ce 2 u. s. w. und allgemein cD; nur ce 1} 2 , ... ,-; dann reducirt 

sich die Determinante ^ ^ -^ ^- auf den einen Term 

o! o 2 oa v 

OCD Bw, <9to y 



da l da% da y 

Diese Form der Integralgleichungen kann natiirlich durch successive Elimination 
immer erzielt werden. Der analoge Fall fur den Nenner von R ist der, wenn 
co t von alien Variablen p 1} p 2) ... p v nur die eine Pi enthalt, D 2 nur p { und 
p 2 u. s. w., Wf nur p^ p 2 , ... p { . Alsdann reducirt sich die Determinante 

CCJ CCJ 9 Offiy [> -i rp 

-7T-J -^ x aut den einen lerm 



Wenn wir nicht v vollstandige Integrate kennen, sondern nur v be- 
sondere, d. h. solche, in welchen den Constanten ce 1 , ... a v besondere Werthe 
gegeben sind, so konnen wir die Determinante im Nenner von R wohl bilden, 



125 

die iin Zahler von R aber nicht, denn hierzu ware es nothig zu wissen, unter 
welcher Form die Constanten in die Integrate eintreten. Steht es aber fest, 

O 

dass, ehe den willkiirlichen Constanten besondere Werthe beigelegt warden, 
in a?! nur n in cD 2 nur ct v and a 2 a. s. w., in to, nar #,, 2 , ... c^ vorkommen, 
so braucht uns ausserdem nur noch die Form bekannt zn sein, in welcher ct l 
in cD^ 2 in tD 2 . . ., ce, in cD ; . . ., ,, in w,, enthalten waren, um die Deter- 
minante im Zahler von R bilden zn konnen. Wir brauchen dagegen nicht zu 
wissen, wie cD 2 von 1? cD 3 von 15 2 . . ., co, von c^, 2 , ... /_i abhangt, 
denn, wie wir gesehen haben, reducirt sich die ganze Determinante auf den 

einen Term r^-^ ^- JL - Dieser Fall tritt bei der Integration einer ge- 

oe, 6a 2 da v 

wohnlichen Differentialgleichung hoherer Ordnung ein, wenn vorausgesetzt wird, 
dass man jede Integration vollstandig ausfiihren kann, aber dann, um weiter za 
integriren, der willkiirlichen Constante einen besonderen Werth geben muss. 



Sechzehnte Vorlesung. 

Beispiele fiir die Aufsuchuug des Multiplicators. Anziehung eines Punkts nach einem 
festen Centrum im widerstehenden Mittel und im leeren Raum. 

Wir wollen, um die Anwendbarkeit der Theorie des Multiplicators zu 
zeigen, zunachst einen Fall betrachten, in welchem, abweichend von alien 
iibrigen Beispielen, auf welche sich diese Untersuchungen beziehen. X i} Y { , Z ; 
nicht bloss Functionen der Coordinaten sind, sondern auch die Geschwindig- 
keiten enthalten, wo also M nicht eine Constante wird. Dieser Fall ist der 
eines Planeten, welcher sich in einem widerstehenden Mittel um die Sonne be- 
wegt. Ohne Beriicksichtigung des Widerstandes sind bekanntlich die Gleichungen 
ftir die Bewegung eines Planeten folgende: 
d?x , 2 x 



dt 2 r 3 dt* r s dt* r* 

wo -.#, y, z die heliocentrischen Coordinaten des Planeten sind, r seine Ent- 
fernung von der Sonne und F die Anziehung, w T elche die Sonne in der Ein- 
heit der Entfernung ausiibt. Ist v = |/V 2 -{-?/" 2 -h 2 die Geschwindigkeit des 
Planeten in der Richtung der Tangente seiner Trajectorie und V der Wider-stand 
in derselben Richtung, so sind die Componenten des Widerstandes nach den Axen 



126 



der x, y und z respective 



PV 



Vy Vz 



Diese Grossen sind auf der rechten Seite der Differentialgleichungen mit dem- 
selben Zeichen hinzuzufugen, welches die von der Attraction herruhrenden Terme 
haben. Die Bewegungsgleichungen werden also: 



Ct OC 72^ *^ 

" : ~ ~ 



z Vz 

___ 2 _ y ^ 



Nehmen wir den Widerstand proportional der ?i ten Potenz der Geschwindigkeit, 

an. wo f eine Const-ante ist, so hat man demnach die Differentialgleichungen 

^L = _ p 4- _ /. -i -c = A, 
-//* /i^ 



(10 



Die Vergleichung dieses Systems mit der allgemeinen Form (1.) und (3.) der 
vorigen Vorlesung ergiebt m = n=p = 2; also erhalt man nach Formel (4.) der 
namlichen Vorlesung fur den Multiplicator M des Systems (1.) 

dlgM dA __8B_ 8C 
~dT ~ das dy dz 

oder, wenn man fur A, B, C ihre Werthe setzt, 

[d(y-V) d(v*-y) a(i?-V)l 
~ r 1 dz I 



Aber es ist 



also 



dt 



da; 1 



dy 






dy 



y 



dv 



5-u , dv A 

~ , \~z ^ i = ~~ 

dj/ as v 



127 

und somit 
(2.) 



Fiir n== 2 hatte man demnach M= Const. Dieser Fall kann aber in der 
Natur nicht vorkommen. denn sonst mtisste der Widerstand desto gerinffer sein, 

7 DO 

je schneller der Planet sich bewegte. Wir wollen also untersuchen, ob, auch 
ohne diese Annahme fur n, v n ~ l sich in einen vollstandigen Differentialquotienten 
verwandeln . lasst. Der Satz der lebendigen Kraft und die Flachensatze gelten 

o o 

fiir dieses Problem nicht mehr; untersuchen wir indess, welche Form die ihnen 
entsprechenden Gleichungen hier annehmen. Um die dem Satz der lebendigen 
Kraft analoge Gleichung zu erhalten, muss man die drei Grleichungen (1.) re 
spective mit x j y , z multipliciren und addiren; dann ergiebt sich 

72 7,2 

C/ <C- IV , 



Nun ist 

^ 2 -H/ 2 - 

. d 2 z dv dr 





dt 

also 

^7,. 7.2 ,-7,, 

.-/y+S 

Lt(/ / U-t/ 

oder 




dt 
und 



Dies ist zwar auch eiri merkwiirdiges Resultat; aber wir brauchen nicht 
fv n+l dt, sondern fv n ~ l dt. 

Um die den Flachensatzen entsprechenden Grleichungen zu erhalten, 
haben wir aus den Gleichungen (1.) die Grossen y ^ --- z A , z ~% --- x 

zu bilden; dann ergiebt sich 



72 

d*z d*u 

y-* = -f <**&- 



ct x a 



128 

and durch Integration 

(3.) f. fv- l dt = lgG/2 zij} lg = \%(zx xz ) \%p = lg(^ /o/) Igy, 

/ 

wo la-#, Ijr/J ]o-v die willklirlichen Constanten der Integration sind. Man erhalt 

o J o * O * . Q . 

also liieraus erstens das gesuchte Integral \v n ~*dt and zweitens zwei Integral- 

gleichungen, namlich 

yz zy zdxz xy yas 

a r 

welche aussagen, dass die Grossen yz zy , zx xz , xij yx in constantein 
Verhaltniss stehen, ein Ergebniss, welches sicli hatte voraussehen lassen. Denn 
da der Planet in einem widerstehenden Mittel nicht aufhoren kann sich in einer 
Ebene zu bewegen, so miissen die in Rede stehenden Grossen, welche mit (If 
multiplicirt die Projectionen des von dem heliocentrischen Radiusvector be- 
schriebenen Flachenelements darstellen, sich nach einem bekannten Satz wie die 
Cosinus der AVinkel verhalten, welche die Normale der Planetenbahn mit den 
drei Coordinatenaxen bildet. 

Aus den Gleichungen (2.) and (3.) folgern wir 

lg Jl/= 
also 



oder, mit Fortlassung der Constante / w+2 , 



Wir konnen somit in der That das Princip des letzten Multiplication anf diese 
Aufgabe anwenden. Das vorgelegte System (1.) ist sechster Ordnung, and 
fuhrt nach Elimination von t aaf ein redacirtes System fiinfter Ordnung. In- 
dessen konnen wir, da die Bewegung in einer Ebene vor sich geht, die eine 
Coordinatenebene, z. B. die der x, y, mit der Ebene der Bahn zusammenf alien 
lassen; dann ist = za setzen, die letzte Gleichang (1.) fallt fort, es bleibt 
ein System vierter Ordnung and, nach Elimination von t, ein reducirtes System 
dritter Ordnung tibrig. Von diesem letzteren ist tins aber kein einziges Integral 
gegeben, denn von den drei Gleichungen, welche an die Stelle der Flachen- 
satze treten, existirt jetzt nur eine, und diese ist keine Integralgleichung, sie 



129 

liefert nur fur iv*^*dt den dritten in (3.) gegebenen Ausdrack. Hat man 

nun von dem in Rede stehenden System dritter Ordnung zwei Integrate mit 
den beiden willkiirlichen Constanten a n a. 2 gefunden, so dass x und y als 
Functionen von x und y dargestellt werden konhen, und bleibt demnach nur 
noch die Differentialgleichung erster Ordnung 

x dyy dx = 
zu integriren iibrig, so ist ihr Multiplicator 

dx dy das dy 



Als zweites Beispiel der Anwendung des letzten Multiplicators wollen wir 
ein solches nehmen, bei welchem wir nicht den Multiplicator einer unbekannten 
Differentialgleichung erhalten, sondern alle Integrationen vollkommen durch- 
f ilhren konnen, namlich die Bewegdng eines Planeten um die Sonue in einem 
niclit widerstehenden Mittel. Man tiberzeugt sich leicht, dass die Bewegung in 
einer Ebene vor sich gehen muss, und dass man daher nur ein System vierter oder, 
nach Elimination von t, dritter Ordnung erhalt. Hiervon geben die Principe 
der lebendigen Kraft und der Flachen zwei Integrale und das Princip des letzten 
Multiplicators das dritte. Bei dieser Aufgabe mussen sich also, wie man a priori 
einsieht, die Integrationen vollstandig ausfiihren lassen. Das zu integrirende 
System von Diiferentialgleichungen ist, wie wir schon oben gesehen haben, 



_ dt* r 3 dt * r 3 

wo k~ die Anziehung der Sonne in der Einheit der Entfernung bedeutet. Die 
beiden Integrale, welche das Princip der lebendigen Kraft und der Flachen 
liefern, seien 

wo f } und /g Functionen von x, y, x und y sind; dann findet man f iir die 
zwischen x und y iibrig bleibende Diiferentialgleichung als letzten Multiplicator 
den Ausdruck 



___ ____ _ _ __ 

da dp dp da df, df, _df\__df? 



____ 
das dy ~ ~ dy da 1 

wo M der Multiplicator des Systems (5.) ist. Aber da wir es hier mit einer 
ganz freien Bewegung zu thun haben, so ist nach der vorigen Vorlesung 

Jacobi, Wcrke. Supplementband (Dynamik). 17 



130 

= Const. ; man karm also M=l setzen und erhalt als letzten Multiplicator 

1 



(6.) 



df, df, df, df, 



dx dy dy dx 

Denken wir mis mittelst der Gleichungen /, = und f. 2 = fi die Grossen x und 
y durcli x und y ausgedrftckt und in die Differentialgleichung 

(7.) x dyijdx = 

eingesetzt, so ist dies die Gleichung, deren Multiplicator der Ausdruck (6.) sein 
muss. Wir wollen dies durcli Aujsfiihrung der Rechnung nachweisen. 

Indem wir die Gleichungen (5.) respective mit x 1 und y 1 multipliciren und 
dann addiren, erhalten wir den Satz der lebendigen Kraft, namlich zunachst 



dt 2 



= K 



und durch Integration 



(8.) K 

Das Princip der Flachen erhalt man, indem man aus der Gleichung 



d it d*x 

x r4 y r^- = 

dt* J df 



durch Integration 
(9.) 



herleitet. Unsere beiden Integrate sincl also 



Hieraus ergiebt sich: 



3/i , df, 

1 - r * _ " - />/ 

da/ dx J 



also wird nach (6.) der Multiplicator von (7.) 

\_ 

df, df, df, df, 



dx dy 1 dij dx 
d. h. der Ausdruck 

x dy y dx 



(10.) 



xx 



131 

wird em vollstandiges Differential. Dies haben wir zti beweisen, indem wir 
x und y aus den Grleichungen (8.) und (9.) bestimmen. Setzen wir zur Ab- 



kiirzung 



so haben wir zur Bestimmung von x 1 und y die Grleichungen 



Die zweite dieser Gleichungen ist schon linear in Beziehung auf x und ?/ , es 
kommt also nur darauf an, eine zweite ebenfalls lineare herzuleiten. Dies kann 
man am besten durch die bekannte identische Formel 



Setzt man in derselben fur x --+-y 2 und xij yx ihre Werthe ein, so erhalt man 



Man hat also die Gleichungen 



xy yx 



und hieraus ergiebt sich 



Dividirt man beide Grleichuno-en durch 



D 



so erhalt man 



-- _ _ _ 

s8 a " 



und wenn man diese Werthe in (10.) einsetzt, 

^ G?^/ y dx _ fl(ada!-l-ydy) xdy ydx 

~ " 



Nun ist xdx -\-ydy = rdr, ferner, wenn wir fur ^ seinen Werth einsetzen, 



wo R eine blosse Function von r ist; also wird 

^c cZy y dx. ft dr xdy ydx 

]/R r r 2 



Der erste Term auf der rechten Seite ist ein vollstandiges Differential, denn 
er ist gleich dr multiplicirt in eine Function von r. Der zweite Term hat die 

17* 



132 

bereits in der fiinften Vorlesung p. 33 erwiihnte Form eines Products von 
xdy ydx .in eine homogene Function 2 ;er Ordnung von x und y, welches 
sich immer als Product einer Function des Quotienten in sein Differential 

tV 

darstellen liisst und daher ein vollstSndiges Differential ist. In clem vorliegen- 
clen Fall hat man 



tdy-yd* = _ _ =dare tgJ 



Der Ausdruck ist also ein vollstSudiges Differential, was zu be- 

asas -hyy* 

weisen war. 

Wir wollen jetzt zu den Differentialgleichungen der Bewegung eines 
nicht freien Systems iibergehen. 



Siebzehnte Vorlesung. 

Der Multiplicator fiir die Bewegungsgleichungen unfreier Systeme in der ersten 

Lac/ranc/esc\iQn Form. 

Wir haben in der siebenten Vorlesung p. 54 gezeigt, class die Differential 
gleichungen eines Systems, welches durch die Bedingungsgleichungen 

y = 0, ip = 0, ra = 0, ... 
gebunden ist, auf folgende Form gebracht werden konnen: 



72 **i i " rj r* Q I K r i 
at dx. ax. ox. 

i i i 

da 



dy. " dij t * dy. 



dz. 



* 



wo die Multiplicatoren ^, JLI, v, . . ., wie ebendaselbst bemerkt ist, durch zwei- 
malige Differentiation der Gleichungen ^ = 0, i/^^O, cD = 0, ... zu bestimmen 
sind. Wenn man diese Bestimmung von A, p, v, . . . ausfiihrt, so findet man, 
wie wir sogleich zeigen werden, dass diese Grossen von x , y , z nicht unab- 
hangig werden; daher kann man hier den Multiplicator M nicht gleich 1 setzen, 



133 

sondern muss zu dessen Bestimmung auf die Grleichung (4.) der fiinfzehnten 
Vorlesung p. 120 zuriickgehen. Nach derselben wircl fiir das System von 
Differentia] a l eichunffen 



T,in -i,n 7 , u 

at at at* 

der Multiplicator M durch die Gleichung 

d\sM dA dB dC 



= 



defmirt. Hieraus ergiebt sich fiir den vorliegenden Fall 

1 ( d(f> <9A d(f <9A d(f dk 



i * 1 n i i <^ n -1 < "~\ ^ i 

dt i m. \ ctx. ox. ay. ay. az. dz. 

t m\ dx. dx( dy. dy( dz. dz . 

-h - 

wo auf der rechten Seite jedem der Multiplicatoren A, ^u, ... eine Sumine 
entspricht. Fiir die Anwendung der Theorie des Multiplicators M ist es noting, 
dass die rechte Seite dieser Gleichung ein vollstandiger Differential quotient wird. 
Um zu untersuchen, ob dies der Fall ist, miissen die Werthe von A, t u, v, ... 
oder wenigstens diejenigen ihrer nach den Grossen x n y i} z\ genommenen 
Differentialquotienten ermittelt werden. Zur Bestimmung dieser Werthe diffe- 
rentiire man eine der Bedingungsgleichungen, z. B. <^ = 0, zweimal hinter ein- 
ander nach t. Die erste Differentiation giebt 



die zweite Differentiation fiihrt zu der Gleichung 



wo u den Theil des Resultats darstellt, welcher aus der Differentiation der Factoren 

-^- -^ -^ hervorgeht und eine homoo-ene Function zweiter Ordnuno; der 

d. dy { dz. 

3w Grossen x ,, y t , z\ ist. Bezeichnet man durch die Reihe p^ p 2 , ... p 3n den 
Complex aller 3^ Coordinaten #,-, y iy z i} so kann man der Function u die 
Gestalt geben: 



dpi i " dp.dp k 



134 

wo die letzte Summe nur auf von einander verschiedene Werthe von i und k 
auszudehnen ist. Auf dieselbe Weise leitet man aus den anderen Bedingungs- 
gleichungen durch zweimalige Differentiation die Grleichungen 



= 0, 
= 0, 



ab, wo nacli der oben eingefuhrten Bezeichnung der Coordinate!! die Functionen 
r, w, ... die Werthe 



dp. dp k 



r 



d Pi dp k 



haben. Um nun ^, t a, v, ... zu erhalten, hat man in diese Grleichungen die 
aus dem vorgelegten System abgeleiteten Werthe von x - , y", z" einzusetzen. 
So ergiebt die durch zweimalige Differentiation aus (f hergeleitete Grleichung: 



dz. m. 



By. 



dz. 



oy. 



\-v- 



dz. 



= 0, 



oder wenn man 



^ 1 ( t 

a =-2 

m. \ c 



d(f 



i. \ dx. dx. dy. dy. dz. dz 

i i i u i <y i i 

( . 

1 ( d(f> d& r dy> 
m. \ 



, __ v 1 ( d(f dip dtp dip dy dip \ 

" m. \ dx. dx. dy. dy { dz. dz. J 



dx. dx. dy. dy. dz. oz. 

l l & l Jl / ! 



5ca \ 
dz. / 



d(f 



d(f v d(f 

^ Yi -+- -~ 

dy dz 



135 
setzt, 



= 0. 

Eine solche lineare Gleichtmg zwischen den Grossen 2, jii, v , ... erhalt man 
fiir jede einzelne der Bedingungsgleichungen (f = 0, t/> = 0, u) = .... Fi ihrt 
man allgemein, wie in der siebenten Vorlesung p. 56, die Bezeichnung 

(p n__ vJL(J^L_^_ _3^_d#_ d.F d# \ 

C ^ "ni. \ dx. das. dij. dy. ~dz. dz. ) 
11 i j i <J i i i 

ein, so dass 



wird, and setzt 



a 



so dass zwischen diesen Grossen die Gleichungen 

a = b, a" = c, b" =c , ... 
bestehen, setzt man ferner 



m. 

C 



so hat man zur Bestimmung von 2, ft, v . . . die Gleichungen 

u l -\-a A-+-& f.i- rc v-\ ---- = 0, 

aH ---- = 0, 
= 0, 



Anstatt dieselben nach ^, t u, v . . . aufzalosen und aus den so gefundenen 

r\ ^ r*> 

Werthen durch Differentiation -5-7-5 o f ? abzuleiten, difFerentiire man viel- 

i 

mehr unmittelbar die vorgelegten linearen Gleichungen partiell, was die 

Rechnung bedeutend vereinfacht. Die Grossen a, b, c, ... a , b , c , ... 
enthalten namlich die Differentialquotienten #, , y\, z\ gar nicht und sind da- 
her bei dieser Differentiation als constant anzusehen; ferner sind die Grossen 
M n v 15 ^ 15 . . . respective von u, v, w, . . . nur um Ausdriicke verschieden, 



136 

die ebenfalls die Differentialquotienten #j, ?/!, z\ nicht enthalten, daher ist 

aw. aw df. 5y i i ..-,, 

^ = -^> -d = -dj: u - s - w -> also erhalt man: 

i ( < i 

dii dv 



a . aA 7 , 

__ i_7) 

T f ^^ " 





r-. I 

. ox. 

iiit 

dw ,. a A ,., a/tt 
" 



= 0, 



Die Function ?< wurde durch die Grleichung 



definirt, wo die Grossen p die 3n Coordinaten x i} y t , z, bedeuten und in der 
zweiten Summe rechter Hand i von k verschieden ist. Durch Differentiation 
nach p[ ergiebt sich 



du _ J* ^ d y> , 

jH 1 v - ^"3-vi *i *- R, 



oder indem wir fiir p, wiederiim x-, und fiir die Grossen p k die Grossen a\., y k , z k 
setzen . 

du d> 9 ay , ay 



a A- . fesAd^ 

Die Summe rechts ist aber der vollstandige Differentialquotierit von -- nach t, 
also hat man 

rf-*L 

du 



_ 



dt 

In dieser Gleichung kann man, wie sich von selbst versteht, y oder j fiir # 
schreiben, ferner v, w ... fur u, wenn man zugleich i/;, cD, ... fiir y setzt. 
Man erhalt also : 

d(f dip dns 

Otv l i C/ t- w*v. O lV **** * 

tal ** Ul f O 

und ahnliche Gleichurigen fiir die nach y|, 0) genommenen partiellen Differential 
quotienten. Hierdurch verwandeln sich die obigen linearen Gleichuno-en fiir die 

^y 1 T 

Grossen - r-y-. -rA-. -ai- in die folgenden: 

fy 7 1 f7 ? f7 2y 



137 





d d(f 













dx. 


dl 

\ n 1 A 


d[.i 


dv 
+ f, 






dt 
dip 




i 


6 ^ , - 
OX. 




-) 


dx. 


1 n 1 \ // 


d/ii 


dv 


i A 




dt 
d 


dx . 


dx . 




1 U. 


-) 


dx. 


, dk 
I n" \ 7) 


d/n 


+V 






dt 




dx . 


dx . 





Um diese linearen Gleichungen aufzulosen, muss man bekanntlich die Deter- 
minante der Grossen 

a, b, c, ... 

a , b , c , ... 

a", b", c", . . . 



also, in abgekiirzter Bezeichnung die Determinante 



dR dR dR 


dx. 

. zu multipliciren 

d d(f 


mid erhalt 


durch Additio 
, dtz 


da da da" 


97? Oa;. 
o on | o 


dR dx. 


dR dx. 


Ebenso erhalt man: 


5a dt 
d(f> 


da dt 
dip 


1 " da" dt 
dm 


dR dx. 

f) UJ ^ i i o 


dR das { 


dR e* t 


t 

n K v i 


c?i dt 


db dt 

dip 


" db" dt 


<? ^ ^- 


dR dx. 


dR dx. 



dc dt dc dt dc" dt 

Aehnliche Gleichungen gelten fiir die nach y\ und z] genommenen Differential- 
quotienten von A, t u, f, .... Die Werthe aller dieser Differentialquotienten 
sind in den oben gegebenen Ausdruck von ~ einzusetzen , welch en man in 
folgender Art ordnen kann: 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 18 



dlgM _ 
dt 



dm 



J I 



1 ( d(f dA dip d/.i dm dv 

I I I 

m. \ dii. dv dy. ay. dii. dy. 

I </ I <J i i/ / i/ | |7 t/ 1 

1 ( dtp <9A dip d|U. dm dv 



m. \ dz. dz . dz. dz . dz. dz . 
tit > i i i. 



Dann erhalt man ftir das Product von R in die erste der drei Summen rechter 

/ dd> dA dW da dm dv \ 



Hand das Ergebniss 



Jl 

m. \ 


dx. dx . dc 


v. dx 


; dx. dx . ) 

d d 




fl 


o dR ^ 1 d(f dx L 


I O V 


dff 


G&. r~l 7? 

| o on v L 


d(f 


a ,. 
dx. 

i 


da m. dx. dt 
d(f 


da " m 


dx. 


dt "" da" " m. 
dip 


dx. 


dt 

, dm 


o dR 1 dip u x i 


, , a^ v i 


dip 


d *i o dR v 1 


dip 


{ i - 


i i 


\-t ^. 7 , -*. 

do m. 


dx. 


dt " db" ~ m. 


dx. 


dt 


dR ^ 1 dm dx. 


, o ^ v 1 


dm 


d^i dR ^l 


dm 


dx. 

i ... 


dc m. dx. dt 


- t ^ i 1 *- 

> dc w. 
i 


dx. 

i 


dt " dc" ^ m. 


i 


dt 



Die Elemente der Detenninante R stehen aber, wie wir gesehen haben, in den 
Beziehungen zu einander, dass 



und nach einem bekannten Satz liber die Auflosung linearer Gleichungen folgen 
hieraus die Relationen 



da dc 



da 



dc db" 



Mit Berticksichtigung hievon kann man der rechten Seite obiger Grleichung 
auch die Gestalt 



dR v 1 d d(f d(f _ dR ^ 1 d dcp dip dR ^ 1 

/-)/-/ vn. fit n r r).v rln ill t7f r)w r-l.v r\fi fn 



d 



dm 



da " m. dt dx. dx. da" " m. dt dx. dx. 

iii i. i i 

dR v 1 d dip dip dR ^ 1 d dip dm 

r)h tri fit /->/! rlv r)A" tr> fit r)v. r~l ) 



m. dt . 

I I 1 

dR ,,1 d dm dm 



dc" " m. dt dx. dx. 



139 

... , 8R > OR > d# 
geben, oder mdem man wieder fur z ~ , , 2-3-77-, z , . . . respective 

<5.# 3.R 5JR 5-R <9.R (9.R , .,, v , 

-77- + -5T-, -Mr + -;&-, > schreibt, die lolgende: 



da db da" dc db" dc 

dR 1 d dtp d(f dR It/ dy> dip dR It/ dy> dm 



da "* TO. dt dx. dx. da "* m. dt 8x. dx. da" m. dt dx. dx. 

iti tit iii 

dR 1 d dip d(j) dR It/ dip dip dR 1 d dip dm 



db m. dt dx. dx. db TO. dt dx. dx. db" TO. dt dx. dx. 

iii iii iii 

dR v 1 t/ dm d(f . dR . 1 d dm Sijj dR 1 d dm dm 



dc TO. dt dx. dx. dc " TO. dt dx. dx. dc" TO. dt dx. dx. 

lit iii iii 

-+- - - 

Setzt man die analogen Werthe fur die beiden anderen in dem Ausdruck von 
rr vorkommenden Summen und erinnert sich der Werthe ~ ~ ~" 



O 

, *. v ^.^v* VM Summen und erinnert sich der Werthe von a, a, a", 

dt 

b, b , b", . . . c, c , c", . . ., so erhalt man 



dR da dR da dR da 



"+-TCT 



dt da dt da dt da" dt 

dR db dR db dR db" 



db dt db dt db" dt 
dR dc dR dc dR dc" 



dc dt dc dt dc" dt 



-h 



dt 

also 

d\sM dR 



R 



dt dt 



und mit Vernachlassigung eines constanten Factors 

M=R. 

Aus der eigenthiimlichen Form der Grossen a, a , a", ... b, b , b", . . . 
c, c , c", ... kann man auch eine merkwiirdige Darstellung ihrer Determinante 
ableiten. Wir haben oben 

= (^. y)> = (5Pj ^)> a " = (5P> ro )> 
b = (y, y), 6 = (^,v/), 6" = (^,01), . . - 
c = (m, y), c = (GT, <//), c" = (ay, ro), ... 



gesetzt, wo die in Klammern *eingeschlossenen Grossen dem Ausdruck 



m. V dx. dx. dii. dii. dz. dz. 

i, i i j i <j i i -i 

18 



140 

analog gebildet sincl. Diese Summen lassen sich etwas einfacher darstellen, 
wenn, wie im Anfang dieser Vorlesung p. 133, alle 3n Coordinaten mit einem 
Buchstaben and angehangten 3;i Indices bezeichnet werden. Fiihren wir statt 
der Coordinaten selbst denselben proportionate Grossen ein and setzen 



so dass die 3n Grossen Vnij.dfo Vm^.y ( , V**f*i m it den 3 ft Grossen 
identisch sind, so geht der Ausdruck (cp, i//) in die Form 



fiber, in welcher sich die Summation von i1 bis i=3n erstreckt. Deter- 
minanten, deren Elemente in der hier vorliegenden Art zusammengesetzt sind, 
lassen sich als Summen von Quadraten darstellen. (Siehe ineine Abhandlung 
,,de formatione et proprietatibus deterrninantiuin", Crelles Journal Bd. 22, p. 285.) 
1st m die Anzahl der Functionen y, i//, co, ... oder, was dasselbe ist, der 
fur das mechanische Problem geltenden Bedingungsgleichungen, und bildet man 
alle mogiichen Determinanten der Form . 



s. as, dj,, ai^-D 

wo i, i , i", . . . i ( "~ 1 > je m verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... 3^ 
bedeuten, so ist die Sumine der Quadrate dieser Determinanten gleich R. Von 
diesem zuerst von Caucky*} veroffentlichten Satze habe ich in der oben ange- 
fiihrten Abhandlung eine schone Anwendung auf die Methode der kleinsten 
Quadrate gemacht. Fiir den Fall, wo ein Punkt sich auf einer gegebenen 
Oberflache bewegt, ist die Gleichung dieser Oberflache, (f = 0, die einzige Be- 
dingung; daher reduciren sich die partiellen Determinanten, aus deren Quadraten 

R zusammeno-esetzt werden kann, auf - ^ und 

di Vm l d*i di y mi %, 

8(f> 1 9(p n 

* = = -~ , so dass 

7? - Ml d *> V+C a< ? Wf ^ VI 

K 1\~5 )~f~l^T I ~T~\~5 I I 

m 1 IV &B! / V ay l J \ dz l ) J 

wird. Der Fall m = 3n, der freilich in der Mechanik nicht vorkommt (da die 
Anzahl m der Bedingungsgleichungen hochstens gleich 3 1 sein kann), ist 
der einfachste in Beziehung auf den Determinanfcensatz; denn alsdann reducirt 
sich die Determinante R auf ein einziges Quadrat. 

*) Journal de 1 ecole polytechnique, cah. 17. 



141 
Durch die Gleichuno; 






haben \\ T ir fiir ein durch irgend welche Bedingungen gebundenes System and 
fi ir die erste Lagrangesclie Form tier Differentialgleichungen den Multiplicator 
des Systems, mithin unter der Voraussetzung, dass alle Integrale bis auf eines 
bekannt seien, auch den letzten Multiplicator gefunden. 



Achtzehnte Yorlesung. 

Der Multiplicator fiir die Bewegungsgleichungen unfreier Systeme 
in der HamiltonschQU Form. 

Wir wollen jetzt den Maltiplicator der Differentialgleichang eines nn- 
freien Systems fiir die Hamiltonsche Form der Differentialgleichungen aufsuchen. 
Es sei T die halbe lebendige Kraft, n die Anzahl der materiellen Punkte, m 
die Anzahl der Bedingungsgleichungen; da neben i auch k als reihendes Element 
gebraucht werden soil, so moge die Zahl 3ft m von jetzt an nicht mehr mit 
k, sondern mit t a bezeichnet werden. Wir dachten uns in der achten Vor- 
lesung p. 62 die 3ft Coordinate!! als Functionen von 3ft m neuen Variablen 
<?!, q.>. ... q Sn _ M so dargestellt, dass die Bedingungsgieichungen durch Substitution 
der auf diese Weise ausgedriickten Coordinaten identisch befriedigt werden, und 
erhielten dann T a*ls homogene Function zweiter Ordnung der Grossen q n deren 
Coefficienten die Grossen q f enthalten konnen. Wir fuhrten ferner die Grossen 
Pi = -ft-r an Stelle der q t ein und erhielten so in der neunten Vorlesung p. 71 

J-i 

zwischen den 2 (3ft m) Variablen q t und p t die Differentialgleichungen der Be- 
wegung in der auch fiir den Fall, wo keine Kraftef unction existirt, gelten- 

den Gestalt 

dq. QT dp. Q 



dt dp. dt " dq t 

wo 



Diese Differentialgleichungen kann man auch folgendermassen schreiben: 
dt : dq l : dq 2 : ... : dq tl : dp l : ... : dp u 

dT dT dT dT dT 

1 : : : . . . : ^ : ^ [ U. .... . ^ \ ^lu 

dp l vp 2 dp u dq, dqp 



142 



AYendet man auf dieses System die Theorie des Multiplicators an. so ergiebt sich 

dT f dT \ 

a -5 o = h Qi 

dleM dp, V dq t ) 



= 



dt dq, dp, 

Da nun X i} Y i} Zf fur die Probleme, welche wir betrachten, nur von den Coor- 
dinaten x i} y f , z, und nicht von ihren Differentialquotienten abhangig sind, so 
enthalten auch die Functionen Q,. nur die Variablen q t und nicht ihre Differential 
quotienten und daher auch keine der Variablen p,-; also ist 

90. 

L Q 

dp. 

daher 



dt dp. dq i dq. dp. 

M = Const, 

Man kann also M gleich 1 setzen, so dass der Multiplicator hier denselben 
Werth hat, wie bei dem ganz freien System. Um den letzten Multiplicator fur 
diesen Fall anzugeben, muss zuhachst aus dem auf die 2fi te Ordnung steigenden 
System von Differentialgleichungen 

d <li dT dpi dT 

dt dp. dt dq. ~ ^ 

wo i die Werthe 1 bis ,it durchlauft, t eliminirt werden, welches, wie wir 
voraussetzen nicht explicite in den Grossen Q ( . vorkommt. * Kennt man von 
clem dadurch erhaltenen reducirten Systems (2 ; a l) ter Ordnung 2 11 2 Integral- 

gieichungen 

a 1 = 0, ro 2 = 0, ... ro 3// _ 2 = 

mit ebensoviel Constanten cs 1 , a 2 , ... 2 , 25 so kann man vermoge derselben 
alle 2 t a Variablen q und p durch zwei derselben, etwa q l und q. 2 ausdriickeri; 



alsdann ist nur noch die Differentialgleichung 



8 Pl 
zu integriren, deren Multiplicator. 



-0 
* ~ 



toj da. 2 
v 1 - /"" 

I ; ... - 

ist. 



143 



Werm die Krafte X,-, Y { , Z { die partiellen Differentialquotienten einer 
Function U sind, welche ausserdem noch t explicite enthalten kann, wenh also 



Y ? 

1 : ~ : " : 



a. y. 

i J t i. 

ri U 

so wird Q; = -~ , and die Differentialgieichungen der Bewegung gehen, (siehe 

p. 71) wenn man 

T U=H 
setzt in die einfache Form 

d <li dH dp. 



dt dp i dt dq. 

liber. An diese Hamiltonsche Form der Differentialgieichungen werden die 
ferneren Untersuchungen, welche den Kern dieser Vorlesungen bilden, ankniipfen; 
das Bisherige ist als Einleitung dazu anzusehen. 



Neunzehnte Vorlesung. 

Die Hamiltonsche partielle Differentialgleichung und ihre Ausdehnung auf die 

isoperimetrischen Probleme. 

Die Hamiltonsche Form der Differentialgieichungen der Bewegung wurde 
in der achten und neunten Vorlesung aus dem Princip hergeleitet, dass,- wenn 
die Anfangs- und Endwerthe der Coordinaten gegeben sind, die Variation des 
Integrals \(T^-U}dt verschwinden muss. Man kann dies Princip allgemeiner 
so aussprechen, dass es auch gilt, wenn nicht die Anfangs- und Endwerthe selbst, 
sondern andere fiir die Grenzen stattfindende Bedingungen gegeben sind. In 
diesem Fall ist namlich nicht die ganze Variation des Integrals \(T-+-U)dt 
gleich Null zu setzen, sondern nur der unter dem Integralzeichen stehende Theil 
derselben; die Variation lasst sich alsdann ohne Integralzeichen ausdriicken, oder 
was dasselbe ist, die Variation von T-{- U wird ein vollstandiger Differential- 
quotient. Um dies klar zu machen, miissen wir auf die in der achten Vorlesung 
gegebene Herleitung zuruckkommen. 

Es sei T die halbe lebendige Kraft und U die Kraffcef unction, welche 
ausser den Coordinaten auch t explicite enthalten kann; man denke sich die 
3n Coordinaten als Functionen von 3^ m = jii neuen Variablen q l} q 2 , ... q tl 



144 

so dargestellt, dass die m 13ediiigungsgleichungen durch diese Ausdriicke identisch 
erfiillt werden; ferner sei 



dann hat man, da y> Function der Grossen q l9 ... q u and q{. ... q ^ 1st, 



aq. 



Es 1st aber 



r Sg> , . f 5^ <,- . a<p 

, Sq.dt = -; --- j- 1 - dt = . JQ. 
^ ^ d! d . ll 



. 
dt dq . 

also wird, wenn man zwischen der unteren Grenze r und der oberen t integrirt 
und die der unteren Grenze T entsprechenden Werthe durch einen oben ange- 
hangten Index bezeichnet, 



/- 



= 



Durch Einsetzung hiervon ergiebt sich 



, 
a ? ! dq. aq. dt ] 

Nun ist, da ^| in U nicht vorkommt, 

ay dT 

~6q 1 7 ~~~df ~ Pi 

ferner verschwinden zufolge der Differentialgleichungen der Bewegung in der 
p. 63, Gleichung (8.) gegebenen, zweiten Lagrangescheu Form die sammtlichen 
auf der rechten Seite unter dem Integralzeichen stehenden Ausdriicke 



- 

dtp dq . d(T-t-lT) 



dq. dt dq i dt 

daher bleibt filr die gesuchte Variation allein der vom Integralzeichen freie 
Theil derselben iibrig, und man hat 

d I (fdt = 2 , dq. 2 ,-, , 00 = ISp.dq. ^P- o<7. . 
J dq. dq. 

Nach der friiheren Annahme waren die Arifangs- und Endwerthe der q ge- 
geben, also dq f = und dq = 0, und es verschwand demnach die rechte 



145 

Seite der letzten Gleichung; dies 1st nach der gegenwartigen allgemeineren 
Voraassetzang nicht der Fall. Um den Sinn, in welchem die Variationen ge- 
nommen sind, richtig zu verstehen, muss man sich erinnern, dass der unter 
dem Integralzeichen stehende Theil der gesuchten Variation nur vermoge der 
Differentialgleichungen der Bewegung, welche als erfiillt angesehen werden, 
verschwindet. Die Grossen q { und q { , sowie die Grossen p i milssen daher als 
o-egebene Functionen von t und 2u Constanten betrachtet werden, und die 

O O 

Variationen dq L sind lediglich die Veranderungen der q t , welche aus Veran- 
derungen der Werthe der 2/* willkurlichen Constanten herruhren. Die Werthe 
dieser Variationen Jg t ., welche der unteren Grenze r des Integrals entsprechen, 
sind die Grossen dq. Indem wir das Integral, dessen Variation betrachtet wird, 
mit V bezeichnen, also 

(2.) V=(<pdt = f(T-+-lT)dt 

setzen, lasst sich die obige Formel so schreiben: 

(3V=p 1 dq 1 -\-p a 6q,-\ hftfy.H hp/^ 

I -pM-p M pWl pjaj, 

dV 
ein Ausdruck, dem noch das Glied -^ -dt hinzuzufilgen ist, wenn man t nicht 

als unabhangige Variable ansieht. 

Diese Darstellung der Variation von V ist sehr wichtig. Nach Inte 
gration der Differentialgleichungen der Bewegung kann man namlich sammtliche 
Variablen und daher auch (p als Function von t und den 2^ Integrations- 
Constanten darstellen und erhalt aus dieser Darstellung von y> durch Quadratur 
V ebenfalls als Function von t und jenen 2ju Constanten. Die Wahl der 
Grossen, welche das System dieser Constanten in den Integralgleichungen bilden, 
steht in unserem Belieben. Wahlen wir dazu die 2/u Anfangswerthe ^, p, 
so bilden die 2^ -hi Variablen t, q i7 p t und die 2/u Constanten q?, p f zu- 
sammen ein System von 4^ -hi Grossen, welche vermoge der Integralgleichungen 
durch 2^ Relationen an einander gebunden sind, und von welchen daher irgend 
2^ als Functionen der iibrigen 2^ -hi anzusehen sind. Denken wir uns z. B. 
die Werthe der 2^ Grossen p i7 p] durch die 2 ( a-hl Grossen t, </, : , q ausge- 
driickt und diese Werthe der p in V eingesetzt, welches uns bereits als Function 
der 2^-hl Grossen t, q i} p { bekannt ist, so.ergiebt sich hierdurch V= \(fdt 
als Function der 2^ -hi Grossen t, q l , q 2 , ... q^, q l9 q%, ... q^. Indem man 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 19 



146 

man diese Darstellung von F variirt, dabei aber t unvariirt lasst, wird 

8V, 8V . dV , 

V=-^ fo-h-5 fy,H h^ tq M 

dq, dq, dq^ *P 

dV dV 



Vergleicht man dies mit der Darstellung (3.) von $V 9 so erhalt man 

8V 



Andererseits ist nach der in (2.) gegebenen Definition von V 

dV 
y= dt 

Aber t ist in V erstens explicite enthalten und ausserdem implicite vermoge 
der Grossen q l9 q 2 , ... q ; daher hat man 

dV dV dV dq. 



dq f dt 
oder mit Hiilfe von (4.) 



eine Gleichung, die unter Einfiihrung der Function 

(5.) y = S P .q .-<p 

in die folgende 



iibergeht. Die Gleichung (6.) ist, wenn man i// in der gehorigen Form dar- 
stellt, eine partielle Differentialgleichung fur V. In der That, die Grossen q\ 
und die oben durch die Gleichungen 



eingefiihrten Grossen p i bilden, wie wir wissen, zwei Systeme von Grossen. 
welche sich mit Hiilfe der Grossen q { und t durch einander ersetzen lassen, 
sodass jeder gegebene Ausdruck der 3^-f-l Variablen t, q i} q[, p i sich zu- 
gleich als Function der 2/^-1-1 Variablen t, q^, q[ und als Function der 
Variablen t, q^ p { darstellen lasst. Ein solcher Ausdruck ist 
(5.) V = 3p i q i 9> 



147 

Indem wir.i/ als Function der Grossen t, q t , p t darstellen und filr die Grossen 
pi nach der ersten der Gleichungen (4.) die partiellen Differentialquotienten 

o -TT f\ TT 

setzen, wird y schliesslich durch die Grossen t, q lt q 2 , ... 



, , lt 2 , ... ^ -^ , 

JL i J.L 



ausgedriickt, und die Gleichung (6.) nimmt die Gestalt an: 
^---ibit dV dV 8V \ - 

Dies ist die HamiltonschQ partielle Differentialgleichung, welcher V = \(pdt 

geniigt, wenn man es als Function von t, q^ q 2 , ... q^ und ql, q, ... q^ an- 
sieht. Die Integration der Differentialgleichungen der Bewegung giebt also fiir 
diese partielle Differentialgleichung eine Losung, welche /a willkiirliche Constanten 
ql, <$,... (fa enthalt. 

Alles Bisherige gilt nicht bloss fiir die mechanischen Probleme, sondern 
auch, wenn <p, anstatt gleich T-i-U zu sein, eine beliebige Function von t, 
<?i> ?2) ^? ?i) ^2? ^ bezeichnet. In den mechanischen Problemen 
aber bekommt //, wie die Entwicklungen der neunten Vorlesung bereits gezeigt 
haben, eine einfache Bedeutung. Denn wenn man in 

fiir <p den Werth 

g>= T+U 

einsetzt, wo U nur von den Grossen q t abhangt und T eine homogene Function 
zweiten Grades der Grossen q t ist, so wird 

8T 

dT 



und die partielle Differentialgleichung geht in 



iiber. 

Das Resultat der bisherigen Betrachtungen lasst sich zunachst fiir die 
mechanischen Probleme folgendermassen aussprechen: 

19* 



148 

Wenn 

H=TU, =- 

cty! 

ist, und H durch die Grossen p t und q i ausgedrilckt wird, so sind 

dg { dH dp. 



dt dp. dt dq. 

die Differentialgleichungen der Bewegung. Man betrachte die Bewegung in 
dem Intervall r bis t und filhre als ivillkurliche Constanten in die Integral- 
gleichungen die Anfangswerthe g-J, q 2 , ... q u und p lt p%, . . . p M ein. Ferner 
setze man in H 

8V 
^ = : ^- 

-Zt 

so ist 



eine partielle Differ entialgleichung erster Ordnung, welche V als Function der 
Variablen t, q l} q 2 , ... q^ definirt. Nun bilde man das Integral 



( 
J t 



wo T-i-U vermoge der Integralgleichungen eine blosse Function von t und den 
2 /LI Constanten g$, q 2 , ... $J> j^ij \Ps> - Pf* ^> un ^ drilcke das Resultat der 
Quadratur durch t, q l , <? 2 j ?^ un d qi, ql, ... q^ aus; dann ist der so dar- 
gestellte Werth des Integrals 

V= 



eine Losung der partiellen Differ entialgleichung 



Tritt an die Stelle von T-\- U eine beliebige Function (p der Grossen 
q^ ql und t, so mussen zugleich an die Stelle der Differentialgleichungen der 
Bewegung diejenigen gesetzt werden, welche den unter dem Integralzeichen 

stehenden Theil der Variation d\(fdt verschwinden lassen. Um die Analogic 

vollstandig zu mache n, muss man diese Diiferentialgleichungen auf dieselbe Form 
bringen, welche die Differentialgleichungen der Bewegung durch Hamilton er- 



149 

halten haben, und zwar indem man auch hier die Differentialquotienten q[ durch 
die Grossen p t = -~- ersetzt, die Function y = p i q i (f einfuhrt und dann 

ahnlich wie in der neunten Vorlesung verfahrt. Bildet man von der Function 

y die Variation 

Sip = Zgldp^ZpM-dy 

und substituirt hierin filr d(p seinen Werth 



der, wenn man die Wahl der unabhangigen Variable unentschieden lasst, auch 
ein dt proportionales Glied enthalt, so ergiebt sich 



Vergleicht man diesen Ausdruck von dy mit demjenigen, welchen man 
erhalt, wenn y als Function der Grossen q i} p t und t dargestellt wird, also 
mit dem Ausdruck 



in welchem die unter der letzteren Annahme gebildeten partiellen Differential 
quotienten zur Unterscheidung in Klammern eingeschlossen sind, so folgt aus 



der Vergleichung 



- 

\dp.) dq. \Bq.r dt 

Durch die zweite dieser drei Gleichungen verwandeln sich die Differential- 
gleichungen 

d d<f 

(.1 ^\ i 



dt dq t 

die erfullt sein miissen, damit der unter dem Integralzeichen-stehende Theil der 
Variation $\(fdt verschwinde, in 



dt \ dq. r 



wahrend die erste der drei Gleichungen mit 



dt 



150 

identisch 1st. Die Differentialgleichungen aller isoperimetrischen Probleme, in 
denen sich nur erste Differentialquotienten unter dem gegebenen Integrals be- 
finden, nehmen also die Form 



d 2i (By \ 
dt \dp.) 



\ 



dt \dp. dt \ 

an, und die Integration derselben liefert stets eine Losung der partiellen Diffe- 
rentialgleichung erster Ordnung 

dV 

~dT" h ^ 

Unter Fortlassung der jetzt nicht mehr zur Unterscheidung nothigen 
Klammern um die Differentialquotienten ( ^ ), ( I kann das fur den allge- 

meinen Fall gewonnene Eesultat so ausgesprochen werden: 

Es sei (f irgend eine gegebene Function von t, g u q 2 , ... q^ und q(, 
q 2 , ... q ^, man fuhre fur die Differentialquotienten q[ neue Variable 

dtp 

<n - 

p - ~sf 

ein, seize 

y^Zp.ql y 

und driicke die Function y durch die Variablen p t , q f und t aus: dann sind 
die Gleichungen 

dg t dip dp. dip 

dt dp. dt dq. 

die Differentialgleichungen, welche erfullt sein mussen, damit der unter dem Integral- 
zeichen stehende Theil der Variation d \tpdt verschwinde. Man bezeichne ferner die 
Werthe der 2/u, Variablen fiir die unter e Integralgrenze r mit q, ql, ... q^, 
p, pi, - pp und fuhre diese Grossen statt der willkurlichen Constanten in die In- 
tegralgleichungen des Systems ein. Endlich seize man 

&V 

/VJ ----- _ 

Pi ~ % 

dann ist * 



eine partielle Differ entialgleichung erster Ordnung, welche V als Function der 
Variablen t, q ly q 2) ... q^ definirt. Bildet man nun das Integral 

t 

(pdt, 



f 

J T 



151 

wo w vermoqe der Inteqralqleichunqen erne blosse Function von t und den 2ti 

j t/ */ t/ t/ 

Constanten q, q 2 , ... q^, p, p 2 , . . . p^ ist, und druckt das Resultat der Quadratur 
als Function von t, q l} q 2 , ... q^ und q, q 2 , ... g aus: so ist der so darge- 
stellte Werth des Integrals 

V= ftfdt 

* T 

eine Losung der partiellen Differ entialgleichung 

^ + ,=o. ; . 

Der in Gleichung (5.) enthaltene Zusammenhang der Functionen cp und ^ 
stellt eine Art von Reciprocitat zwischen denselben her. Setzt man namlich 






wo 



ist, und (p als Function der q f , q t und t angesehen wird, so ist gleichzeitig 



vorausgesetzt dass \fj als Function der q t , p t und t angesehen wird; daher hat 
man auch 



in welcher Gleichung an Stelle der p { die Grossen q t vermittelst der Gleichungen 



* 

einzufuhren sind. Man kann also durch Gleichung (7.) zu jeder gegebenen 
Function y von t und von den Grossen q t und p t eine zugeordnete Function 
w von t und von den Grossen q { und q t finden; demnach stellt die Gleichung 

3 y 

-_f-^/=rO die allgemeinste partielle Differentialgleichung erster Ordnung dar, 

or 

welche V als Function von t, q^ q 2 , ... q^ definirt, V selbst nicht enthalt und 
nach ^ aufgelost ist. Es liegt hierin ein merkwiirdiger Zusammenhang zweier 

C/6 

weit aus einander liegenden Probleme, der isoperimetrischen der betrachteten 
Art und der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. 
Dieser Zusammenhang lasst sich auf die tibrigen isoperimetrischen Probleme, in 



152 

welchen sich hohere als die ersten Differentialquotienton unter dem Integrale 

befmden, ausdehnen. 

dV 
Die gefundene Losung der partiellen Differentialgleichung -+- y = 

enthalt, wie wir gesehen haben, die p willkiirlichen Constanten <^, q 2 , ... q^, 
und da in yj die Grosse V selbst nicht vorkommt, so kann man zu dieser Losung 
F noch eine willkiirliche Constante addiren und hat dann eine Losung mit 
fi-^l willkiirlichen Constanten. Die Losung V ist daher das, was man eine 
vollstandige Losung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung nennt; 
denn eine solche muss so viele von einander unabhangige Constanten enthalten, 
als von einander unabhangige Variable in der Differentialgleichung vorkommen. 
Sowie nun die Integration der betrachteten isoperimetrischen oder Be- 
wegungsgleichungen diese vollstandige Losung der partiellen Differentialgleichung 

dV 
-- (-1^ = liefert, so kann man umgekehrt aus der als bekannt vorausge- 

setzten vollstandigen Losung die Integralgleichungen der betrachteten isoperi 
metrischen oder mechanischen Differentialgleichungen bilden, und zwar sind die- 
selben in den bereits oben (Seite 146) gegebenen Gleichungen 



dV 

dq. ~~ Pi Qq . ~ Pi 

enthalten, welche auch im Fall der in Rede stehenden isoperimetrischen Pro- 
bleme gelten. Wir haben also die Integralgleichungen unter derselben Form dar- 
gest.ellt, wie fraher die Differentialgleichungen, namlich vermittelst der partiellen 
Differentialquotienten einer Function V. Dies ist die Erfindung Hamilton^, 
welcher die Function V mit dem Namen the principal function belegt. Das 

dV 
zweite in (4.) enthaltene System von Gleichungen ~ = p% giebt die wahren 

J-i 

dV 
Integralgleichungen, das erste System -^ =_p f giebt die Grossen p t oder q[ 

in t und q { mit [i Constanten q]; dies ist das System der ersten Integral 
gleichungen, aber es ist von grosser Wichtigkeit, dass auch diese durch die 
partiellen Differentialquotienten von V dargestellt werden konnen. Wie wir 
spater zeigen werden, brauchen die ja in V enthaltenen Constanten nicht die 

Anfangswerthe q zu sein, sondern wenn man nur iiberhaupt eine vollstandige 

8V 
Losung V der partiellen Differentialgleichung ~ -+- ty = mit irgend welchen 

Constanten kennt, so lassen sich immer die Integralgleichungen durch die partiellen 



153 

Differentialquotienten dieser Losung nach den in ihr enthaltenen Constanten 
darstellen. 

Hamilton, der seine Erfindung in zwei Abhandlungen in den philosophical 
Transactions*) dargestellt hat, definirt V nicht bloss durch die eine partielle 

p. TT 

Differential gleichung ^ -- \-y = Q, sondern er stellt zugleich noch eine zweite 
partielle Differentialgleichung auf, welcher F ebenfalls genugen soil. Diese 
kann man aber fortlasseri, weil sie sich aas der schon aafgestellten herleiten 
lasst and weil ihre Hinzufugung nur der Untersuchung ihre Einfachheit nimmt. 
Denn die Frage der Bestimmung einer Function durch zwei simultane partielle 
Differentialgleichungen kann bei den jetzigen Mitteln der Analysis im Allge- 
meinen nicht beantwortet werden. 

Um diese zweite partielle Differentialgleichung aus der schon gefun- 
/-) v 
denen -~ -- \-ifj = herzuleiten, brauchen wir folgenden leicht zu beweisen- 

den Satz : 

Es sei ein. System von n gewohnliehen Differentialgleichung en zwischen 
den n-\-\ Variablen t, x^ x 2 , . . . x n vorgelegt, die dem Anfangswerthe r von 
t entsprechenden Werthe der ubrigen Variablen seien #?, x 2 , . . . x", nnd man 
habe dem System der vorgelegfen Differentiahjleichnngen durch das System der 
I) ? tegra Igle ic/i 1 1 ugen 



genilgt. Dann erhdlt man durch Vertauschung der Variablen t, x lt x 2 , ... x n mit 
ihr en Anfangswerthen r, x ( l, x%, ... x^ ein gleichbedeutendes System von Integra i- 
gleichungen, so dass man das la stige Geschdft der Elimination ganz ersparen und 
die Integralgkichungen nach den iviUkurlichen Constanten aufgelost ohne weiterc 
Rechnung folgendermassen darstellen kann: 

X^ = jfj (T } Cj t^j, tCj, . . . X n ), 

x^ = / 2 (T, t, x^ , i^ 2 , ... < re/ ), 

t^rt - / n\T ) *) ^ p ^-j5 &*) 

Der Beweis dieses Satzes ist folgender: Genilgt dem gegebenen System von 



*) 1834. P. II., und 1835. P. I. 
Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 20 



154 

Differentialgleichungen das System der Integralgleichungen 

(6 .) 



so folgt hieraus fiir die Anfangswerthe dasselbe System von Grleichungen, 
namlich 



(D.) 



Das System (A) muss aus (C.) und (/).) durch Elimination von a l} 2 > Ci n 
hervorgehen. Aber die Systeme (C.) und (/).) gehen in einander ilber, wenn 
man t mit r und zugleich x^ mit #J, # 2 mit x 2 , ... # w mit #j( vertauscht; folglich 
muss man in (A) eben diese Vertauschung vornehmen konnen, und das aus 
derselben sich ergebende System (5.) muss mit (A) gleichbedeutend sein. 

Aus diesem Satze lasst sich eine bemerkenswerthe Folgerung ziehen. 
Die Grleichungen (B.) sind Integrate, d. h. solche Integralgleichungen, die, wenn 
man sie differentiirt und die Differentialgleichungen zu Hillfe nimrnt, ein identisch 
verschwindendes Resultat geben. Jede der Gleichungen (A.} hingegen enthalt 

O O \ / o O 

n Constanten, von denen keine uberflussig (supervacanea) ist*). Daher erhalt 
man, wenn man eine derselben, z. B. Xi fi(t,t,3%,3%,..-0%)j differentiirt, die 
Differentialgleichungen zu Htilfe nimmt und diese Operation fortsetzt, nach und 
nach alle Integralgleichungen. Einen solchen Nutzen kann man im Allgemeinen 
aus der Kenntniss eines Integrals, Const. = F(i, r,x 1 ,x 2 , ... x n ), wo T einen be- 
sonderen Werth von t bedeutet, nicht ziehen. Ereignet sich aber der Fall, 
class die Constante gerade der dem Werthe r*von t entsprechende Werth der 
einen Variable, x^ z. B., ist, so kann man aus dem einen Integral mit nur 
einer Constante alle Integralgleichungen herleiten. Dieser Fall tritt ein, sobald 
sich fiir tx die Function F(t, T, #i,# 2 ? ^) au ^ x i reclucirt; alsdann kann 
man nach obigem Satz die Variablen mit ihren Anfangswerthen vertauschen 
und erhalt daher aus dem einen Integral 

Pnnct Jfff T v> v T \ 

v^UULO u. J- 16, v* w*j iOny ^n) 



*) Siehe die Abhandhmg ,,dilucidationes de aequatt. diff. vulg. systenmtis", Crelles Journal, Bd. 23. 



155 

die Integralgleichung 

x l == f (T } , <# 15 < 2 , ... x n ), 

aus welcher sich durch successive Differentiation alle iibrigen herleiten lassen. 

Wir wollen nun sehen, was bei der Vertauschung der Variablen mit 
ihren Anfangswerthen aus F wird. Die betrachteten isoperimetrischen oder dy- 
namischen Differentialgleichungen seien durch das System 

q l = X l (*, ,,... 2u ), p, = ro t (t, a, , 2 , . . . a 2 _ M ), 
f h = /2 (*> i j a> ft 2,J? #. = 3 2 (, a, , 8 , . . . 2 ) 

3,1 = X^ (^ i , 8 , . . . 2 J, ^ = ra w (f, a, ,,,... 2w ) 
integrirt. Man hat dann zugleich, indem man fur t den Anfangswerth T setzt, 

2? = /, (^ i, 8 . <V>, Pi = ro i (^> ,, 2 , 2 J> 
2 = X 2 0? n a 2 ) ^2 = 8 (^ a,, 2 , . . . 2 J, 



In dem Interal 






= /" 



ist (f eine Function von , q lt q 2 , ... (/, jj 1? p. 2 , ... ^ /<? also, nach Einsetzung 
der Werthe von q { , . . . q^, p, P^ aus den Integralgleichungen, eine blosse 
Function von t, , ... . Man kann demnach 



setzen und erhalt 

F= J yrf< = 

r 

Die auf diese Weise bestimmte Grosse V wird eine vollstandige Losung der 
partiellen Differentialgleichung -^ -t--^ = 0, wenn vermoge der obigen 2 ( u Glei- 
chungen fur q lt q 2 , ... q^, ql, ql, ... </J, die Constanten 1? 2 , ... 2 ^ elhninirt 
worden sind. Aber von diesen 2/u Gleichungen geht die eine Halfte in die 
andere tiber, wenn man t mit T und die Grossen q t mit den Grossen q" ver- 
tauscht. Daher muss jede der Grossen ,, 2 ? W 2 /U als Function von t, q { , 
q 2 , ... q u , r, ^i, q 2 , ... ^J, ausgedrilckt von der Beschaffenheit sein, dass sie 
ungeilndert bleibt, wenn t mit r, q^ mit ^, ^ 2 m it ?2> 3// ^^ 2ji vertauscht 

20* 



156 
wird. Beriicksichtigt man dies, so erhellt, dass durch diese V.ertauschung 



in 

0>(r, a,, a 2 , . .. %) <!>(*, a,, 2 , . 2 J 

d. h. in - - V tibergeht. 

Bei allem Bisherigen haben wir keine besondere Hypothese fiber die 
Differentialgleichungen gemacht. Jetzt mussen wir, um den von Hamilton be- 
trachteten Fall zu erhalten, annehmen, dass in cp die Variable t nicht explicite 
vorkommt. Dies findet in der Mechanik statt, wenn die Zeit t nicht in der 
Kraftefunction U und demzufolge auch nicht in i// = H= T U enthalten ist. 
Dann tritt in die Differentialgleichungen der Bewegung 

dip dip dip d(l) dW 

dt : dq. : dq., : ...: da : dp : . . . : dp u = 1 : n : ~ : . . . : ... : -- ^ : . . . : -- 5 - L - 
* 0^1 d l } 2 Pu 5?i ^^u 

nur das Differential der Grosse if ein; durch Fortlassung von dt und 1 eliminirt 
man die Zeit ganz, driickt nach Integration des iibrig bleibenden Systems alle 
Variablen durch eine, z. B. q^ aus und bestimmt cliese letztere als Function der 
Zeit, indem man die aus der Differentialformel 

dt- -^L. 



durch Quadratur hervorgehende Gleichung 

* dq, 



tT = 



nach ^! auflost. So erhalt man q v als Function von t T, und da die iibrigen 
Variablen bereits als Functionen von </, ausgedrtickt sind, so hangen sammtliche 
Variablen nur von der Differenz t r, ab. Dies gilt auch von der Function F, 
welche ebenfalls die beiden Grossen t und T nur in der Verbindung 6 = t T 
enthillt, und man hat daher 

dv _ dv _ sv 

dt dr 66 

AVerden nun die Grossen t, q l9 q 2 , ... q u mit ihren Anfangswerthen T, q%, q%, 

8V 
. . . cfr vertauscht, so geht F in - - F, 6 in -0 tiber, und ^- bleibt unver- 

andert. Bezeichnet ferner y den Werth, in welchen y libergeht, wenn die 
Grossen q { und p t = -^ mit den Grossen q$ und 7; = ^-^ vertauscht werden, 



so geht die Gleichung 



n 



157 



dV 8V 



fiber. Dies ist die zweite Hamiltonsche partielle Differentialgleichung, von der 
wir also nachgewiesen haben, dass sie aus der zuerst atifgestellten clurch Ver- 
tauschung der Variablen mit ihren Anfangswerthen abgeleitet werden kann. 



Zwanzigste Vorlesung. 

Xachweis, dass die aus einer ^ 7 ollstandigen Losung der Ilamiltonschen partiellen Differential 
gleichung abgeleiteten Integralgleichungen dem Systeme gewohnlicher Differential- 
gleichungen wirklich geniigen. Die Hamiltonsche Gleichung fiir den Fall 

der freien Bewegung. 

Wir wollen jetzt den umgekehrteri Weg einschlagen und nachweisen, 
wie man, von der betrachteten partiellen Differentialgleichung ausgehend, zti 
den dynamischen oder isoperimetrischen Differentialgleichungen gelarigen kann. 

Es sei 



tine beliebige partielle Differentialgleichung erster Ordnung, welche V selbst nicht 
enthdlt, so dass y irgend eine Function der Grossen t, q l , q 2 , ... q^, p : , p 2 , . . . p^ 

r5 V 

tst, wo p t = -3 ; man kenne eine vollstdndige Losung V der partiellen Diffe 
rentialgleichung (1.), d. h. eine Losung, welche ausser der mit V (lurch Addition 
rerbundenen noch ^ willkurliche Constanten a 1} ct 2 , ... ce ft enthalt. Setzt man nun 



da, Pl da, da u ^." 

tco ./?!, /? 2 , . . . /^ neue willkurliche Constanten bedeuten, so sind diese Gleichungen, 
verbunden mit den Gleichungen 



dV dV dV 

~rZ P, 5 ~-, P 5 ... 7^ - p 

*-Jyv XI rJs* ff ,-Jy^ * 



/" 



158 

die Integralgleichunyen des Systems von Differentialgleichung en 

d 1i di dp. dl 



dt dp. dt dq { 

wo i die Werthe 1, 2, ... ^ annimmt. 

Bei dem Beweise dieses Satzes haben wir zu berucksichtigen, dass, 
wenn die als bekannt vorausgesetzte vollstandige Losung fur F in die partielle 
Differentialgleichung (I.) eingesetzt wird, die linke Seite derselben eine identisch 
verschwindende Function der Grossen t, q l} q 2 , ... q^, 15 a 2 , ... ce^ werden 
muss, und dass demnach ihr nach einer dieser Grossen genommener partieller 
Differentialquotient ebenfalls identisch verschwindet. 

Um die erste Halfte der Differentialgleichungen(3.) aus den Gleichungen (2.) 
herzuleiten, verfahren wir folgendermassen. Indem wir die Gleichungen (2.) 
nach t vollstandig differentiiren, erhalten wir das System von Gleichungen 

a 2 F a 2 F do a 2 F do a 2 F dq 

I -*li J. 2 i i f* 



(4.) 



= 
= 



dt da^ dq 2 dt 
dq, a 2 F dq 2 



= 



dt da 2 dq% dt da^dq 

dq, a 2 F dq, a 2 F 



da dt da dq. dt da dq n dt da dq dt 

/U fJ J /H J-t fj Zu 

dq 1 dt 



Es wtirde nun darauf ankommen, diese in Beziehune; auf 

dt dt - dt 

linearen Gleichuno;en aufzulosen und zu zeigen. dass die aus der Auflosuno- 

O o ? o 

hervorgehenden Werthe mit den Grossen rJ , , . . . --^ identisch sind. 

dp 1 op 2 dp 

Aber. diese Identitat wird sich auch ohne Auflosung der Gleichungen er- 

i, wenn man nachweist dass die Grossen ^ und die Grossen ^J dem- 

dt dp. 

selben System linearer Gleichungen geniigen. Zu diesem Nachweis miissen wir 

o T T- 

die partielle Differentialgleichung ^ h^ = nach den Constanten a^ a 2 , ... et u 



^ 
dt 

partiell differentiiren und hierbei bedenken, dass von den Grossen t, q t und 

r\ -TT 

1^ = -^ 5 deren Function ip ist, nur die letzteren, also p i} die Constanten 
u 2 , ... enthalten. Die Differentiation nach e^ ergiebt 



dtda. dp l da i dp? da i dp t da i 



159 

8V dV dV dp k d*V 

und da p, -3 , p 2 = -5 , ... p u = -R , also -5 = -~ ~ , so erhalt man 
do. l dq.-, J ^ dq da. da. der, 

21 22 :LJU i i 2Jc 

aus dieser Gleichung fur fc= 1, 2, ... /LI ein System von linearen Gleichungen, 
welches sich von dem System (4.) nur dadurch unterscheidet, dass die Grossen -~- 

an die Stelle der ^-. getreten sind. Hieraus schliessen wir ~= ^ (siehe 

dt dt dp. ^ 

die Bemerkung auf der folgenden Seite). 

Zur Ableitung der zweiten Halfte der Differentialgleichungen (3.), also 

der Gleichungen / = -, nehmen wir die zweite Halfte der Integral- 

dt dq. 

gleichungen zu Hiilfe, d. h. die Gleichungen 

dV _ 

welche das System der ersten Integralgleichungen bilden, indem sie Relationen 
zwischen den Grossen q L und q { mit ,u willkurlichen Constanten darstellen. Die 

n T 7- 

Gleichune; p, = ~ ffiebt, nach t vollstandio; difFerentiirt. 
Bq i 

* i -/li * 2 _i__ _ _ J__ . 



, dt ~ dq.dt dq.8q 1 dt ^q^q^ dt dqfiq dt 

<9 2 F 5 2 F 5 2 F dv dn dp 

^-NT"l {* \J W \-/ W \J V , L/l^. \_/ [Sn / / 

Schreiben wir fur -^ ^ , -^-^ , ^ a - respective ^- L , ^^? ^^ 

a ( /.5^ dq.dq, dq.dq^ dq. dq t oq. 

und benutzen die schon efundenen Gleichunen - - 



dt 



v,. 
so ergiebt sich 






______ 

dt ~ dq t dt dq t dp, dq. 8p 2 dq. 



rj 77" 

Indem wir andererseits die Gleichung Q- t- y = partiell nach q { difFeren- 
tiiren, finden wir: 

0= d di 





_____ 

dq. dt ~ dp, 8q { 8ps dq. Qp^ dq, dq. 

und diese Gleichung von (5.) abgezogen filhrt zu dem Ergebniss 

dpi dip 

dt dq i 



160 

Hiermit ist auch die zweite Halfte der Differentialgleichungen (3.) hergeleitet, 
also der- oben aufgestellte Satz vollstandig bewiesen. Es ist wichtig, dass nach 
dem erhaltenen Ergebniss die in F enthaltenen /u Constanten willkiirlich gewahlt 
werden konnen and nicht die Anfangswerthe q", ql, :. . ql zu sein brauchen: 
denn zur Einfiihrung der Anfangswerthe hat man Gleichungen aufzulosen oder 
Eliminationen zu bewerkstelligen , in den meisten Fallen also lastige Operationen 
auszufiihren, die jetzt vermieden werden konnen. 

Em Punkt des vorstehenden Beweises verdient eine nahere Erorterung. 

Indem wir sahen, dass die fur die Grossen 7^- aufgestellten Gleichungen (4.) 

auch fiir die Grossen -~- gelten, schlossen wir hieraus, dass die Grossen 

dp. 

F- und -r~- einander ffleich sind. Zu diesem Schlusse sind wir aber nur 
dt dp i 

dann berechtigt, wenn die Grossen ^- durch das System linearer Gleichun- 

gen (4.) endliche und vollstandig bestimmte Werthe erhalten. Dies findet nun 
bei einem System linearer Gleichurigen immer statt, sobald die Grleichungen 
sich nicht widersprechen, oder sobald nicht eine oder mehrere eine Folge der 
tibrio-en sind. Im ersten dieser Falle werden die Werthe der Variable!) un- 

o 

endlich, im zweiten Falle unbesthnmt: beide unterscheiden sich nur durch die 
Werthe der ganz constanten Terme, denn gesetzt, die letzte Gleichung eines 
Systems folge aus den ftbrigen, so mtissen diese mit gehorigen Coefficienten 
multiplicirt und addirt die letzte geben. Aendert man nun in der letzten Glei 
chung den ganz constanten Term um eine beliebige Grosse, so folgt sie nicht 
mehr aus den tibrigen, sondern widerspricht ihnen. Beide Falle kommeri also 
darin uberein, dass, wenn man die ganz constanten Terme auf die linke Seite 
schalft, die rechte Seite der einen Gleichung. etwa der letzten. sich als die 
Sumine der rechten Seiten der mit gehorigen Factoren multiplicirten iibrigen 
Grleichungen darstellen lassen muss. Indem man fiir die in der letzten Hori- 
zontalreihe stehenden Coefficienten die hieraus hervorgehende Darstellung ver- 
moge der iibrigen einsetzt, zerfallt die Determinante R der in Rede stehenden 
Gleichungeh in eine Summe von Determinanten , deren jede zwei zusaimneu- 
fallende Horizontalreihen besitzt, also verschwindet. Es wird daher auch B=0, 
und der Ausnahmefall , in welchem der obige Beweis ungiiltig wird, tritt also 
(insofern die Coefficienten der linearen Gleichungen endlich bleiben, was wir 



161 

immer annehmen) nur dann ein, wenn die Determinante der linearen Grleichungen 
verschwindet. Die Coefficient en der linearen Gleichungen (4.) sind 



da, dq 1 da, dq, da, dq u 



da. 2 dq u 



folglich kann man ihre Determinante auf die nachstehende doppelte Weise, 
Q dV_ e dV d dV 

dq, dq 2 dq u da, 8a, da ft 

als Functionaldeterminante darstellen. Aus dieser doppelten Darstellung von R 
folgt beilaufig ein allgemeiner Satz iiber Functionen von 2^ Variablen </,, q 2 , ... q u , 
ce 1 , ce 2j ... a^. Ware nun 7? = 0, so waren nach No. 5 der dreizehnten 

Vorlesuno; (p. 102) die Grossen -* . - , . . . -r- als Functionen von 

da : da 2 da u 

#15 ?25 ? betrachtet, nicht unabhangig von einander, d. h. es musste 



sv r . 

zwischen -^ , -3 . . . . ^5 , 15 2 . ... , e eine brleienune existiren, welche 

dOj <5a 2 da^ 

?u #2? ^^ nicht enthielte. Aus der zweiten Darstellung von R folgt. dass 

8V 3V 3V 

dann zugleicn zwischen -^ , -^ , . . . -^ , q 19 q. 2 , ... ^, t eine Gleichung 






existiren musste, welche 15 2 , ... M nicht enthielte. Man hatte also eine 

8V BV 3 



Gleichung der Form 



d. h. eine partielle Diiferentialgleichung erster Ordnung, welcher die voraus- 

j^ y* 

gesetzte Losung V genugen musste, und welche ~ 



j^ y* 

gesetzte Losung V genugen musste, und welche ~ nicht enthalt. Dies ist 



dV 
aber umnoglich, wenn V wirklich eine vollstdndiye Losung von -^ -- h^ = 

sein soil. Damit namlich 

V=f(t> ?i. ^a. V a " tt2 a P +6< 

dein Begriff einer vottstdndigen Losung genuge, ist es nothwendig, dass man 
zur Elimination der ^-f-1 Constanten cc l} a.,, ... a u , C alle ju-\-l DifFerential- 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dyuainik). 21 



162 

quotienten 

BV 8f BV Bf 8V Bf dV 6f 

(b.) 



dt dt 8q 1 8q l Bq 2 8q 2 dq u dq 

brauche. Kann man, auch ohne die Gleichung , = anzuwenden, alle 

at at 

ju-+-l Constanten eliminiren, so dass man auf eine Gleichung der Form 

BV 8V dV 



( 
v\t> </,, ? 

kommt, und nehmen wir an, bei der Elimination der Constanten konne man 

^3 T/" ZS-f 

von den Gleichungen (6.) nicht mehr als die eine -~ = J missen, wahrend 

dV df 

iede der iibrigen Gleichungen -5 = J dabei erfordert werde , so muss es 

oq t oq. 

moglich sein, einer der Constanten a l , cc 2) ... a einen besonderen Werth 

O -T7- ./* 

beizalegen , ohne dass eine der Gleichungen = = ,/ zur Elimination der 

dVi ^ 
Constanten erforderlich za sein aufhort. Denn zwischen ^ Gleichungen kann 

man im Allgemeinen nur ^ 1 Grossen eliminiren. Die Constante, der man 
den besonderen Werth beilegte, ist daher iiberfliissig (supervacanea), und die 
Function f ist so anzusehen, als enthielte sie nur p 1 Constanten. Daher ist 

V = /-h C nicht eine vollstdndige Losung der partiellen Differentialgleichung 

dV 
-^4-1/^ = 0, sondern nur der Gleichung F = 0, was unserer Voraussetzung 

Uu 

widerspricht. Die Determinante R kann also nie Null werden, mithin ist der 
Schluss, den wir bei dem Beweise der Gleichungen (3.) machten, gultig. 

Wir wollen zum Schluss dieser Vorlesung die partielle Differentialglei 
chung 3 h^ = ftir die freie Bewegung von n materiellen Punkten wirklich 

aufstellen. In diesem Fall ist y = T U, fiir die Grossen q sind die 3n Coor- 
dinaten x i} y t , z,- zu setzen, und da T = ^m ; (x\--iry ?-\-zf) ist, so folgt aus 

dT 
den Gleichungen p { = -^-p , dass an die Stelle der Grossen p hier die Grossen 

(9 V 
m^l, w,-?/!-, m,-^ treten. Da gleichzeitig p = ~ zu setzen ist, so hat man 

die Gleichungen 

dV ,_ dV ,_ dV 

"*"" "a^T m > lJi ~ ~W W " !B BZ. 
i >j i i 

oder 

1 8V 1 8V 1 <9F 





01, n 5 //; "i 5 *"; 1 

m. ax. m. ail. in. az. 



163 

Die Substitution dieser Werthe in T giebt 

dV 



m. 



und da U eine blosse Function der Zeit und der Grossen q d. h. der Coor- 
dinaten #,-, y it und z f ist, so hat man 



Dies ist die partielle Differentialgleichung erster Ordnung, von deren Losung 
die Integration der Differentialgleichungen der Bewegung in dem Fall abhangt, 
wo die Bewegung ganz frei ist, und wo eine Kraftefunction U existirt. welch e 

O o ~ 

ausser den Coordinaten auch die Zeit t explicite enthalten darf. Hat man eine 
vollstandige Losung der Grleichung (7.) d. h. einen Werth von V, der ausser 
der zu V hinzuzufugenden Constants 3n Constanten 15 2 , ^ n enthalt, so 
sind die fiir z = 1, 2, ... 3n geltenden Grleichungen 

dV 
~d^7 : ~ * 

die Integralgleichungen der ftir i = = 1, 2, ... n geltenden Differentialgleichungen 
der Bewegung 

d? z i dU 



deren erste Integralgleichungen in dem System 

dV dx ; QV dy. BV 



m.- 



das. < dt dy. " dt dz. < dt 

enthalten sind. 



Einundzwanzigste Vorlesung. 

Uutersuchung des Falles, wo t nicht explicite vorkommt. 

Eine besondere Betrachtung erfordert der schon oben hervorgehobene 
Fall, in welchem t in j/; nicht vorkommt. In diesem Fall kann die partielle 

Differentialgleichuno- h w = auf eine andere, welche eine Variable 

dt 

weniger enthalt, zuruckgefiihrt werden. Dies beruht auf einer sehr merk- 
wiirdigen Transformation der partiellen Differentialgleichungen, durch welche 

21* 



164 

die eine der unabhangigen Variablen und der nach derselben genommene par- 
tielle Differentialquotient ihre Rollen vertauschen. 

Es werde z als Function der n Variablen x { , x 2 , ... x n angesehen, so 
dass, wenn p ly J9 2 , ... p n die nach x l , x 2 , ... x n genommenen partiellen 
Differentialquotienten von z bedeuten, 

(1.) dz = Pl d^-i- p2 d^ ----- t-Pn^n 

ist. Indem man das Glied p l dx l auf die linke Seite schafft und uberdies x l dp l 
auf beiden Seiten abzieht, verwandelt sich die Grleichung (1.) in 

d(zp l x l ^) = 
also, wenn wir 

(2.) 
setzen, in 

dy = a! i d 

Daher hat man, wenn y = z p l x l als Function von p l} x,,, x. A , ... x n an 
gesehen wird, 

dy dy dy dy 

<J - _ rp <J - Y) " - V) " - rf\ 

dp, n das. ^ 2 dx. ^ 3 dx Pn 

L 1 * ** n 

Genilgt nun z der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung 

-.-,( dz dz dz \ 

= Ffo, a , ... x n , Pl , p,, ... p^ == F^ lf 8 , . . . x n , -^ , -^ , . . . -g J , 

und fiihrt man anstatt z die neue Variable y = z piX^ anstatt x^ die neue 
Variable - ~ ein, so verwandelt sich die partielle Differentialgleichung (3.) in 

dy dy dy dy 

~ "" 



Diese Transformation, welche sich im dritten Bande von Eulers Integralrech- 
nung findet, ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn x^ in (3.) nicht vor- 

kommt: denn alsdann kommt gleichzeitiff ^ in (4.) nicht vor, und es kann 

o Pl 

daher p l bei der Integration als Constante angesehen werden. Wenden wir 
dies auf die Gleichung 

dv ( dv dv dv\ 

-+"" q " " ~" ~ = 



an. Da in ty kein t vorkommt, so tritt in den oben gegebenen Formeln t an 
die Stelle von x^ Fiir t ist jetzt eine neue unabhangige Variable . 

dV 

n - 
dt 



165 
fur V eine neue abhangige Variable 



W= Vt- = Vta 

dt 

einzufuhren, so dass 

dW 
da 
wird, und 

dV _ dW 8V dW_ dV 6W 

fr % 5 ?2 ? 2 ^ " " d( lu 

Wir konnen die Formeln fur diese Transformation auch beweisen, ohne 
die Differentialgleichung 

8V 
dV--=p l dft-hft dq,-i ----- \-p u d( lfj -{ -- - dt 



zu -benutzen. In der That, V ist eine Function von t, q l , q 2 , ... q u und von 
den willktirlichen Constanten lr 2 , .... Setzen wir nun 



und fiihren in W fur t eine neue Variable a vermittelst der Gleichung 

ein, so wird t eine Function von a und von den ausser t in V vorkommenden 

Grossen, und 

W= Vta 

wird eine Function von a, q l . </ 2 , ... q u und von den Constanten 15 2 , 
Unter Beriicksichtigung der verschiedenen Bedeutung der Differentiationen fur 
die Functionen V und W hat man daher 

d W _ d V dt dt 

da dt da da 

d W dV dV dt dt dV 



dq. dq. dt dq. dq. dq. 

dw sv dv dt dt dv 



a 



da. da. dt da. da. da. 

11 tit 

Wenn also nach unserer Annahme in der Function y der Gleichung (5.) 
die Zeit t nicht explicite vorkommt, so fi ihrt man durch die Gleichungen 

BV dV 

^~ = Vt-xT = W 

dt dt 

fur t und V die neuen Variablen a und W ein und transformirt hierdurch (5.) in 



166 
BW 6W 6W\ 

*--.-^-8i- -fe"""^r/ 

8 V 
Nach Integration dieser Gleichung findet man F aus der Gleichung V t~ = W, 



welche, nachdem =7- = a, = -- ~ darin substituirt worden 1st, in 



- 

da 

ubero-eht. In F muss iiberdies statt a wiederum t eingefuhrt werden und zwar 

o 

vermittelst der Gleichung 

dW 

~da~ 
welclie nach a aufzulosen ist. 

Es scheint auf den ersten Anblick, als wenn auf diesem Wege aus einer 
vollstandigen L6sung W der Gleichung (6.) noch keine vollstandige Losung F 
der Gleichung (5.) folgte. Da in W die Anzahl der Constanten /u betragt, so 
miissen in der abgeleiteten Losung F daher ebenfalls /u Constanten vorkommen. 
Soil F aber eine vollstandige Losung sein, so muss sie JLI-\-\ Constanten ent- 
halten. Diese fehlende Constante kann man indessen leicht hineinbringen. Da 

<9 V 
namlich t selbst in Gleichung (5.) nicht vorkommt, sondern nur , so wird 

eine Losung F der Gleichung (5.) nicht aufhoren eine solche zu sein, wenn 
man t um eine willktirliche Constante vermehrt oder vermindert, also t T an 
Stelle von t setzt. Dadurch verwandelt sich die zwischen F und W bestehende 

dV 
Transformationsformel TF= F t ~ in 

dt 

W=V-(t-r}^- =V-a(t-r), 

d W 

und t wird nicht mehr durch die Gleichung -^ = t, sondern durch die 

da 

Gleichung 

8W 

- - T - t 

da 

eingefiihrt. Alsdann enthalt F die genugende Anzahl ( w-hi von Constanten, 
namlich die t u 1 Constanten , , o? 2 . ... a tt _ 15 welche ausser der additiv zu 
W hinzuzufiigenden in W vorkommen, die additive Constante selbst und die 
mit t verbundene Constante r. Die Integralgleichungen der isoperimetrischen 
Differentialgleichungen sind daher 



167 

dV dV 8V dV 



= Const. 



da, Pl d 2 ^ a u -\ "~ 1 ^ T 

Da T nur in der Verbindung r vorkommt, so ist 

5F _dF\ 

dr 5 

also kann die letzte der t a Integralgleichungen durch 

dV 

- = Const, 
dt 

dV 
ersetzt werden. Hieraus geht hervor, dass die Gleichung -^ = ce, mittelst 

deren wir a fiir t einfiihrten, ein Integral ist, und dass a als Constante be- 
trachtet werden muss. 

r) V 

Wie wir gesehen haben, sind die beiden Gleichuno-en = a und 

at 

dW 

-Q = T t gleichbedeutend, uberdies sind die partiellen Differentialquotienten 

dV dW 

- und -3 wo i eine der Zahlen 1 bis it 1 darstellt. einander gleich; 

da. da. 

also kann man die Integralgleichungen auch, ohne V zu Hiilfe .zu nehmen, un- 
mittelbar diirch W darstellen und erhalt dieselben unter der Form 

n\ -?-- -3 8W - 3 6W -R 8W - 

Ebenso kann man das System der ersten Integralgleichungen 

dV _ dV _ dV _ 

p~ 
n T T \ TTT 

durch W darstellen und erhalt, da -^ = -^ ist, classelbe unter der Form 
dW dW dW 

(o.) -= = p -= = , ... -= = p . 

oq l oq 2 oc[ 

Im Fall der Mechanik ist u> = T U, und man hat daher den Satz : 
Wenn die Kr of tef unction U die Zeit t niclit explicite enthdlt, so dass der 
Satz der lebendigen Kraft gilt, so drucke man die halbe lebendige Kraft T durch 

die Grossen q t und p ; = , aus. Hierauf setze man in der Gleichnng der 
lebendigen Kraft, 

Orri TT 
= a-\-ip = a-\- 1 t/, 

BW 

-p an Stelle von p f , so dass diese Gleichung in eine partielle Differential- 



168 

gleichung fur W iibergeht. Kennt man eine vollstdndige Losung derselben, 
welche ausser der unit W additiv verbundenen Constanten die ja 1 Constanten 
#!, #o, ... A| _ I enthdlt, so sind 

dW dW dW <9W 

die Integralgleichungen der Differentialgleichungen der Bewegung, zu ivelchen man 
noch die Gleichungen 

dW _ dW _ dW dW _ 

als das System der ersten Integralgleichungen hinzufilgen kann. 

Die 2^ in den Integralgleichungen enthaltenen Constanten sind 

a,, a 2 , ... _!, a, 

Im Fall eines ganz freien Systems ist /u == 3n, zugleich treten an die Stelle 
der Grossen p f die Grossen 

m.x ., m.y ., m.z(, 
es wird 

und die partielle Differentialgleichung nimmt die Form an: 

V-ar ! == u ~ a - 



Zweiundzwanzigste Vorlesung. 

Lagranges Methode der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnuug niit 

zwei unabhangigen V r eranderlichei>. Anwendung auf die mechanischen Probleme, welche nur 

von zwei Bestimmungsstiicken abhangen. Die freie Bewegung eines Punkts in der Ebene 

und die kiirzeste Linie auf einer Oberflache. 

Nachdem wir die mechanischen Probleme auf die Integration einer nicht 
linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung zuruckgefilhrt haben, 
miissen wir uns mit der Integration derselben, d. h. init der Aufsuchung einer 
vollstandigen Losung, beschaftigen. 

Im dritten Theil von Eiders Integralrechnung kommen sehr schone 
Untersuchungen (iber die Integration der partiellen Differentialgleichungen vor. 



169 

Er behandelt zwar immer nur besondere Falle. indessen ist er so gliicklich in 
der Auffindung derselben, dass sich meistentheils durch die spater gefundene 
allgemeine Methode seinen Resultaten wenig oder nichts hinzusetzen lasst. 
Eiders Arbeiten haben iiberhaupt das grosse Verdienst, dass iiberall die Falle 
moglichst vollstandig angefiihrt sind, in welchen sich durch die angegebenen 
Methoden und Mittel Probleme vollstandig auflosen lassen. Seine Beispiele 
geben daher immer den ganzen Inhalt seiner Methoden nach dem damaligen 
Stande der Wissenschaft, und es ist in der Regel eine Bereicherung derselben, 
wenn man den Eulerscheu Beispielen ein neues hinzusetzen kann, da ihm selten 
ein durch seine Mittel losbares entgangen ist. 

Lagrange hat seine allgemeine Integrationsmethode der partiellen Diffe- 
rentialgleichungen erster Ordnung, welche ein durchaus neuer Gedanke in der 
Integralrechnung ist, zuerst in einer Abhandlung gegeben, welche zu den 
Schriften der Berliner Akademie vom Jahre 1772 gehort. In clieser Abhand 
lung ist die Zuriickfiihrung der nicht linearen partiellen Differentialgleichungen 
erster Ordnung auf lineare enthalten; es werden die Begriffe der vollstandigen 
und allgemeinen Losungen aufgestellt, die letzteren aus den ersteren hergeleitet 
und die Methoden zur Auffindung der vollstandigen Losungen angegeben. Alles 
beschrankt sich aber nur auf den Fall von drei Variablen, von welchen zwei 
von einander unabhangig sind. Lagranges Methode ist folgende: 

Es sei die partielle Differentialgieichung erster Ordnung 

vorgelegt, wo x, y die unabhangigen Variablen sind. z die abhangige, und 

dz dz 

" dx * Qy 
sodass zwischen den Differentialen der drei Variablen die Relation 

dz = pdx-\-qdy 

besteht. Die vorgelegte Differentialgieichung gebe, nach q aufgelost, 

q = x(*, y, z , p) , 

dann hat man 

dz = pdae-t-%(x, y, z, p}dy. 

Um eine vollstandige Losung z zu finden, d. h. eine Losung, welche 
zwei willkiiiiiche Constanten enthalt, ist es offenbar nur nothig, einen Werth, 
p = u)(x, y, z, a) zu finden, welcher, in den Ausdruck pdx-i-xdy substituirt, 
denselben zu einem vollstandigen Differential macht, worauf z aus der Gieichung 

Jacob! , Werke. Supplementband (Dynamik). 22 



170 

dz = pdx-\-%dy zu bestimmen tibrig bleibt. Das Letztere erfordert die Inte 
gration einer gewohnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, durch welche in 
z ausser a eine zweite Constante b eintritt. Es kommt also darauf an, p als 
Function to von x, y, z und einer willkurlichen Constante a so zu bestimmen, 
dass der Ausdruck pdx-+-%(x,y,Z,p)dy ein vollstandiges Differential wird. 
Hierzu ist erforderlich, dass p nach y differentiirt denselben Werth gebe wie / 
nach x differentiirt, d. h. es muss die Gleichung 

dp dp dz dx dx dz d% ( dp dp dz \ 



dy dz dy dx dz dx dp \ dx dz dx J 
oder 

_^-_ h _^_ = dx dp | dp ( dx \ dp 
dx dz dp dx dy \ dp ) dz 

erfiillt werden. Dies ist, da / eine bekannte Function von x, y, z, p ist, 
eine linear e partielle Differentialgleichung fur p, welche drei unabhangige 
Variable x, y, z enthalt, und das vorliegende Problem ist also darauf zuriick- 
gefuhrt, von dieser linearen partiellen Differentialgleichung fur p eine Losung 
p = ffi(x, y, z, ci) mit einer willkurlichen Constante a zu finden. Der Umstand, 
dass man nur eine solche Losung zu kennen braucht. wird von Lagrange um- 
standlich hervorgehoben. 

Betrachten wir jetzt allein den Fall, wo z selbst in ^ und daher auch 
in / nicht enthalten ist, wo also die vorgelegte partielle Differentialgleichung 
die einfachere Form 

(1.) *P(>, y, p, q) = 

hat. In diesem Fall kann man auch p als Function von x, y, a ohne z so 
bestimmen, dass pdx-h/dy ein vollstandiges Differential wird. Da jetzt sowohl 

*^ ^\ 

-~ als -~- verschwinden , so reducirt sich die lineare partielle Differential- 

dz dz 

gleichung fur p auf 

dp dx dy dx 

Statt aber anzunehmen, die gegebene partielle Differentialgleichung (1.) 
ware nach q aufgelost, wollen wir dieselbe vielmehr in ihrer urspriinglichen 
Gestalt in die Rechnung einfuhren. Denken wir uns ferner die Gleichung 
p = a) (x, y, a) nicht nach p, sondern nach a aufgelost, also auf die Form 
f(x, y, p) = a gebracht, so haben wir uns der Formeln 



171 



dq dx dx dq dp 



dx dx d& dp dp 



dq dq 



dp dx dp dy 

~d^~~ ~df~ J ~dy~ df 

dp dp 

zu bedienen, und indem wir diese Werthe in die obige lineare partielle Diffe 
rentialgleichung fiir p einsetzen, geht dieselbe in die folgende lineare partielle 
Differentialgleichung fiir f iiber: 

dp dx dq dy dx dp 

Kennt man von derselben eine Losung f ohne Constante, so bedarf es im vor- 
liegenden Fall zur Bestimmung der vollstandigen Losung .z von (1.) keiner 
weiteren Integration einer Differentialgleichung. Denn wenn man jene Losung f 
einer willkiirlichen Constanten a gleich setzt und aus der Gleichung 

f(. x > Hi P) = a 
in Verbindung mit der vorgelegten Differentialgleichung 

p und q als Functionen von x und y bestimmt, so sind dieselben von der 
Beschaffenheit, dass pdx -\-qdy ein vollstandiges Differential wird, da die dafiir 
erforderliche Bedingung (2.) erfiillt ist, und man erhalt daher z aus der Formel 



z = \(pdx-\-qdy) 



durch blosse Quadratur, so dass die zweite in der vollstandigen Losung z ent- 
haltene willkiirliche Constante additiv mit z verbunden ist, was sich voraussehen 
liess, da in Gleichung (1.) z selbst fehlt. 

Es kommt also nur darauf an, eine Losung der linearen partiellen Diffe 
rentialgleichung (2.) zu finden, in welcher die partiellen Differentialquotienten 

-= . -r , -^r vermoo-e der Gleichung (1.) als Functionen von x, y und p ohne q 

dp dq dx 

dargestellt vorausgesetzt sind. Aber bekanntlich ist diese lineare partielle 
Differentialgleichung (2.) nichts anderes*), als die Definitionsgleichung derjenigen 



*) Siehe zehnte V T orlesuiig p. 75. 

22* 



172 



Functionen f von x, y, p, welche einer Constanten a gleich gesetzt ein Integral 
des Systems gewohnlicher Differentialgleichungen 

dW diP d 

d*:dy:dp-=-:-: 



o-eben. Die o-anze Untersuchtmff ist also darauf zuruckgefuhrt, ein Integral des 

O C 1 C3 O O 

Systems gewohnlicher Differentialgleichungen (3.) zu find en. 

Wir konnen dieses Systems noch dadurch vervollstandigen, dass wir 
vermittelst der Gleichung ?P = die Grosse aufsuchen, welcher dq proportional 
ist. Die Gleichung *P == differentiirt giebt 

8V , d& , 6V 8V . 

-^da;-i--x-dy-\ 5 dp-+ 3 dq = 0. 

da; dy op dq 

Aber nach den Differentialgleichungen (3.) hat man die Proportion 

dV dV 

dx : dp = -K : -- ^ > 
dp dx 

so dass -TT dx-\- dp fur sich verschwindet: es muss daher auch -= du -+- -S dq 
dx dp dy dq 

fiir sich verschwinden , und man erhalt 



. -- 5 

dq dy 

Das System (3) lautet daher vollstandig: 

6w ep dv ap 

(4.) dz:dy:dp:ctq = -^:-^: -- 5: -- - . 

dp dq dx dy 

ein in Beziehung auf x und p einerseits, und y urid q andererseits symme- 
trisches Resultat, woraus die Richtigkeit der Rechnung hervorgeht. Dieses 
System tritt an die Stelle von (3.), wenn wir die Integrationsmethode dahin 
verallgemeinern , dass wir in die Function f auch q eintreten lassen. Wir 
konnen namlich die Gleichung f(x, y, p) = a als das Resultat der Elimination 
von q zwischen einer Gleichung 

(5.) F(x, y, p,q) = a 

und y?(x,y,p,q) = Q ansehen, so dass, wenn, wie oben, / den aus der Auf- 
losung der Gleichung ?P = hervorgehenden Werth von q bezeichnet, identisch 

Ffay>p>x) ffay>p) 

wird. Daher muss F(x,y,p,%) der linearen partiellen Differentialgleichung (2.) 
geniigen, was fur F zu der Differentialgleichung 

<9P dF d*It 8F d*I* dF dF^fdW dx d& dx d &% 

dp dx dq dy dx dp dx V dp dx dq dy dx dp 



173 

ffihrt. Aber da / die Gleichung W(x,y, |>, /) = identisch befriedigt, so 
hat man 



dx dx dx dy 



dx dP dy d*P_ dp dV 

dx dx dx 

rl J^ 

Hierdurch reducirt sich der auf der linken Seite der obien Gleichun in -- 






/~ms 
multiplicirte Ausdruck auf --55 wnd man erhalt 

dV_<dF^ dV dF dV dF dV dF _ 

dp dx dq dy dx dp dy dq 

woraus hervorgeht, dass F = a in der That ein Integral des Systems von 
Differentialgleichungen (4.) 1st. Da f(x, y, p) == a das Resultat der Elimination 
von q zwischen F(x, y, p, q) = a und *P(x, y, p, q) = 1st, so folgen aus den 
Grleichungen F(x, y, p, q) = a und *P(x, y, p, q) == dieselben Werthe von p 
und q, wie aus f(x, y,p) = a und ?P(a , y, p, q) = 0. Beriicksichtigt man iiber- 
dies, dass W = ein Integral der Differentialgleichungen (4.) ist und zwar ein 
allgerneines, wenn in der Function ? /^ eine additiv mit derselben verbundene 
Constante enthalten ist, sonst aber ein particulares, so kann man das gewonnene 
Ergebniss in den folgenden Satz zusammenfassen : 

Ist die partielle Differ entialgleichung 
(1.) V(x,y,p,q) = Q 

yegeben, wo p = -- , q = -~ , so bilde man das System geivohnlicher Diffe- 

OtC C7 (/ 

rentia Igleickungen 

d*P dW 5P d*P 

(4.) dx\dy:dp : dq = ^ :-= : --- 5: --- 5 

dp dq dx dy 

Kennt man von demselben ausser dem a priori gegebenen Integral *P nock 
ein zweites, 

(5.) F(x, y, p, q) = a, 

so bestimme man aus (1.) und (5.) p und q als Function von x und y: dann 
man z durch die Formel 



== 



vermittelst einer blossen Quadratur. 

Die Gleichungen (4.) sind von derselben Form, wie die Differential 
gleichungen der Bewegung, nur sind an die Stelle der Grossen q^ q 2} JL> I? p 2 , 



174 

, W hier die Grossen x, y, p, q, *P, z getreten. Folglich erhalten wir 
eine neue Integralgleichung von (4.), wenn wir z nach einer darin enthaltenen 
willkiirlichen Const ante differentiiren and das Resultat einer anderen willkiir- 
lichen Constants gleichsetzen. Eine solche in z enthaltene Oonstante ist a, wir 
haben somit in der Gleichung 



das dritte Integral des Systems (4.). Dass wir zu demselben durch blosse 
Quadratur gelangt sind, ist ein bedeutender Nutzen, den wir aus der Zuriick- 
filhrung des Systems gewohnlicher Differentialgleichungen (4.) auf die partielle 
Differentialgleichung (1.) gezogen haben. Fiigen wir, um die Analogic der 
Differentialgleichungen der Bewegung vollstandig durchzufiihren, zu der Pro 
portion (4.) auf der linken Seite dt, auf der rechten 1 hinzu, so wird, wie wir 
in der vorigen Vorlesung gesehen haben. t durch die Grleichung 



da J \ da da 

bestimmt, wo a die in *P = y-\-a enthaltene Constante ist. 

Nachdem Hamilton die Zuriickfiihrung der dynamischen Differential 
gleichungen auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung gefunden 
hatte, brauchte man also auf dieselbe nur die seit 65 Jahren bekannten 
Methoden anzuwenden. um fur alle Probleme der Mechanik, welche nur zwei zu 
bestimmenden Grossen, q l und q 2 , enthalten, ein wichtiges Resultat zu gewinnen. 

Gilt fiir die betrachteten mechanischen Probleme der Satz der lebendigen 
Kraft, so hat in der Gleichung = *P = a -+- y> die Function y> den Werth 

ip = TU; 
die Gleichung 

T= Ua, 

welche den Satz der lebendigen Kraft ausdriickt, und in welcher U eine Function 
von q^ q 2 allein, T eine Function von q^ q%, p^ p 2 ist, geht nach Einsetzung der 

d W dW . 

Werthe p 1 - -^ , p 2 = in die partielle Differentialgleichung fiir W iiber, 

und die Differentialgleichungen der Bewegung heissen 



dip dtp d\L> 

dt : do : da : dp : dp., = 1 : ~ : ~ : -- ^ 



-- ^r 
dp, op 2 dq, dq, 

Das zur Bestimmung der vollstandigen Losung W nothwendige zweite von t 



175 
freie Integral dieser DifFerentialgleichungen sei 

alsdann hat man 



das dritte von t freie Integral der Differentialgleichungen der Bewegung 1st 

8W 

~ = 6, 
oa 

and if wird durch die Gleichung 

dW 

^ - Tr - t 

da 

eingefuhrt. Dies Resaltat kann man unabhangig von der Theorie der partiellen 
Diffierentialgleichungen so aassprechen : 

Wenn man filr ein Problem der Mechanik, welches nur zwei zu bestimmenden 
Grossen, q l und q 2 , enthdlt, imd in welchem der Satz der lebendigen Kraft T = U ce 

r) T 

gilt, ausserdem noch ein Integral F(q^ q*,pi,p^ == a kennt, wo p v = 5-7-, 

Ol/ , 

6T 

p 2 = o , ? so bestimme man aus den Gleichungen y = T U = a und F = a 
^9j 

die Grossen p^ und p. 2 als Functionen von q^, q 2 , a und ce; dann sind die beiden 
ilbrigen Integrate durch die Gleichungen 



a | l 

da da 



gegeben, sodass in dies en vier Integralen die vollstdndige Integration der Diffe 
rentialgleichungen der Bewegung, d. h des Systems 

dip dip dip dip 

at : dq : da : dp. : dp. 2 = 1 : r . T : -~ : -- ^ : -- ~- . 

dp, 6^2 dq l 8q 2 

enthalten ist. 

Dies sind ganz neue Formeln; sie gelten z. B. fur die Bewegung eines 
Punkts in der Ebene oder auf einer krummen Oberflache, wenn der Satz der 
lebendigen Kraft gilt. 

Fur die freie Bewegung in der Ebene hat man, wenn die Masse des 
Punkts der Einheit gleich gesetzt wird, 



176 
und der Satz der lebendigen Kraft ist in dem Integral 



enthalten. Kennt man ein zweites Integral, d. h. eine zweite Gleichung, nach 
welclier eine Function von x, y, x , y einer willkiirlichen Constanten a gleich 
wird, und bestimmt man aus beiden x und y als Functionen von x, y, a, cc, 
so ist die Gleichung der Trajectorie 



6V dy \ 



G h ^~ 



und die Zeit wird durch die Gleichung 

rfdx . du 

/y i *J 

\ ^j LltAj | f~, ( 

J \ da da 

ausgedriickt. 

Diese Formeln habe ich als die einfachste Frucht der Zuriickfuhrung 
mechanischer Problems auf partielle Differentialgleichungen bereits im Jahre 
1836 der Pariser Akademie mitgetheilt. Bei dem Interesse, welches dieselben 
in Anspruch nehmen. und da sie sich auf den elementarsten Fall der Mechanik 
beziehen, verdienen sie in den Lehrbtichern derselben eine Stelle zu linden. In 
den Unterricht an der polytechnischen Schule sind sie bereits ubergegangen. 
Poisson hat in Liouvilles Journal*) einen Beweis oder vielmehr eine Verification 
derselben gegeben. 

Ein zweiter in den obigen Formeln enthaltener Fall ist der, wo sich ein 
Punkt, nur von einem anfanglichen Stoss getrieben, auf einer gegebenen Ober- 
flache bewegt. Ein solcher Punkt beschreibt die kiirzeste Linie, deren Be- 
stimmung von einer Differentialgleichung zweiter Ordnung abhangt. Nach den 
friiheren Betrachtungen ergiebt sich, dass, wenn man von dieser Differential 
gleichung ein Integral kennt, man hieraus die zwischen den Coordinaten allein 
stattfindende Gleichung der Trajectorie durch blosse Quadratur ableiten kann. 
Da in diesem Falle die Kraftefunction U verschwindet, so wird die partielle 
Differentialgleichung 

T-i-a = 0. 

Sind ,r, y, z die Coordinaten des sich bewegenden Punkts, so wird 



9T ( V- 

\dt) ~ 



d? 

*) Bd. 2, p. 335. 



177 

Man sehe x, y als die oben mit q 1} q 2 bezeichneten Bestimmungsstilcke an, dann 
hat man den aus der Gleichung der Oberfliiche hervorgehenden Werth 

dz = p dx-\- q dy 
einzusetzen and erhalt 



oder 



Sincl , v\ die oben mit p t p. 2 bezeichneten Grossen, so wird 

6T 

= ^r == * 

6T 



Indem man 

N 

setzt, findet man durch Auflosung nach x , y 



und da man auf T, als homogene Function zweiter Ordnung in # und y , die Formel 



6T . dT . . . 

x+y 



anwenden kann, so ergiebt sich 



Die partielle Differentialgleichung in TF wird daher: 

J dw V ^( dW Y dW dW 

- <i-hflhr) ^^ H-^rJ -^-ar-^- 

Diese Gleichung lasst sich durch Einfiihrung zweier neuen Variablen an Stelle 
von x und i/ in mannigfacher Weise transformiren. Ein Beispiel dafiir wird in 
der Folge die Substitution liefern, mit deren Hillfe wir die kiirzeste Linie auf 
dem dreiaxigen Ellipsoid bestimmen. 

Die angefiihrten Falle gehoren zugleich zu den Anwendungen des Princips 
des letzten Multiplicators , welches die letzte Integration bei mechanischen 

Jacobi, Werke. Suppleraentband (Dynamik). 23 



178 



Problemen mit beliebig grosser Anzahl von Bestimmungsstiicken leistet. Wir 
sind so durch ganz verschiedene Betrachtungen zu demselben Resultat gelangt. 



Dreiundzwanzigste Vorlesung. 

Reduction der partiellen Differentialgleichung fiir diejenigen Probleme, in welchen das 
Princip der Erhaltung des Schwerpunkts gilt. 

Wir wollen jetzt antersuchen, welcher Nutzen fiir die partlelle Diffe 
rentialgleichung aus dem Principe der Erhaltung des Schwerpunkts zu ziehen ist. 

Sobald sich die Variablen so wahlen lassen, dass eine derselben in der 
partiellen Differentialgleichung T=U a nicht selbst vorkommt, sondern nur 
der nach dieser Variablen genommene Differentialquotient von W, so konnen 
wir durch dieselbe Art der Transformation, durch welche W aus V hergeleitet 
wurde, die in Rede stehende Variable aus der Differentialgleichung fortschaffen 
und so die Anzahl der in ihr vorkommenden Variablen vermindern. 

Betrachten wir den Fall eines freien Systems von n materiellen Punkten, 
wo T= i-.ZWj (x ?-*r-y ?^rz ?\ so haben wir (siehe einundzwanzigste Vorlesung 
p. 168) die partielle Differentialgleichung 



1 (\dWV \dWV \dWV\ 

C 1 -) i- I ha- -H-5T + ha = u ~ a - 

m. \ L dx. J L dy. J L dz. J / 

Gilt das Princip der Erhaltung des Schwerpunkts, so hangt U nur von den 
Differenzen der Coordinates ab, also lasst sich, wenn man 

?! == <%i x n ) ?2 == ^2 ^nj nl == <&n\ - &n 

setzt, U, als Function der z-Coordin&ten betrachtet, bloss durch die Grossen j 
darstellen. Bezeichnet man die partiellen Differentialquotienten von W mit 
eckigen Klammern, wenn man W als Function von # 1? x 2 , ... x n , und ohne 
dieselben, wenn man TFals Function von | 1? | 2 ... | n _ 1? x n ansieht, so erhalt man 

8W 



rawn _ dw \_swi _ sw dw i _ 

fawn fdtf a^ 2 dw 

i i_ i_. . . i . 



und mit Benutzung dieser Formeln ergiebt sich fiir die in Gleichung (1.) vor- 

1 f 5 W~\ 2 
kommende Summe -2 1 - die neue Darstellung 

ifi i L \jOu~i _| 



(2) 



179 

dW 



d#i J m s \ d s J m n 

wo die auf das reihende Element i sich beziehende Summe von 1 bis n, die 
auf das reihende Element s sich beziehenden von 1 bis n 1 auszudehnen sind. 
Nach Einfuhrung dieser Darstellung in die partielle Differentialgleichung (1.) 
sind die ursprunglichen Variablen x l , x 2 , ... x n _ l , x n vollstandig durch ,, 
| 2 , -i 5 x n ersetzt, und die Variable x n kommt nicht mehr selbst vor, 
sondern nur die nach derselben genommene Ableitung von W. Daher ist fur 
x n die neue Variable a vermittelst der Gleichung 

8W 

-^ = 



einzufiihren und fur W die neue als Function von | 1? | 2 , ... | M _j und a an- 
zusehende Variable 



wo eine willkiirliche Constante bedeutet. Mit Benutzung der Gleichungen 

dW, dW dW l dW 8W l dW 

"^" : : 55, a 2 : : ^ 2 ^I7 = ~^IT 

geht der Ausdruck (2.) jetzt in 



__ 

xi J m s \d 

iiber, und indem man die rechte Seite von (3.) in (1.) substituirt und bertick- 
sichtigt, dass bei der Differentiation nach y t oder z. t die Ableitungen von W und 
W l einander gleich sind, verwandelt sich(l.) in eine partielle Differentialgleichung 

fiir W l} in welcher die Variable a nur selbst vorkommt, aber nicht der Diffe- 

8 W 
rentialquotient ,, / Um von den Variablen a und W^ wiederum riickwarts 

den Uebergang zu x n und W zu machen, bedient man sich der Gleichungen 



8 W 

yy i _ 



W _ 

- rr , 



_ _ 

r* . - u t/jjj - , ^ . 

da da 

Man kann den Ausdruck (3.) noch mehr vereinfachen, wenn man die 
in Beziehung auf die partiellen Differentialquotienten der abhangigen Variable 
linearen Grlieder durch eine neue Transformation herausschafft, die der Reduction 
der Grleichung eines Kegelschnitts auf seinen Mittelpunkt analog ist. Setzt 
man namlich 



wo g^, g 2 , ... g n _ l noch zu bestimmende Constanten bedeuten, so dass 

23* 



180 



wird, so geht der Ausdruck (3.) in 



uber. Sei s einer der Indices s. Sucht man auf der rechten Seite von (4.) 

r) W 

das in die erste Potenz von -- multiplicirte Glied auf und setzt seinen 
Coefficienten gleich Null, so erhalt man 

(5.) J!L- a -- g - = o. 

m s > m n 

Diese Gleichung muss fur die n l Werthe von s 1 gelten. Multiplicirt man 
dieselbe mit m s . und summirt von s = 1 bis s = n 1, so ergiebt sich zu- 
nachst der Werth von 2g t , namlich 

_ a 2m s 

oder wenn man wie in der dritten Vorlesung die Bezeichung 

M= Wj-f-WjjH \-m n = 2m s -+-m n 

einflihrt, 

~9s = a ll~~"JLFP 



a Jao =- irr m . 
y* j/ n 

Indem man diesen Werth in (5.) einsetzt, findet man fur g s , den einfachen Werth 

a 

(/ ,== TT m ,1 

M s 
so dass die Transformationsformel von TFi in W 2 folgendermassen bestimmt 1st: 

(6.) 

ch 

unabhangige Theil jenes Ausdrucks 

vjL_ r/ 2_( 

^ W ,^ + 
und man erhalt 



6 W 
Durch Substitution der Werthe von g s in (4.) wird der von den Grossen -^ 



Wenn man diesen Ausdruck in die Gleichung (1.) einsetzt und berucksichtigt, 
dass TFi von W 2 um Grossen unterschieden ist, die von den Variablen y i und 



181 

z, nicht abhangen, dass also bei der Differentiation nach y, oder z, nicht nur 
die Ableitungen von W und W a , sondern auch die von W l und TF 2 einander 
gleich sind, so geht die Grleichung (1.) in eine partielle Differentialgleichung 
fi ir die abhanie Variable W fiber. Diese Differential gleichung enthalt nicht 



mehr 3?^ unabhangige Variable x /: , y { , z t , sondern nur noch 3n 1; denn die 
n Variablen x sind durch die n 1 Variablen ersetzt, und die neu eingefiihrte 
Grosse a ist als Constante zu betrachten, da der nach derselben genommene 
Differentialquotient von W<> nicht vorkommt. Nachdem man die partielle 
Differentialgleichung fur TF 2 integrirt und vermoge Gleichung (G.) W^ aus W% 
bestimmt hat, geschieht, wie schon oben bemerkt, die Einfuhrung von x n ver 
moge der Gleichung -^-j-= a () x n , welche nach Ersetzung von W l durch W. 2 in 

ft w 



iibergeht. Diese Gleichung ist zugleich ein Integral der Differentialgleichungen 
der Bewegung, welche sich auf die partielle Differentialgleichung (1.) zuriick- 
fi ihren lassen, und zwar dasjenige, welches nach Aufstellung der zwischen den 
3n 1 Variablen j s , y L und z- t bestehenden Integrale hinzuzufiigen ist, ganz 

ahnlich, wie die Gleichuno* r 1 = - ^- L , durch welche hierauf t ein- 

da da 

gefuhrt wird, zugleich das letzte Integral bildet. 
Setzt man die beiden Transformationen 



zu einer zusammen, so ergiebt sich die Formel 



in welcher man indessen, da W selbst in Gleichung (1.) nicht vorkommt, wegen 
der mit W verbundenen willkiirlichen Constante das Glied weglassen kann. 
So wie durch diese Transformation die n Variablen x t der partiellen 
Differentialgleichung (1.) auf die n 1 Variablen ^ s = x s x n znriickgefuhrt 
worden sind, so kann man durch zwei neue Transformationen derselben Art 
die *2n Variablen y i und z t auf die 2( 1) Variablen ^ s = y s y n und t = z t z n 
zuriickfilhren, und wenn man schliesslich alle Transformationen zu einer zu- 
sammensetzt, so erhalt man folgenden Satz: 



_ 182 

Im Fall eines freien Systems von n materiellen Punkten, fur welches sich 
die Differentialgleichung en der Bewegung auf die partielle Differentialgleichung 



m w - - u- 

*m ( \[ SaJ+LfyJ h L dz.lr 
zurilckfuhren lassen, seize man 

$1 - <%i fin) ?2 - ^2 ^ n ? ^ n 1 - n 1 ^ wj 

^ = 2/1 2/n> i ? 8 = y 8 y ir in-i = y n -iy^ 

Ci == ^1 ^J 52 =:= ^2 ^J few 1 ~ = 2 B _l 2 n 

iwic? fiihre fur W eine neue abhdngige Variable 

/v R* v 

/2 = IF -- TfSm.as. -- ^r^m.y. -- rr^m.z. 
M l l M lJl M 

ein; dann venvandelt sich die partielle Differentialgleichung (1.) in 

(80 ^ 



Nach Integration dieser partiellen Differentialgleichung filr & werden die Variablen 
x ni y n i z n durch die Gleichungen 

a v = + 2m% 8 =-^. + JLv w c = ds * , 1 v m r 

eingefiihrt, und schliesslich wird die Variable t durch die Gleichung 

da 

L C ?r 

da, 

bestimrnt. Da sich aber die vier Constanten a, /? , y und a zu der einen 
Constante ft vereinigt haben, so hat man 



a 



__ _ _ 

da ~ M dp d/3 M dp ~dY r ~~^f 5/3 da ~ "^" 
und hierdurch gehen die obigen vier Gleichungen in die folgenden tiber: 



* 
1 



y 1 

/o "~ 2n == Jf(*~ i )~*"3f Sm *t i 

Die letzteren drei Formeln stimmen mit den in der dritten Vorlesung (p. 17 



183 

unter (3.)) fur die geradlinige Bewegung des Schwerpunkts gegebenen iiberein, 
wenn man sie auf die Form 

11 

o+ j^ (* *) = #n-t- -jf 2m,^, = -g- Smity, 

&~*~M (*~~ r) = y ^~~M Sm A* = ~M Sm * y 
y 11 

y<>H ~ ~H (*~~*) == Zn ^~~M Sm ^ = ~~ ~M 2 iZi 

bringt, da die Grossen auf der rechten Seite nichts anderes sind, als die 
Coordinate!! des Schwerpunkts. 



Vierundzwanzigste Yorlesung. 

Bewegung ernes Planeten um die Sonne. Losung in Polarcoordinaten. 

Den ferneren allgemeinen Betrachtungen moge die Behandlung einiger 
Beispiele nach der Hamilton&chQii Methode vorangehen. Das erste Beispiel soil 
die Bewegung eines Planeten um die Sonne bilden. 

Im Fall eines freien Systems von n materiellen Punkten ist die partielle 
Differentialgleichung, auf die sich die Differentialgleichungen der Bewegung 
zurlickfuhren lassen, (siehe p. 168) folgende: 



!( dW \\( 8W \\( dW Y\ 

ll-g-i-J-Hl-a |H"\~5 \ = Ua. 
IV dx> ) \ d ) V dz. J } 



Fiir die Bewegung eines Planeten, dessen heliocentrische Coordinaten x, y, z 
seien, reducirt sich die Summe auf einen Term; setzen wir ferner die Masse 
des Planeten gleich 1 und bezeichnen die Anziehungskraft der Sonne in der 

72 

Einheit der Entfernune durch F, so ist die Kraftef unction U = , wo 

T 

r = x--\- y 2 -+- z-, und man hat 



* === 



W\> (BW\>\ P 

5~ I "^\~3~ I == -- a - 

dy ) \ dz J } r 



dx 

Da auf der rechten Seite dieser Gleichung der Radius Vector vorkommt, so ist 
es zweckmassig, statt der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z Polarcoordinaten 
durch die Formeln 

x = r cosy, y = r sin (f cos ip, z = r sin (f sin ip 

einzufuhren. Alsdann wird die halbe lebendige Kraft 
T= 



184 

also 

6T 



^r, ^r , _ - 

Diese Grossen sind die fruheren Grossen w, also gleich -^ - zu setzen: 

dr 3y d^ 

man hat also 

3W 

T - - O) - 

dr r 

und hierdurch wird 



Die partielle Differentialgleichung (1.) verwandelt sich demnach fur Polar- 
coordinaten in folende: 



i+ + l ( dW Y\ k * 

\\ W ) ~~ r*\d^J " h ^h^l"^7 J J - : V" 
Diese Gleichung wollen wir dadurch integriren, dass wir sie in mehrere zer- 
spalten, deren jede nur eine unabhangige Variable enthalt. Wenn wir das erste 
Glied der linken Seite allein der rechten gleich setzen, so giebt dies 



eine Differentialgleichung, welche nur die eine unabhangige Variable r enthalt., 



und es bleibt alsdann die Gleichung 



sin i 

j i 

ubrig, welche r nicht mehr enthalt. Diese Zerspaltung kann man noch etwas 
allgemeiner machen, indem man auf der rechten Seite der Gleichung (2.) das 

Glied -^- additiv und subtractiv hinzufiigt und dann die Gleichung (2.) in die 

beiden 

, fdWV P 8 , (( dWY 1 fdWV} 

41^ I = a ==- und i-^l -7; I -\ : 3 = 

V or J r r \\ d(f J sin y> V 

zerlegt. Das Integral der ersten Gleichung ist 



und indem man diesen Werth in die zweite einsetzt, erhalt man fiir F((f>, y) 
die Differentialgleichung 

i dF> 



Diese partielle Differentialgleichung lasst sich aber wiederum in zwei zertheilen, 



185 



von denen jede nur eine unabhangige Variable enthalt. Man fiige namlich auf 

V 

der rechten Seite wieder . , additiv and subtractiv hinzu und zerlege die 

sin (f> 

Grleichung in 



*\d<l>J 



Das Integral der ersten Gleichung ist 



und zufolge der zweiten muss /(/ ) der Gleichung 

geniigen, d. h. es ist 
also 



und schliesslich 

i r r * r sin ^ 

Dies ist eine vollstandige Losung der Differentialgleichung (2.), denn sie enthalt 
die nothige Anzahl willkurlicher Constanten. Man erhalt also die Integral- 
gleichungen der Bewegung unter der Form 

~5 = ^ iTj~ == P 



dy 



wo a die friiher mit T bezeichnete Constante ist. Die Ausfiihrung der Diffe- 
rentiationen giebt: 



(4.) 



t a = 



dr 



dr 



2a 




sin 



sin>|/2^- 

sm y 

Es ist zu bemerken, dass sich die Methode, durch welche wir die 
Gleichung (2.) integrirt haben, auf eine beliebige Zahl von Variablen aus- 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 24 



186 
dehnen lasst. Dies beruht auf Folgendem. Man setze, wenn man n Variable 



o? n = rsm(f> 
dann ist 

H 
sin 2 < 



Die obige Methode lilsst sich daher ohne Weiteres anwenden, sobald die rechte 
Seite der partiellen Differentialgleichung sich auf die Form 



sn 



bringen lasst. 

Die willkiirlichen Constanten /?, /, wie sie in den obigen Integral- 

J O O 

gleichungen (4.) vorkommen, haben sehr merkwiirdige Eigenschaften , welche 
ihre Einfiihrung in das Storungs- Problem sehr wichtig machen. Es ist daher 
interessant die geometrische Bedeutung dieser Constanten zu untersuchen. 
Dieselbe ergiebt sich folgendermassen. 

Setzt man den Ausdruck, der in den nach r genommenen Integralen 
unter dem Wurzelzeichen steht, gleich Null, so erhalt man eine Gleichung 

" o t> 

zweiten Grades in r, deren Wurzeln den grossten und kleinsten Werth dar- 
stellen, welchen der Radius Vector annehmen kann. Die Wurzeln der Gleichuno- 

O 

ar* k 2 r-i-3 = 



sind also (l-\-e) und (1 e), wo a die halbe grosse Axe. e die Excentricitat 
der Planetenbahn ist. Dies giebt die Gleichungen 



(5.) 



\^_ 

a 

also 



p 





wo p der Parameter ist. 

Setzt man den Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen in den nach 
<p genommenen Integralen gleich Null, so erhalt man den grossten oder kleinsten 



187 

/ V X 

Werth von siny, namlich V-4 Nun 1st cosy = , wo x die Entfernung 

des Planeten von der Ekliptik (Ebene der y, .z) bezeichnet, folglich kann cosy 
bis zu Null abnehmen; es giebt also kein Minimum, sondern nur ein Maximum 
von cosy, und dies finclet statt, wenn y = 90 / ist, wo J die Neigung der 
Planetenbahn gegen die Ekliptik bedeutet. Diesem Werth entspricht daher 

der Minimumswerth "y-jr von siny, d. h. es wird 

(6.) V4- = sin(90 J) = cos J, 





(7). 1/7 = = cos J y~ji = ---- cos J 1/p. 

Um die geometrische Bedeutung der Constanten , /? , y zu bestimmen, 
muss man erst die Grenzen der in (4.) vorkommenden Integrate naher fest- 
setzen. Man kann namlich fiir die untere Grenze eines dieser Integrale entweder 
einen gegebenen Zahlenwerth nehmen, oder einen solchen Werth, welcher die 
in dem Integral enthaltene Quadratwurzel verschwinden macht. Unter der 
letzteren Annahme, die wir im Folgenden machen werden, hangen die Grenzen 
von den willkurlichen Constanten a, /?, y ab, und da die Integralgleichungen 
(4.) aus der Gleichung (3.) durch Differentiation nach diesen Constanten her- 
vorgehen, so konnte man meinen, dass zu den Gleichungen (4.) neue Terme, 
die von den Grenzen herruhren, hinzukommen miissen. Aber die hinzu- 
kommenden Terme sind nach den bekannten Regeln der Differentiation in die 
Werthe multiplicirt, welche die in Gleichung (3.) unter den Integralzeichen 
stehenden Functionen fiir die unteren Integralgrenzen annehmen, und da diese 
Werthe verschwinden, so bleiben die Gleichungen (4.) ungeandert. 

Unter diesen Voraussetzungen lassen wir das nach r genommene und 
in der ersten Gleichung (4.) vorkommende Integral von dem Werth (1 e), 
welchen r im Perihel annimmt, als der unteren Integralgrenze anfangen. Fiillt 
alsdann die obere Grenze in den namlichen Werth von r, so giebt die erste 
Gleichung (4.) ta = 0, d. h. 

(8.) a = Werth der Zeit fiir den Durchgang durchs Perihel. 

Um die Bedeutung von // zu finden, bestimme man zunachst den Werth 
des nach y genommenen in der zweiten Gleichung (4.) vorkommenden Integrals 

s mtpdcp 



24 




188 



als dessen untere Grenze wir (f 90 J zu nehmen haben. Durch die Sub 
stitution 



COS (f = 



s ii\(pd(p = ]/ - 



Pr 



_ y 



cost], 



ireht dasselbe in 



d. h. in 



<D 



- l/IEZ f smydrj 

~V 8 J 1/2(0 yVl 



8 J j/203-y)(l-cos^) 



J/20 



fiber. Fur die untere Grenze (f = 90 J wird nach Gleichung (6.) siny = 
COS J l/_L ? also cosy = ]/ R , daher cosi; 1, sin^ = 0. Demnach ist das 

nach t] genommene Integral von der unteren Grenze q = an zunehmen, und 

es wird 

1 



so dass die zweite Gleichung (4.) in 



y-28 




iibergeht. Aus der zwischen (f und rj stattfindenden Relation kann man die 
geometrische Bedeutung von ^ erkennen, denn y> ist die Hypotenuse eines 

rechtwinkligen spharischen Dreiecks, dessen Katheten 
j? und 90 J sind. Nun sei EE die Ekliptik, Pihr 
Pol, BB die Ebene der Planetenbahn, der auf- 
steigende Knoten; man ziehe durch P senkrecht 

o * 

gegen BB den grossten Kreis PQ, welcher EE in R 
trifft, darni ist QR = J, also PQ = 90- J. Trifft 
ferner der Radius Vector, welcher vom Mittelpunkt der 
Kugel, der Sonne, nach dem Planeten gezogen ist, die 

Oberflache der Kugel in p, so ist^P=y, urid hieraus folgt cos ^ = sin J.cos(pQ), d.h. 

, / = pQ = 90 Op. 

Op ist die Entfernung des Planeten vom aufsteigenden Knoten 0, welche wir 
mit bezeichnen wollen. Demnach ist 




189 




Urn /y zu bestimmen, braucht man jetzt nur den Zeitpunkt zu nehmen, in 
welchem der Planet cltirch das Perihel hindurchgeht; dann wird das nach r 
genommene Integral gleich Null, und man erhalt 

(9.) /y = (90 Entfernung des Perihels vom aufsteigenden Knoten). 

1/2/5 

Endlich ergiebt sich y aus cler dritten Gleichung (4.). Fur y> = 90 J, 
d. b. wenn der Radius Vector des Planeten die Kugel in Q trifft, wird das nach 
(f genommene Integral gleich Null, und man erhalt 



wo i/> den dem Punkt Q entsprechenden Werth des Winkels y bedeutet. Da 
nun tg^^ J - 1st, so bezeichnet if den Winkel, welchen die Axe der y mit 

t/ 

der Ebene PQR bildet, d. h. es ist, wenn die Axe der y durch den Widder- 
punkt V geht, y = VR = VO^-OR = der Lange des aufsteigenden Knotens 
-+-90. Man hat also 

(10.) /= ____ (90H- Lange des aufsteigenden Knotens). 



Somit sincl alle in den Gleichungen (4.) vorkommenden Constanten bestimmt. 
Bei der Integration der partiellen Differentialgleichung (2.) hatten wir 

auch den Umstand benutzen konnen, dass in (2.) nicht ip selbst vorkommt. 

6 W 
sondern nur - Die in Folge dessen anzuwendende Transformation 



wiirde uns zu der nur zwei unabhangige Variable enthaltenden partiellen Diffe 



rentialgleichung 



<9r / r* V dy> 

gefiihrt haben. Indessen wiirde die Integration derselben ein Verfahren erfordern, 
welches von dem oben angewandten nicht wesentlich verschieden ist. 



190 
Fiinfundzwanzi^ste Vorlesung. 

Losuno- desselben Problems durch Einfiihrunff der Abstande des Planeten von 

o o 

zwei festen Punkten. 

Zwischen zwei Radien Vectoren der Planetenbahn und der ihre End- 
ptinkte verbindenden Sehne giebt es sehr merkwiirdige Relationen, za welchen 
man, wenn man von den gewohnlichen Differentialgleichungen der elliptischen 
Bewegung ausgeht, nur clarch complicirte Rechnangen gelangt. Wir werden 
diese Relationen ohne Schwierigkeit aus der partiellen Differentialgleichung her- 
leiten und haben dabei nur die Hypothese zu maehen, dass sich W durch den 
heliocentrischen Radius Vetor r und die Entfernung p des Planeten von einem 
anderen Punkt M ausdriicken lasse, eine Hypothese, deren Richtigkeit zwar 
nicht ohne Weiteres a priori einleuchtet*), die aber in der Rechnung ihre 
Bestatigung finden wird. 

Die Coordinaten des Punkts M seien a, b, c, so dass 



ist. Unter der gemachten Hypothese, dass sich W durch r und $ ausdriicken 
lasse, hat man 



dW 


dW 


dr 


d 


W 


d Q 


dW 


X 


dW 


cc 


(I 


dx 
dW 


dr 
dW 


dx 
dr 


\ 
c 

, d 


* 

W 


dx 

dQ 


dr 
dW 


r 

y 


dW 


y 


b 


dW 


dr 
dW 


dy 
dr 


dQ 
dW 


dy 
d Q 


dr 

dW 


r 

z 


CQ 

dW 


Q 

z 


c 


dz 


dr 


dz 


c 


p 


dz 


dr 


r 


do 


p 





Diese Ausdrucke sind in die partielle Differentialgleichung 



d\VV (dWV 2k 9 
(1.) l-al-M-sr )-H-a-| =- ~ 2a 

V dx ) V ay ) V dz J r 

einzusetzen, dann verwandelt sich deren linke Seite in 

> 1 QWdW 



Der in Klammern stehende Ausdruck ist gleich ? 2 -h> 2 rl, wo 

rl = 
also geht (1.) in 



*) Zum Beweise bedarf es der aus den Flachensatzen hervorg-ehenden Folgerung, dass die Bewegung- 
des Planeten in einer Ebene gescbieht, und der bekannten Thatsache, dass fur einen innerhalb der Ebene 
variablen Punkt die beiden Entfernungen von zwei festen Punkten als Bestimmungsstiicke angesehen 
werden konnen. 



191 







(iber. Das Product der beiden partiellen Differentialquotienten kann man weg- 
schaffen, wenn man anstatt r und > ihre Summe und Differenz 

einfiihrt, so dass 

d\V _8W 8W 8W _6W 8W 

wird. Alsdann ergiebt sich 

(.^ T f 7 * \ 2 f ^\ TT7" \ 2 2 i 2 ** ( f ^ TT7" \ 2 f J^l TT 7 " \ 2 ^ O 7 2 

~8a~ ) " h2 V9(7 r ) + " ~7^~ L ll"a7j Vdff r J ] = 
und nach Multiplication mit 7 ^> 



r 



oder, nachdem fiir r, p ihre Werthe 



substituirt sind, schliesslich 
(20 (^-r 



Diese partielle Differentialgleichung liisst sich nach dem bereits in der 
vorigen Vorlesung angewandten Verfahren durch Zerspaltung in zwei ge- 
wohnliche DifFerentialgleichungen integriren, von denen die eine nur a und 

-3 , die anclere nur o und -^~r enthalt. Indein man sich auf der rechten 
off do 

Seite eine willkurliche Constante ft zugleich additiv und subtractiv hinzugefiigt 
denkt, gelangt man zu den beiden Differentialgleichungen 



und hieraus folgt fur W der Werth 



W= dz 




Die Vorzeichen der beiden Wurzelgrossen oder, was dasselbe ist, der Integrale 

sind willkiirlich und unabhangig von einander. Man darf also fiir W ebenso- 
wohl die Summe als die Differenz beider Integrale setzen, gelanst unter beiden 

O " o O 

Annahmen zu richtigen Integralgleichungen und kann nur die grossere oder 
geringere Einfachheit der sich ergebenden Formeln als Grund fur die Wahl 
des einen oder anderen Ausdrucks gelten lassen. Entscheiden wir uns fiir die 
Differenz und setzen zur Abkiirzung 



192 



so haben wir als Losung der Grleichung (2.) den Ausdruck 

(4.) W -- = 

dem wir auch die Form 

(4*.) 



geben konnen. Hieraus folgt z. B. fur die Einfuhrung der Zeit in die elliptische 
Beweun des Planeten die Formel 



= - if _ g ___ , r _ g 
da *J r+fcV+ V /a 2 -- 



deren rechte Seite im Allgemeinen aus elliptischen Integralen besteht. Da sich 
aber die Zeit in den Coordinaten, wie bekannt ist, durch Kreisbogen ausdrftcken 
lasst. so ergeben sich hieraus Folgerungen fiir die elliptischen Integrate, welche 
auf das Fundamentaltheorem der Addition fi ihren. 

Der Ausdruck (4.) ist eine vollstandige Losung der partiellen Diffe- 
rentialgleichung (2.), denn man kann ausser der darin enthaltenen willktirlichen 
Constante ft noch eine zweite C additiv zu dernselben hinzufi igen. Aber der 
Ausdruck (4.) ist auch eine vollstandige Losung der partiellen Differential- 
gleichung (1.); denn in Beziehung auf cliese sind nicht allein ft und C, sondern 
auch die Grossen a, b, c willkiirliche Constanten, da sie in (1.) nicht vor- 
kommen, wahrend sie in den Ausdruck (4.) eingehen. Als Losung von (1.) 
enthalt claher (4.) mehr als die nothige Anzahl von Constanten, d. h. es sind 
iiberfltissige Constanten in demselberi. Will man dergleichen vollstandige 
Losungen einer partiellen Differentialgleichung, in welchen uberfliissige Con 
stanten enthalten sind. zur Integration des damit zusammenhangenden Systems 
gewohnlicher Differentialgleichungen anwenclen, so darf man zwar noch immer 
die nach sammtlichen Constanten genonimenen Differentialquotienten neuen 
willkiirlichen Constanten gleich setzen, aber diese neuen Constanten sind nicht 
mehr unabhangig von einander. Andererseits steht es frei, iiber die uber- 
fii issigen willktirlichen Constanten nach Gutdiinken zu verfiigen, und diese Ver- 
f i igung kann im vorliegenden Fall dergestalt getroffen werderi, dass das elliptische 

Integral ^ds]/F(/), welches den Ausdruck (4*.) von W bildet, sich in ein cir- 
culares verwandelt. Dieselbe Verwandluns findet alsdann auch fur die hieraus 



193 

hergeleiteten elliptischen Integrale statt, welche in den partiellen Ableitungen 
von W nach den in F(i) enthaltenen Constanten vorkommen. 

Diese Specialisirung des Integrals \ds}/F(s) kann auf zwei Arten ge- 

schehen. Die erste besteht darin, dass der Zahler --^cts 9 -\-f^s-\-^ von F(s) 
zu einem vollstandigen Quadrat gemacht wird, die zweite darin, dass diesem 
Zahler em gemeinschaftlicher Theiler s r mit dem Nenner s 2 rl von F(s) 
o eo-eben wird. 

o o 

Wir wahlen die zweite Art und zwar aus folgendem Grande. Leitet 
man aus (4*), ohne eine Specialisirung d er Constanten vorgenommen zu haben, 

^ 7T/" 

die InteoTalo leichuno en her, und unter diesen die Gleichuno a = -^. welche, 

da 

da a in o, a und r tl enthalten ist. die Form 



da da 

annimmt, so darf man die hierin vorkommenden elliptischen Integrale nicht 
von x = a, y = b, z = c anfangen lassen, weil alsdann ^ = 0, a = G = r 
ware, und die Integrale wegen der in ihnen enthaltenen ( 4) ten Potenz von 
o 2 rl, u 2 - rl unendlich wiirden. Dies Unendlichwerden der Integrale in (5.) 
wird durch die oben erwahnte erste Art der Specialisirung nicht verhindert, 
wohl aber durch die zweite. Da es aber gerade nothw^endig ist, in den 
Formeln, die abgeleitet werden sollen. p = zu setzen. so entscheiden wir uns 
fur die zweite Art. 

Wenn wir also annehmen, dass der Zahler von F(s~) fur ,9 = r ver- 
schwindet, so erhalten wir demnach zwischen ft und r u die Relation 

(6.) ^ = $<*rl-k\. 

Dadurch wird 

= -iay- 

s 

also 



Dies ist der Werth von W, aus dessen Differentiation sich die merkwiirdigen 
Formeln fur die elliptische Bewegung ergeben, die von Euler und Lambert 
entdeckt, von Gibers und Gauss bei der Bestimmung der Klemente der Bahn 
benutzt worden sind. 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 25 



194 



Das System der ersten Integralgleichungen wird durch die Formeln 
dx dW ddW dz 8W 



dt 



dy dt dz 



dW dW dW dW dW 

gebildet. Wir haben bereits oben -~ , -~ , -= durch -g und -5 und die 

d# cy 02 or OQ 

r\ TTT O TT7 

letzteren Grossen durch -^ und -~-j- ausgedrflckt. Indem wir diese Relationen 

da da 

dW d W . 
in einander substituiren und fur -3, -5-7- ihre aus (7.) sich ergebenden Werthe 



<H-r 



(8.) 



7,2 
H 



-\a setzen, erhalten wir die Gleichungen 



dx 



dt 



z-c 



a+r, 



"+ 



. 



dt V r Q ) r (r-f-7- V r Q 

deren Richtigkeit man prilfen kann, indem man sie quadrirt und addirt, und 
hierdurch, wie es sein muss, den Satz der lebendigen Kraft ableitet. 

Das System der eigentlichen zwischen den Coordinaten stattfindenden 
Integralgleichungen wird gebildet durch die Formeln 

"1 TJT ^ TTT ^ TT7" 

f~i vv /S l/l/ ti \v 

I \J 11 7 C7 11 I O>r 

n _ A / _ 

I* ^ ) V 07 J W r-| ; 

oa DO oc 

wo a , b , c neue willkiirliche Constanten bedeuten. Aus Gleichung (7.) ergiebt sich 

a r ds da ../ k* da 



8W 



oder indem man fur 
sichtigt, dass 



-TT , -7T 
da da 



da 



., ^ T7 .-, 
ihre Wertne 



x a 



da r <7 4-r 



setzt und beriick- 



ist. 



da 



a x i 



dW dW 
Mit Benutzung dieses Werthes und der entsprechenden Werthe von -^-, -^~ 

erhiilt man die gesuchten Integralgleichungen in folgender Gestalt: 



195 



(90 



x, ,, 

6 \-,/ A, , 

1 ff I 

IT U, 





Die Bestimmung der Constanten a , b , c geschieht, indem man p = setzt, 
was ein fur g statthafter Werth ist, da in Folge der in Gleichung (6.) enthaltenen 
Specialisirung der Constanten der Punkt (, b, c) ein Punkt der Planetenbahn wird*). 

*) Um diese Behauptung zu erweisen, ist es nothwendig, auf den noch nicht specialisirten Werth 
(4*.) von W zuriickzukommen. Derselbe ist eine vollstiindige Losung der partiellen Differentialgleichung (2.), 
und auf diese letztere wird das Problem der Planetenbewegung, unter Ilinzufiigung der Gleichung der 
Planetenbahn -Ebene, zuriickgefiihrt, wenn man eine Losung in den Variablen a, o sucht und a, b, c nicht 
als willkiirliche, sondern als gegebene Constanten ansieht. Ilieraus folgt, dass, wenn man aus (4.) die neue 

BW 

Gleichung ft = ~ herleitet, wo /? eine willkiirliche Constante bezeichnet, diese mit der Gleichung der 

Planetenbahn-Ebene zusammen die Bahu bestimmt. Die Ausfuhrung der Differentiation nach ft giebt. wenn 
zur Abkiirzung 

gesetzt wird, 

, BW r ds 

2/r = 2 -* = , . 

^ J V7& 

o 

Dies ist in transcendenter Gestalt das Integral der Differentialgleichung 

dn do 

Vm V/W 

deren Integralgleichung in algebraischer Gestalt zufolge des ^w/erschen Additionstheorems der elliptischen 
Integrale, und zwar nach der von Lagrange gegebenen Form desselben, (Miscellanea Tauriuensia IV, p. 110) 
die folgende ist: 



wo G 1 die Integrationsconstante bedeutet. 

Um nun die Bedingung dafiir zu erhalten, dass der Punkt (n, b, <) in der Planetenbahn liegt, 
d. b. dass p = gesetzt werden kann, woraus dann x = a, y = b, 2 = c, r r , n = n = r folgt. unter- 
suchen wir zunachst den Fall, wo H unendlich klein ist. 

Es sei der Winkel, welchen der Radius Vector r , von der Sonne aus nach dem Punkt (it, b, <) 
hin gerichtet, mit der Tangent e der Planetenbahn im Punkt (. 6, c), von diesem Punkt aus nach dem 
unendlich nahen Punkt (x, y, 2) hin gerichtet, bilclet, dann hat man fur unendlich kleine Werthe von o 

r r pcos 
und demzufolge 

Qj) (o r = r r -f ( = 

\n r = r r (> = (1 



Hieraus ergiebt sich, dass fiir unendlich kleine Werthe von <> die beiden (Irdssen !/(") und ( a/ ) pro 
portional YO werden, dass also auf der linken Seite von Gleichung (1.) der Ziihler V/(n)-\- 1// ( ) proportional 
]/(>, der Nenner n n proportional", der ganze Bruch also unendlicli wird, wahrend die rechte Seite einen 

25* 



196 
Indem \vir also den beweglichen Punkt (.r, ?/, z) mit clem festen (a, b, c) 

zusammenfallen lassen, erscheinen die Briiche - , , unter der 

Q Q Q 

Form {}. Hire wahren Werthe sind cos|, cos^, cost, wenn wir mit if, ^, 
die Winkel bezeichnen, welche die Tangente der Planetenbahn in (, b, c) mit 
den Axen der x, y, z bildet. Da iiberdies G = o = r () wird, so ergeben sich 
aus den Gleichungen (9.) die Bestimmungen 



(10.) a = 2 

Dieselben Werthe mit entgegengesetzten Zeichen ergeben sich aus den Grlei 
chungen (8.) fiir die Grossen j, jj-, -j , wenn man (> = setzt, und es 

sind demnach a , b , c die Component-en der Geschwindigkeit des Pla- 
neten im Punkte (ct, b, c)*). 



endlichen Werth behalf. Der Werth p = 1st also nur claim zulassig, wenn die Function 



den Factor s ?, welcher fiir s = n und s = n und fiir unendlich kleine Werthe von o proportional o 
wird, noch ein zweites Mai besitzt, d. h. wenn die zwischen /? und r Q oben aufgestellte Relation 

(R.) /S = |r-Pr 

besteht. 

*) Wenn man die Gleichungen (9.) quadrirt und addirt, so erhalt man zwischen a , b , c die Relation 

M 



welche nichts anderes ist, als der Satz der lebendigen Kraft fiir den Punkt (a, b, c). Diese zwischen den 
Constanten , b , c bestehende Abhiingigkeit bestatigt dasjenige, was iiber das Verhalten der Losungen mit 
aberflussigen Constanten oben im Text bemerkt worden ist, und zeigt, dass die drei Gleichungen (9.) nur 
fiir zwei gelten. Diese zwei, auf welche sie sich reduciren lassen, kann man folgendermassen erhalten. 
Eliminirt man zwischen den Gleichungen (9.) die beiden in denselben enthaltenen Wurzelzeichen, so ergiebt sich 

(III.) (be 1 ft ,.-) x -\-(ca c a-)y + (// a b)z = 

als die Gleichung der Ebene der Planetenbahn, welche durch die Werthe x = a, y = 6, z c befriedigt 
wird. Multiplicirt man ferner die Gleichungeu (9.) der Reihe nach mit a, b, c und addirt die Resultate, so 
erhalt man 

cc )(i o } 



- - 



= (^ + -o)(" - -o) l IT 
( r B + r 



als Gleichung der Bahncurve in der Ebene der Bahn. Die Identitiit dieses Ergebnisses mit dem in Gleichung 
(I.) der vorhergehenden Anmerkung fiir den vorliegenden Fall enthaltenen lasst sich leicht verificiren. In- 
dem man die frtihere Definition des Winkels beibehiilt, hat man 



aa -{- bb -{- cc = 2r COS^ 
woraus unter Beriicksichtigung der Gleichungen (II.) hervorgeht, dass die Gleichung (IV.) fiir unendlich kleine 



197 



Es bleibt jetzt nur rioch iibrig die Zeit einzufiihren , was durch die 



3W 
Forme] t = -^- oder 

da 



ds 




o-eschieht. Dies Integral fiihrt auf Kreisbogen: indem man dieselben auf die 

o O " 

gehorige Form bringt, erhalt man die von Gauss in der theoria motus gegebenen 
Formeln*). Der Annahme a = entspricht die parabolische Bewegang, sie 
ergiebt die zur Bestimmung der Elemente einer Kometenbahn dienenden Formeln. 

o o 

Wahrend die Gleichungen (7.) bis (11.) fiir zwei vom Brennpunkt aus- 
gehende Radien Vectoren r, r () und die sie verbindende Sehne p bei der in einem 
Kegelschnitt stattfindenden Bewegung eines Planeten gelten, ergeben sich allge- 
meinere Formeln fiir diese Bewegung, wenn die Specialisirung (6.) nicht vor- 
genommen wird, der Punkt (, b, c) also nicht in der Planetenbahn liegt. Als- 
dann gilt fiir W die Gleichung (4.); in ihr sowie in den daraus abgeleiteten 
Integralgleichungen kommt die Differenz zweier elliptischen Integrale vor, die 
von derselben Form sincl und sich nur durch ihre Argumente a und a unter- 
scheiden. Nach dem Additionstheorem der elliptischen Integrale lasst sich diese 
Differenz in ein Integral mit einem neuen Argument a", vermehrt um eine 
algebraische und eine circulare oder logarithmische Function von G und cr , 
transformiren. Da nun die Integralgleichungen., wie wir wissen, keine elliptischen 
Integrale enthalten, so muss das neue Argument a", welches algebraisch von 
o und a abhangt, einer Constante gleich werden. Die Gleichung o" = Const 
1st also eine der Integralgleichungen**) und zwar die Gleichung der Bahncurve, 
wahrend der alsdann iibrig bleibende algebraische und logarithmische Theil den 
Rest der Integralgleichungen liefert. 

Die aus (4.) folgenden allgemeinen Formeln haben auch noch die merk- 
wiirdige Eigenschaffc, dass sie, abgesehen von einer zu erwahnenden Modification, 

O o o 

noch gelten, wenn nach dem Punkt (, b, c) eine zweite Attractionskraft wirkt. 



-i/ & 

Werthe von o ein identisches Resultat liefert, vorausgesetzt, dass die Wnrzelgrossen I/ 4- 

r ff + o 

]/ r 4- sich alsdann beide dem mit demselben Zeichen genommenen Werthe \~ -i niihern. 

" + o 2r 

*) Vgl. Crelles Journal Bd. 17, p. 122. 
**) Vgl. hieriiber die Anmerkung auf p. 105. 



198 

Alsdann sind aber a, b, c nicht mehr willkiirliche, sondern gegebene Constanten, 
wir haben ausser nur die eine Constante /? and eine willkiirliche Verfiigung 
fiber rlieselbe steht ans nicht mehr frei. Die Modification, welcher gegenwartig 
die partielle Differentialgleichung (2.) unterliegt, deren rechte Seite 



k * 

ist. besteht darin, dass zur Kraftefunction U ein zweites von der Attraction 

r 

k" 

nach dem Punkte (a, b, c) herriihrendes Grlied - - hinzukommt. dass also die 

rechte Seite sich in 

2ro( 4- a] = P(<r ff )4- 2 (rf4V) W<7 2 ff 2 ) 
^ \ r o 

verwandelt. Demnach geht die partielle Differentialgleichung (2.) in die fol- 
gende fiber: 



Da man diese Grleichung in die beiden gewohnlichen Differentialgleichungen 



zerle^en kann, so erhalt man fiir W die Losunii" 

c5 " O 



in welcher sich die beiden elliptischen Integrale nicht mehr durch das Argument 
allein, sondern auch durch die Form uriterscheiden. Fiir das Problem der 
Attraction nach zwei festen Centren im Raume ist die hierin enthaltene Anzahl 
von Constanten nicht geniigend. Fiir das Problem in der Ebene hingegen 
(und hierauf lasst sich das Problem im Raume zuruckfiihren) ist der obige 

g; 



r) W 

Werth von W eine vollstandige Losung; - - = /? giebt die Bahn des Punkts. 



SW , -,. rj ., 

^^ = a t die Zeit. 

da 



Sechsundzwanzigste Vorlesung. 

Elliptische Coordinaten. 

Die Hauptschwierigkeit bei der Integration gegebener Differentialglei 
chungen scheint in der Einfiihrung der richtigen Variablen zu bestehen, zu 



deren Auffindung es kerne allgemeine Regel giebt. Man muss daher das um- 
o-ekehrte Verfahreri einschla^en imd nach erlangter Kenntniss einer merkwflrdigen 

O O O O 

Substitution die Probleme aufsuchen, bei welchen dieselbe mit Gliick zu brauchen 
1st. Ich habe eine solche Substitution der Berliner Academie in einer auch 
im Crelleschen Journal*) abgedruckten Note mitgetheilt and eine Reihe von 
Problemen besonders aus der Mechanik angefiihrt, fur welche sie anzuwenden 
ist. Diese Anwendbarkeit beruht vornehmlich clarauf, dass der Ausdruck 



. n . , 

-+- 1 -= auch in den neuen Uoordmaten eine einlache (iestalt 

\oz ) 

annimmt. Indem wir uns vorbehalten, jene Probleme, zu welchen die bereits 
in der vorigen Vorlesung beiliiufig behandelte Attraction nach zwei festen 
Centren ebenfalls gehort, der Reihe nach durchzugehen, bemnnen wir damit, 

o O 7 O 

die erwahnte merkwiirdige Substitution selbst aufzustellen, und zwar der All- 
gemeinheit wegen sogleich fiir eine beliebige Anzahl von Variablen. 
Es sei die Gleichung 



(\\ 

vorgelegt. Die Grossen 15 2 ? <\ seien nach ihrer Grosse geordnet, so dass 

1 <a<3 <"<> 

wo das Zeichen <C so zu verstehen ist, dass die Differenzen a 2 15 a 3 2 > 
positive Zahlen sein sollen. Die Zahler sind sammtlich positiv, was dadurch 
angedeutet ist, dass fiir dieselben Quadrate gesetzt worden sind. Multiplicirt 
man die Gleichung (1.) mit dem Product (a 1 -hA)(a 3 -h^)...(aH-^), so erhalt 
man eine Gleichung n tfn Grades in A, deren Wurzeln wir mit ^ 1? /,, ... A n 
bezeichnen wollen. Es ist leicht zu beweisen, dass diese n Wurzeln sammtlich 
reell sind. In der That, lassen wir 2 von oo bis -f-co alle Werthe durch- 
laufen und untersuchen wir, welche Werthe die linke Seite der Gleichung (1.), 
die wir mit L bezeichnen wollen, dabei annimmt. Fur / = oo wird L = 0; 
mit wachsendem ^ wird L negativ und durchlauft alle negativen Werthe, bis 
es fur 2= a n unendlich wird. Da niimlich a n die grosste der Zahlen 1? 
2 , . . . n n ist, so erreicht A zuerst den Werth - a n , d. h. H -\-% ist der erste 
Nenner, welcher verschwindet. Ehe 2 den Werth -a n erreicht hat, ist 



y 

negativ, und indem sich a n -+-A der Null nahert, wird - oo. Wachst 

a n -\- A 
*) Bd. XIX, p. 309. 



200 

A welter, so wircl a n -\-A positiv, - f-r- macht daher einen Sprung von --oo 
nach -h 00 . und da die ilbrigen Briiche endlich und zwar negativ sincl, so gilt. 

X* 

was von ^ " gezeigt worclen ist, auch von L. Wachst nun 2 welter und 

kommt in die Nahe von --_!, so wircl L = -oo, hat also von / = a n bis 
^ = - -i alle reellen Werthe durchlaufen ; daher muss in diesem Intervall 
wenigstens eine Wurzel der Gleichung liegen und zwar nur eine, well L von 
2 = - <r n bis / = - ff n _ t continuirlich abnimmt. Bei 2 = M-1 macht L 
wieder den Sprang von -oo nach -hoo, und dasselbe gilt nun fur das weitere 
Fortschreiten , so dass in jedem der Intervalle - bis -a n _ l , _, bis 

<V-2 5 3 bis 2 , 2 bis ! eine und nur eine Wurzel der Gleichuno- 

t"" 1 

liegt. Hat nun 2 den Werth --a^ soeben ilberschritten, so ist L = -hoo, und 
inclem 2 von da an welter wachst bis nach -hoo, nimmt L bis hin ab; in 
diesem Intervall -a, bis -hoo muss also ebenfalls eine Wurzel liegen. So 
haben wir nachgewiesen, dass die Gleichung (1.) n reelle Wurzeln 2^, 2 2 , ... 2 n 
hat. Wir wollen dieselben der Grosse nach geordnet annehmen, so dass 2^ 
zwischen -hoo und a l} 2. 2 zwischen a x und <7 2 , u. s. w. endlich 2 n zwischen 

_i und a n Jiegt. Man hat also 

Wenn man diese Werthe fur 2 in die Gleichung (1,) einsetzt, so ergiebt sich 
daher folgendes System identischer Gleichungen: 

r 2 

"n -, 

= i? 



a_i-hA, -hA, 

,~2 2 
WB 1 , *n _ -, 
1) 



= 1. 

Sehen wir die Grossen a als constant, die Grossen x und 2 dagegen als variabel 

o o 

an, so ist deren gegenseitige Abhangigkeit also von der Art, dass, wahrend die 
Grossen /I,, 2 2 , . .. 2 n aus den Grossen x\, x\. ... x l durch Auflosung der 
Gleichung n* n Grades (1.) gefunden werden, urngekehrt die Grossen x\, xl . .. .r; 
durch ein System linearer Gleichungen als Functionen von 2^ 2 2 ... 2 a zu 
bestimmen sincl. Es kommt jetzt a-uf die Auflosung des Systems (S.) an, wozu 
wir von den verschiedenen anwendbaren Mitteln das der successiven Elimination 



201 

wahlen. Zuerst eliminiren wir vermittelst der ersten Gleichung x* aus den 
fibrigen. Um es z. B. aus der zweiten zu eliminiren, miissen wir die erste mit 
a w -h ^ multiplicirte Gleichurig von der zweiten mit -+- ^ 2 multiplicirten abziehen 
und erhalten 



an-f-A, \ 

T~I 

a,4-A, J 



l^H-A 
Mit Benutzung der Identitat 

O, a n )(A 2 A,) 



a,4-A 2 c^-i-A, ( 
und nach Fortlassung des alien Gliedern gemeinschaftlichen Factors A.-, ^ geht 

O O 

diese Gleichung in 

a. a n ., tt n <> . &n\ &n > _ -i 



(*, -+-AJ (,+*,) (a l 4-A 1 )( 8 +A 9 ) (a, 

fiber. Macht man dieselbe Elimination zwischen der ersten und dritten, der 
ersten und vierten, . . . endlich der ersten und n ten Gleichung des Systems (S.), 
so erhalt man folgendes System (/? l) ter Ordnung: 

, a n a, ,, , <t,>-i 



-*t I 7 . , NX 1 \ ^2^^ I f , NX , -j N 

^2-1-" A 1/ )^9~r"A 2/ ; ^a re _i f- AJ ^ (^a^i-i A 2/ ) 

f - 7> 2 _l - " y^ I , ._! " ?? .T- 2 

~? I 1 S~? I J \ 1 "^ / I 2 "\ / , J N <^2~l <^ / , -j N / . -j \ "* 

si lx\l 3x \2 lx\2 3x \ ^ ^ 1 x v 3x 



a n _i 



a i+^i)( a iH-^) (Xr+-^i)( a 2 

Von diesem ersten reducirten System (it l) ter Ordnung kanri man wieder auf 
dieselbe Weise zu einem zweiten reducirten System (/* 2) ter Ordnung tibergehen, 

wobei man nur zu bemerken braucht, dass, wenn man Y~ x li ~~*--h ^ 
" _!, als neue Variable ansieht, das System (<Sj.) auf die Form des 



_ 
Systems (8.) zuruckkomrnt. So erhalt man das zweite reducirte System: 

(, ra )(j w i) >i , ( a 2 a )( a 2 a ^2 , ( a n 2 ^X a 2 a n- 



(a 1 4-A 1 )(a 1 H-A 2 )(a 1 -4-A 3 ) (a 2 H-Aj)( 2 -i-A 2 )(a 2 -|-A 3 ) (a w _H-A 1 )(fl%_H-A 8 )(a_; 

X NX N X NX N X NX 

(fl. Cl n )(tt, tt n \) (ffi., JV&4 tt n 1> ltt ?! 2 Q"n)\Q n2 ^?i- 

" iJ -Xl~\ HT 



( 1 -H-A 1 )(a 1 -hA 8 )(a 1 -hAJ 1 



(a, a w ) (a , a B _i) 2 (a 2 a)(a 8 a_i 



.1 



(*,H-^,)(,H-^)(,+W ( 

und wenn man auf diese Weise fortfahrt, kommt man endlich zu dem System 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 26 



202 



($_!), welches nur die eine Variable x\ enthalt und nur aus einer Gleichung 
besteht. Diese Gleichung, deren Form aus dem Fortgano; der Rechnung "e- 

O O O o o 



schlossen wird, ist 



(j a^ (a, a_i) . . . (a, a 8 



and man erhalt also die folgenden aus der Auflosung von (>S.) hervorgehen- 
den Werthe: 



(20 



X". = 



2 a,)0 2 a s )...(o 8 



-z 

*I 



(a m a, ) (a m a g ) . . . (a m 



X NX NX X 

Da diese Ausdriicke Quadraten gleich werden, so miissen sie positiv sein, was 
sich auch leicht nachweisen lasst. lu dem Ausdruck von x\ z. B. ist im Zahler 
der erste Factor positiv, die iibrigen negativ, also hat der Zahler dasselbe 
Zeichen wie ( I) 78 "" 1 , im Nenner sind alle n 1 Factoren negativ, derselbe hat 
also auch dasselbe Zeichen wie der Zahler, folglich ist der Bruch positiv. 
Aehnliches gilt von den Werthen der iibrigen Grossen x\, %l, ... x- n . 

Man kann die Ausdriicke (2.) auch priifen, indem man sie in das 
System (>S.) substituirt und zeigt, dass dasselbe identisch erfiillt wird. Hierbei 
braucht man den aus der Theorie der Zerlegung in Partialbriiche bekannten 
Hiilfssatz, wonach die Summe 

m=n a s 
y, rn 

fur 5=1, 2, ... n 2 verschwindet und fiir 5 = n 1 der Einheit gleich 
wird, wahrend sie fiir jeden hoheren Werth n l-i-r von 5 der Summe der 
Combinationen mit Wiederholungen zu r der Elemente rt ]? 2 , ... a n gleich 
ist, ein Satz, dessen Consequenzen ich in meiner Inaugural -Dissertation*) 
erortert habe. Die der Grosse ^ entsprechende Gleichung des Systems (S.) ist 



*) Disquisitiones analyticae de f ractionibus simplicibus. Berolini 1825. (Ges. Werke, Bd. III., p. 3f.f.) 



203 

r 2 ~2 mn r 2 

i ^2 I I ^n TV "*" 

a 2 H-A,- a n -\-ki m= i a m -+- A; 

Damit dieselbe durch die Werthe (2.) der Grossen #J, zf, ... o erfiillt werde, 
muss die Gleichung 

-. _ _ "J" ( 



eine identische sein, was in der That durch den eben erwahnten Satz verificirt 
wird, da im Zahler a%~ 1 die hochste Potenz von a m 1st und diese den Coeffi- 
cienten 1 hat. 

Die durch die Formeln (2.) defmirten Grossen x\, x\, ... x; genugen 
noch anderen Gleichungen, die sich durch den angeftihrten Satz ebenfalls auf 
der Stelle ergeben. Dividirt man namlich die Grossen x^ t nicht bloss durch 
a m~^~^i) sondern durch das Product der Factoren a ,-+-% a tn -+-A k , wo ^, ^ 
zwei verschiedene Wurzeln der Gleichung (1.) bedeuten, so erhalt man eine 
Summe, welche sich von der rechten Seite der Gleichung (3.) nur dadurch 
unterscheidet, dass der Zahler in Beziehung auf a m nicht bis auf die (n l) te , 
sondern nur bis auf die (n 2) te Potenz steigt. Daher wird die Summe Null, 
und man hat die Gleichung 



Untersuchen wir, was aus der linken Seite der Gleichung (4.) wird, wenn 
^., % k nicht mehr von einander verschiedene Wurzeln, sondern eine und dieselbe 
Wurzel der Gleichung (1.) bezeichnen. Es fragt sich also, welchen Werth 
der Ausdruck 



(5.) M l= *- ( 

erhalt. wenn derselbe durch die ^ allein dargestellt wird. Durch Substitution 
der Werthe (2.) an die Stelle der x 2 ergiebt sich 

=i (a m -+- A,-) (a m a, ) . . . (a m a m _i) (a m a m+ i) . . . (a m a n ) 

Der Zahler des unter dem Summenzeichen stehenden Bruches ist eine Function 
(n l) ten Grades von a m . Setzen wir in demselben fur jedes a m -\-% t den Aus- 
druck <? m -f- /, -h ,A S 2,, entwickeln darauf den Zahler nach Potenzen von a m -\-2i n 
so wird das von a m -h A t freie Glied 

(Aj AJ) (A 2 A,) . . . (A,-_ i A,-) (A,- + i A,-) . . . (A A,-). 

26*) 



204 

Alle ubrigen Glieder der Entwicklung zusaminengenommen und durch den 
Factor m -h/ ( - des Nenners dividirt bilden eine Function (M 2) ten Grades von 
a m und fallen daher zufolge des erwahnten Htilfsatzes bei der Summation 
nach m heraus. Demnach reducirt sich der Ausdruck von M t auf 

A,) ..... (Ai-. AQCAH-i AQ ..... (A M AQ 



; (a m a, ) (a m a a ) . . . (, a m _i) (a, B a w +i) . . . (a m a) 

und da nach der Theorie der Zerlegung in Partialbriiche bekanntlich 

m = n "- 1 



ist, so ergiebt sich fur M, schliesslich der Werth 

-- V" ~ A <)( A - A g )...CAf Af_i)(A f A.- +1 )...(Aj AQ 



d. h. man hat die Gleichung 





(a, -(- A;) (a 2 -h Ai) . . . (a n -h A,-) 
sich auc 
leiten. Man setze 



Dies Resultat lasst sich auch auf einem anderen etwas einfacheren Wege ab- 



<> = 1 -l^+- 



sodass die Gleichung M = mit der Gleichung (1.) identisch ist: dann lasst 
sich der durch Gleichung (5.) definirte Ausdruck M, mit Hiilfe von u in der 
Form 



darstellen, und man wird daher den Ausdruck (6.) von M i a us u ableiten 
konnen, wenri man vorher in der rechten Seite von Gleichung (8.) die Va- 
riablen #j, xl, ... xl durch die Variablen /,. / 2 . ... / M ersetzt hat. Um diese 
Transformation zu erlangen rnultiplicire man u mit dem Product der Nenner 
(c^-+-X)(ac,-hfy...(c/ n -\-X), dann erhalt man einen ganzen rationalen Ausdruck 
n ter Q r( j nun g m % welcher filr die Werthe A 1? A 2 , ... A n von ^ verschwindet, 
und in welchem der Coefficient von fr die Einheit ist. Also hat man 

== (^ ^)(A ^ 2 )...(A A w ), oder 
__ (A AJ(A A 2 )...(A A CT ) 



eine Gleichung, aus deren Zusammenstellung mit (8.) man, beilaufig bemerkt, 



205 
schliessen kann. dass sich die Werthe (2.) der Grossen #jf, a|. ... a% als die 

negativ o-enommenen Zahler der Partialbriiche - r . - 5-, ... ^ r- in der 

,-+/, a 2 H-A n-h/ 

Zerlegung des Bruches (8*.) definiren lasseri. Indem wir den Ausdruck (8*.) 
von n nach ^ differentiiren und dann / == /i, setzen, erhalten wir 

V. __ ( du \ qi-AJC^-A,).. .(!,: A,-Q(A* A t - +] )...(A t jtj_ 

~ v dij^r ~ (a 1 -hA,)( 2 +^)---K^-^-) 



ubereinstimmend mit (6.). 

Die bisher gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, ohne weitere 
Rechnung zu der obigen Substitution die aus derselben folgenden Differential- 
formeln hinzuzufugen. Wenn man von dem in den Gleichungen (2.) enthaltenen 
Werth von .r; ( 



> __ 



(a m a,)(a m a 2 )...(a m a m _i)(a m a m+1 )...(a m a n ) 
den Logarithmus nimmt und dann differentiirt. so erhalt man 



Hieraus ergiebt sich fur die Summe der Quadrate der Differentiale von x^ 

# , ... x n die Forme! 

Xm 



-+-2 -, 
A ( 

Nach Gleichurig (4.) verschwindet der Coefficient von d/ n dA 2 , und ebenso 
werden die Coefficienten aller Producte der Difterentiale von zwei verschiedenen 
Grossen ^ gleich Null. Die Coefficienten der Quadrate dAl, dA%, . . . d%l dagegen 
sind nach Gleichung (5.) die Grossen M ly M 2 , .. . M n , also haben wir 

(9.) (dx\-)-das\-{ ----- h<fo!) = M } d^-{-MMl-t ----- \-M n d3il t 

wo die Coefficienten M durch Gleichung (6.) 

(t\\ M - - ^ - l ^ - 2 ^ " ^ - ~ 1 ^ ^ - A+l) \Al - An) 

~~S+-~) (+ Ai). . . (0,-h AO 

definirt sind. Giebt man dem Begriff der lebendigen Kraft -^(a;J 2 -i-^v-f-a;3 2 ) 
eines sich frei bewegenden Punktes mit der Masse 1 eine Ausdehnung auf n 
Dimensionen und setzt 



so kann man diesen Ausdruck T vermoge Gleichung (9.) auch durch die Va- 



206 
riablen /I und deren Differentialquotienten nach t darstellen, und erhalt 

Der erwahnten Ausdehnung auf n Dirnensionen entspricht die Hamiltonsche 
partielle Differentialgleichung, deren linke Seite der Ausdruck 

(8WY (8WY (dWY 

I i I - I i . . ii I 

I ~^ I 1^ I r* I T^ 1^ I r* I 

ist. Derselbe geht aus 2T hervor, indem man darin 

dT 



substituirt. Kommt es nun darauf an, den Ausdruck anzugeben, in welchen 
der obige bei der Transformation der Variablen x in die Variablen / iibergeht, 

o o 

so findet man denselben nach der neunzehnten Vorlesung, indem man auf den 
transformirten Ausdruck von 2T die Grleichungen 

dW dT dW 



anwendet. Im vorliegenden Fall ist nach Gleichung (10.) 

. dT .dW 



also hat man 



n 

2T= 

einzusetzen und erhalt auf diese Weise 



(dW.\ (. dw \ ( d ^\- A\_(dW\ _lfdlY 2 l ( dw 

\d^ ) " h V dx, ) ~ \da^ ) ~~ \M, \ dA, ) " H M a \ 81, ) ~ h .]/ UA J 

wo M; nach (6.) zu bestimmen ist, oder, was dasselbe ist, 



207 



Siebenundzwanzigste Vorlesung. 

Geometrische Bedeutung der elliptischen Coordinaten in der Ebene und im Raume. 
Quadratur der Oberflache des Ellipsoids. Rectification seiner Kriimmungslinien. 

Gehen wir nun auf die geometrische Bedeutung naher ein. welche die 
in der vorigen Vorlesung aufeestellte Substitution fur n = 2 und n = 3 hat. 



Fiir den Fall von zwei Variablen hat man die Gleichung 

= 1. 



Sieht man x, und # 2 als rechtwinMige Coorclinatan an. so ist diese Gleichung; 

z O o 

die eines Kegelschnitts und zwar einer Ellipse, wenn A in den Grenzen - a^ 
und -(-oo liegt. also beide Nenner positiv sind, dagegen einer Hyperbel, wenn 
2 zwischen a^ und a 2 liegt, also der erste Nenner negativ, der zweite 
positiv ist. Aendert sich, indem a^ und a., constant bleiben, die Grosse ^, 
so stellt die Gleichung ein System confocaler Kegelschnitte dar. Sind x l und 
#2 gegeben, so giebt es immer zwei Werthe von ^, welche die Gleichung 
befriedigen, der eine liegt zwischen <Y, und oo, der andere zwischen a^ 
und 2 , d. h. von einem System confocaler Kegelschnitte gehen durch einen 
gegebenen Punkt immer zwei und zwar eine Ellipse und eine Hyperbel. Die 
Variablen A, und ^ 2 f ur x \ un( i X 2 einfuhren heisst daher geometrisch, die 
Punkte in der Ebene durch die Ellipse und Hyperbel bestimmen, welche durch 
dieselben gehen und zwei gegebene Punkte zu Brennpunkten haben. Setzt 
man ^ = Const., so erhalt man alle Punkte auf einer Ellipse des Systems 
confocaler Kegelschnitte, setzt man 2 2 = Const., so giebt dies alle Punkte auf 
einer Hyperbel. Die b eiden Systeme der confocalen Ellipsen und Hyperbeln 
haben mit clem gewohnlichen Coordinatensystem das gemein, dass je zwei 
Curven eines Systems sich nicht schneiden, und dass jede Curve des einen 
Systems alle Curven des anderen Systems rechtwinklig durchschneidet. In 
der That, schneiden sich eine der Ellipsen und eine der Hyperbeln im Punkte 
(.T,..r 2 ), und ist demnach 

| 



so bilden die Normalen an Ellipse und Hyperbel im Punkt (#,, .1^) mit den 

Axr , . dE 8E dH dH 

Axen Winkel, deren Cosinus sich wie = :^- und wie -* :-s verhalten. 



208 

Sollen diese Normalen senkrecht auf einander stehen, so muss die Relation 

dE^dH_ QE dH _ 

oder 

, r i V V 

= 



bestehen, und da dieselbe zufolge Gleichung (4.) der vorigen Vorlesung eine 
identische Gleichung ist, so ist hiermit die Orthogonalitat von Ellipse und 
Hyperbel bewiesen. Hieraus geht eine Erleichterung bei der Bestimmung 
des Flachenelements hervor: denn wahrend dasselbe im Allgemeinen gleich 

(/ {/ /* (jT Cl 



-^r -r 2 l d2. 2 ist. braucht man im vorliegenden Fall nur die 

dA 2 oA 2 CMj / 

Bogenelemente von Ellipse und Hyperbel in einander zu multipliciren. Nach 
Formel (9.) der vorigen Vorlesung ist das Quadrat des Bogenelements einer 
beliebigen Curve 

(i.) 4W-HfaD- 7 



Hieraus ergiebt sich das Bogenelement der Ellipse, wenn man / t constant, also 
d^ == setzt, das der Hyperbel, wenn man A. 2 constant, also c?/ 2 = setzt. 



Diese Bogenelemente sind daher 



" und 4* - 



und das Flachenelement ist das Product derselben. d. h. 



Ganz analoge Betrachtungen konnen fiir drei Variable, d. h. fur den 
Rauin angestellt werden. Es seien x ly %<,, # 3 reclitwinklige Coordinaten; dann 
stellt die Gleichun 






a 2 -(-A 

wenn man ^ variiren lasst, ein System confocaler Oberflachen zweiten Grades 
dar. Die Satze fiber confocale Oberflachen zweiten Grades (d. h. solche, in 
denen die Hauptschnitte die namlichen Brennpunkte haben) gehoren zu den 
merkwiirdigsten der analytischen Geometric; ich habe einige der wichtigsten 
im 12 ten Bande des GVe/feschen Journals*) zuerst bekannt gemacht. Wenn 



*) Schreiben an Steiner p. 137. 



209 

Chasks in seinem Apercu historique*) dieselben, ohne meine Prioritat zu er- 
wahnen, als neu bezeichnet, so muss man sich daran erinnern, dass in jenem 
Werke alle deutsch geschriebenen Abhandlungen des Crelleschen Journals un- 
berucksichtigt geblieben sind**). 

Die confocalen Oberflachen theilen sich in drei Systeme, in ein System 
von Ellipsoiden, fiir welche A zwischen --a { und H-oo liegt, in ein System 
von einschaligen Hyperboloiden, fur welche ^ zwischen -a v und --a. 2 liegt. 
und in ein System von zweischaligen Hyperboloiden, fur welche % zwischen 
- 2 und -a, liegt. Im ersten Fall sind namlich die Nenner ^-h^, 2 H-^, 
(t> A -\-% sammtlich positiv, im zweiten Fall ist f^H-A negativ, wahrend 2 -|-/ 
und 3 +>l positiv sind, im dritten Fall sind o^-M und 2 -h^ negativ, 3 H-/ 
positiv. Fur jeden Punkt (# 1} x. 2 , # 3 ) giebt es drei Werthe A 1? A 2 , 2 3 von ^, 
welche der obigen Gleichung gemigen, und zwar entspricht ^ einem Ellipsoid, 
/1 2 einem einschaligen Hyperboloid und A 3 einem zweischaligen Hyperboloid. 
Von einem gegebenen System confocaler Oberflachen zweiten Grades geht also 
durch einen gegebenen Punkt immer ein Ellipsoid, ein einschaliges Hyperboloid 
und ein zweischaliges Hyperboloid. Von diesen drei Systemen schneidet jedes 
die beiden anderen rechtwinklig. Binet hat zuerst bewiesen, dass die Schnitt- 
curven zugleich die Krummungscurven dieser Oberflachen sind. Charles Dupin 
hat in seinen Developpements de geometric gezeigt, dass dieser Satz immer 
gilt, wenn drei Systeme von Flachen sich gegenseitig orthogonal schneiden. 
Lame hat in neuerer Zeit von der Theorie der confocalen Oberflachen interessante 
Anwendungen auf die mathematische Physik gemacht. 

Dass die drei durch einen gegebenen Punkt des Raumes hindurch- 
gehenden confocalen Oberflachen sich gegenseitig rechtwinklig schneiden, geht 
aus der geometrischen Deutung von Gleichung (4.) der vorigen Vorlesimg her- 
vor. Es versteht sich von selbst, dass auch die drei Durchschnittscurven je 
zweier von diesen confocalen Oberflachen senkrecht auf einander stehen. 
Hieraus folgt, dass je zwei der Bogenelemente dieser Durchschnittscurven in 
einander multiplicirt das Flachenelement der beide Bogenelemente enthaltenden 
confocalen Oberflache liefern, und dass das Product aller drei Bogenelemente 
der Durchschnittscurven das Raumelement im Coordinatensystem (^i,^ 2 ,^ 3 ) 
darstellt. 



*) Note XXXI, p. 384. 
**) Aperfu historique, p. 215, Aninerkung. 
Jacob i, Werke. Supplementband (Dynaraik). 27 



210 

Der Ausdruck fur das Quadrat des Bogenelements irgend einer Raum- 
curve ist nach Formel (9.) der vorigen Vorlesung 



( - 

( LI. i \ .. (A. A., )( A. A Q ) ,. ( A A, )( A A, ) -.. ( /, A. )( A, A, ) , . 

/7/) 2 _i a/irH ^ 



l t \(a 1 



Setzt man in diesem Ausdrucke eine der Grossen 2 15 ^ 2 , ^ 3 constant, so be- 
zieht er sich auf eine Curve, welche auf einer der confocalen Oberflachen, 
z. B. fur ein constantes ^ auf einem Ellipsoid, liegt. Setzt man ferner in 
diesem Ausdruck zwei der Grossen ^,, 2 2 , ^ 3 constant, so bezieht er sich auf 
die oben erwahnten Durchschnittscurven und zwar auf diejenigen, welche auf 
einem confocalen Ellipsoid liegen, wenn man ^ und 2 2 oder ^ und ^ 3 constant 
setzt, dagegen auf den Durchschnitt zweier confocalen Hyperboloide, wenn man 
^ 2 und 2 3 constant setzt. Hiernach erhalt man fiir die Bogenelemente der 
Durchschnittscurven auf dem Ellipsoid 

(3.) 



und fiir das Flachenelement des Ellipsoids 

^a~^3 . jj j i -I/ ___ (/1 2 AJ^ 

a 



4 

Integrirt man dieses Differential und dehnt es auf alle moglichen Werthe von 
/1 2 und ^ 3 aus, d. h. von 2 2 = a 2 bis 2 2 = x und von /1 3 = 3 bis ^ 3 = 2? 
so erhalt man einen Octanten der Oberflache des ganzen Ellipsoids. Dieses 
Doppelintegral theilt sich aber ganz von selbst in die Summe zweier Producte 
von einfachen Integralen und giebt fiir die Oberflache des Ellipsoids den Ausdruck 

C _/~ ; _3 r~ fl ,, ,/~~ A, A, 

2J c?A 2 .AJ 



(40 



..f 



A, A. 



welcher aus elliptischen Integralen zusammengesetzt ist. Dies ist der Weg, 
.auf welchem Legendre die Quadratur der Oberflache des Ellipsoids gefunden 
hat*). Seine Arbeit ist besonders deshalb von der grossten Wichtigkeit, weil 
dabei zum erstenmale die Kriimmungslinien als analytisches Instrument zur 
Transformation der Coordinaten angewendet werden. Nimmt man in obigem 

*) Exercices de calcul integral, I., p. 185 oder Traite des fonctions elliptiques, I., p. 352. 



211 

Ausdruck die Integrale in beliebigen engeren Grenzen, so erhalt man nicht die 
Oberflache des ganzen Ellipsoids, sondern ein Stuck derselben, welches zwischen 
zwei Krummuno;slinien der einen Art und zweien der anderen Art einire- 

O O 

schlossen ist. 

Um das Raumelement zu erhalten, muss man das Flachenelement des 
Ellipsoids mit dem Bogenelement der von den beiden Hyperboloiden gebildeten 
Durchschnittscurve multipliciren. Fur dieses Bogenelement ergiebt sich, indem 
man A 3 und A 3 constant setzt, der Ausdruck 



folglich ist das Raumelement 



V ( 

Indem man dies Differential dreifach integrirt und zwar innerhalb solcher 
Grenzen, welche die moglichen Werthe von ^ 15 ^ 2 , ^3 nicht iiberschreiten, 
bekommt man einen Raum, welcher durch zwei confocale Ellipsoide, zwei con- 
focale einschalige Hyperboloide und zwei confocale zweischalige Hyperboloide 
begrenzt wird. Das dreifache Integral theilt sich ganz von selbst in 6 Grlieder, 
deren jedes ein Product dreier einfachen Integrale ist. 



Die beiden Bogenelemente 



, nr ] 



welche wir bei der Quadratur des Ellipsoids mit einander multiplicirten , sind 
nach dem BinetschQn Satze die Elemente der Krummungslinien auf dem Ellipsoid. 
Die Integration dieser Elemente giebt die Rectification der Krummungslinien, 
und wir erhalten fur die Bogen derselben die Integrale 



, 5 N t fa J q.-A.X^-^) d , f d , J_ 

*J (U * V a 4 -Aa-hAa-hA ^J ^ V a 



welche zu den AbehchQn Integralen gehoren und zwar zu der Gattung, welche 
auf die elliptischen Integrale zunachst folgt. 



27* 



_ 212 _ 

Achtimdzwanzigste Vorlesung. 

Die kiirzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Das Problem der Kartenprojection. 

Die Formeln der beiden letzten Vorlesungen fiihren auf einem sehr 
einfachen Wege zu der bereits in der zweiundzwanzigsten Vorlesung (p. 177) 
erwahnten bisher fur unausfiihrbar gehaltenen Bestimmung der kiirzesten Linie 
auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Dieselbe wird von einem materiellen Punkt 
beschrieben, der gezwungen ist, auf der Oberflache des Ellipsoids zu bleiben, 
und der, ohne dass eine sollicitirende Kraft auf ihn wirkt, nur von einem an- 
fanglichen Stoss getrieben wird. In diesem Falle verschwindet also die Krafte- 
function U. 

Bezeichnen # 1? # 2 , x s die rechtwinkligen auf die Axen des Ellipsoids 
bezogenen Coordinaten des sich bewegenden Punktes, so wird der fiir denselben 
stattfindende Zwang, auf dem Ellipsoid zu bleiben, durch die Bedingungs- 
gleichung 



ausgedriickt. Es kommt nun darauf an, x { , x 2 , x 3 als Functionen zweier neuen 
Variablen so darzustellen , dass diese Werthe, in die Bedingungsgleichung ein- 
gesetzt, dieselbe identisch befriedigen. Solche Werthe sind diejenigen, welche 
wir fur x\, x%, x\ in ^ 1? 2 2 , ^ 3 gefunden haben, wenn wir darin ^ als constant, 
^ 2 , ^ 3 als variabel ansehen. Durch die Grossen ^ 2 , ^ 3 , welche die Stelle der 
friiher mit q bezeichneten Variablen vertreten, und durch ihre Differential- 

quotienten ^ = -^-, ^ 3 = ~- haben wir die lebendige Kraft auszudriicken, 



rl T 

alsdann fiir ^ 2 und ^ 3 die neuen Variablen ju 2 = -^- und /u, 3 = -^- einzu- 

2 3 

fiihren, welche den friiher mit p bezeichneten Grossen entsprechen, und 

dT dW dT dW TO u T 

t u 2 = -^7- = -~y-, ^3 = -^77- = -Try- zu setzen. Aui diese vveise ergiebt sich 1 

dW dW 

auso edriickt durch 2 , ^, -^T-J ^TT-? un d die Gleichung T-ha = 0, die man 

O 7 O7 ^-J J -^ ^) 2 ^ C5 

auch in der Form T=h schreiben kann, wenn man a= h setzt, ist die 
partielle Differentialgleichung des Problems, durch welche W als Function von 
Z>, ^ 3 definirt wird. Wenn man in Gleichung (10.) der sechsundzwanzigsten 
Vorlesung die Zahl der Variablen auf drei beschrankt, so erhalt man fiir die 



213 

lebendige Kraft 2T die Transformationsformel 

2T= < 2 -f-< 2 +< 3 = m A;M-i3/ 3 ;//+J/ 3 A , 3 , 
wo 

M = 



Jf = 



Aber da die Bewegung auf dem Ellipsoid geschieht, so ist A x constant, 2[ = und 

2r 

Hieraus ergiebt sich 



_ __ _ 

~ " ~ 

4 



~ = 



und man erhalt fttr 2T den Ausdruck 







Die gesuchte partielle DifFerentialgleichung ist demnach 

( 1 4-A,)(a,+A,)(o,+A l ) /6WV (q i - t -; >3 )(a 2+ A 33 - 3 , 

(A.-^XA,-^) " I ^ ) " - 

oder 

( 



Diese partielle Differentialgleichung theilt sich wieder ganz von selbst in zwei 
gewohnliche Differentialgleichungen, deren jede nnr eine der unabhangigen 
Variablen enthalt, wobei man wieder auf der rechten Seite eine willkurliche 
Constante zugleich additiv und subtractiv hinzufiigt. Auf diese Weise erhalt 
man die beiden gewohnlichen Differentialgleichungen 

8W 



(<9 1F\ 2 
^y- I ist positiv, denn von den drei Factoren des Zahlers 
0/2 / 

ist nur der erste negativ und 2 2 ^ ist ebenfalls negativ, daher muss 4-^(^2+^) 

(*3 jrr\ g 
^r ) dagegen ist negativ., denn die beiden 

ersten Factoren des Zahlers sind negativ und der Nenner ^ 3 ^ ebenfalls, 



214 



folglich muss 4-A(^ 3 -h/?) negativ sein. Die Constante h 1st aber positiv, well 
sie der halben lebendigen Kraft, einer ihrer Natur nach positiven Grosse, gleich 
1st. Da sonach A^-h/? positiv, 2 3 H-/? negativ sein muss, so hat man die Un- 
gleicliheiten 



welche beiden Bedingungen sich sehr wohl mit einander vertragen, da 2 2 ^>2 S ist. 
Wir erhalten aus den obigen gewohnlichen Differentialgleicliungen folgende 
vollstandige Losung der partiellen Differentialgleichung (1.): 

w T &-*.XV*-ff 

= - 



Hieraus ergiebt sich fiir die kiirzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid die 



8 W 
Gleichung -- = Const, oder 



(3.) t/;., f//3/ --- ~~ 



d W a W 

Die Grleichung fur die Zeit ist r t = ^ = --- ,^7-, oder da W von h nur 

da an 

^\ TTT- -| 

durch den Factor ]/A abhangt und demnach -^- = -^- TF ist , 

(4.) t-T^^-W. 

Bezeichnet s den Bogen der kurzesten Linie, von dem Punkt derselben an 
gerechnet, in welchem sich zur Zeit r der bewegliche Punkt befindet, so giebt 

der Satz der lebendigen Kraft T == ^- = = h, ds==VWi.dt, 



Hieraus erhalt man durch Vergleichung mit (4.) fur den Bogen s die Gleichung 
1 



,9 



= =- W oder 



wodurch auch die Rectification der kurzesten Linie ausgefiihrt ist. 

So haben wir durch den blossen Hinblick auf die partielle Differential 
gleichung ein Problem gelost, welches bisher fur unlosbar gait. Obgleich die 
angewandte Substitution das wesentlichste Erforderniss zu dieser Losung ist, so 



215 

erleichtert doch auch die Methode der Zuriickfuhrung auf die partielle DhTe- 
rentialgleichung die Durchfuhrung bedeutend. In der That fand Minding, als 
er die von mir veroffentlichte Substitution anwenden wollte, auf dem fiblicheri 
Wege der Integration einer gewohnlichen Differentialgleichung Schwierigkeiten, 
die er nach seiner eigenen Angabe nicht iiberwunden haben wtirde, wenn ihm 
nicht das von mir angegebene Resultat schon bekannt gewesen ware*). 

Durch dieselbe Substitution, welche uns schon die Losung mehrerer 
schwierigen Probleme gegeben hat, konnen wir auch das Problem der Karten- 
projection fur das dreiaxige Ellipsoid erledigen. Unter den verschiedenen 
Arten eine krumme Oberflache auf einer Ebene darzustellen , wie dies bei den 
Karten noting ist, zieht man diejenige Art der Projection alien iibrigen vor, 
bei welcher die unendlich kleinen Elemente ahnlich bleiben Mit dieser Pro 
jection hat sich im vorigen Jahrhundert Lambert vielseitig beschaftigt, wovon 
man sich in seinen Beitragen zur Mathematik naher unterrichten kann. Da- 
durch veranlasst unternahm Lamberts damaliger College Lag-range eine Unter- 
suchung desselben Gegenstandes und gelangte zur vollstandigen Losung fur alle 
Umdrehungsflachen. Die Kopenhagener Gesellschaft, welche spater auf die 
Losung dieser Aufgabe fur alle krummen Oberflachen einen Preis gesetzt hatte, 
kronte die von Gauss eingesandte Abhandlung. In derselben geschieht der 
Lagrangeschen Arbeit, der nur wenig hinzuzusetzen war, keine Erwahnung. 

Die leitende Idee bei der Losung des Problems der Kartenprojection ist 
folgende. Wenn man einen Punkt auf der Oberflache mit den unendlich nahen 
Punkten verbinclet und dasselbe mit den entsprechenden Punkten in der Ebene 
vornimmt, so miissen die entsprechenden Langen proportional sein, damit die 
unendlich kleinen Elemente ahnlich seien, und umgekehrt, sind die entsprechenden 
Langen proportional, so sind die unendlich kleinen Elemente ahnlich. Diese 
Proportionalitat ist analytisch auszudriicken. 

Die Coordinaten x, y, z eines Punktes der Oberflache seien als Functionen 
zweier Grossen p und q gegeben; dann wird das Quadrat des Bogenelements 
irgend einer Curve auf der Oberflache durch den Ausdruck 
ds 2 = dx^dif+dz* = Adp 2 +2Bdpdq+Cdq 2 

dargestellt. Das Quadrat des entsprechenden Bogenelements in der Ebene ist 

da 2 = du 2 -+-dv 2 , 



*) Vgl. Crelles Journal Bd. XX, p. 325. 



216 

wo u und v die rechtwinkligen Coordinaten in der Ebene bedeuten. Damit 
nun die unendlich kleinen Langen einander proportional werden, muss do 2 = mds 2 
sein, wo m irgend cine Function von p und q sein kann. Das Correlations- 
system zwischen den Grossen u, v und p, q muss also ein solches sein, dass 

die Grleichung 

dwM-rfy 8 = m(Adp*-+-2Bdpdq-}-Cdq*) 

bestehe, wo ]/m das Aehnlichkeitsverhaltniss bedeutet. 

Diese Differentialgieichung befriedigt man folgendermassen. Man lose 
A dp* -\-2Bdpdq-t-Cdq 2 in die beiden linearen Factoren 



auf und denke sich m in die Factoren -+-&]/ 1 und a b^ 1 zerlegt, dann 



lasst sich obige Differentialgieichung in die beiden auflosen: 



_ 

l = ( a -\-b}/ 




Kann man nun a und b so bestimmen, dass die rechten Seiten dieser Gleichungen 
vollstandige Differential werden, so erhalt man durch Integration u und v als 



Functionen von p und q. Den integrirenden Factor oHh^V 1 bestimmen 
heisst nichts Anderes als die Differentialgleichungen 



o = 



integriren, und diese Integration ist also die schliesslich zu losende Aufgabe. 
1st .> = 0, so miissen die Factoren a-t-bV 1 und a by 1 gefunden 
werden welche 

^-[.d und /A.d 



integrabel machen, und alsdann ist V 2 -j-6 2 das Aehnlichkeitsverhaltniss. 

Ist die Oberflache ein dreiaxiges Ellipsoid, so erhalt man nach Ein- 
fuhrung der Grossen 2 1? A 2 , A 3 , von denen ^ constant gesetzt wird, in Folge 
der Gleichung (2.) der siebenundzwanzigsten Vorlesung fur das Bogenelement 
irgend einer Curve auf demselben den Ausdruck 



217 

und man hat also die Factoren zu fmden, welche die Ausdriicke 



, i 3 A,)(A 3 

* 



(^2 ^1X^2 ^3) 



j; _ i-i/ (^3 ^1X^3 ^2) 1/dT 

><U *F a+Aa+Aa+A * K 1 



v 

integrabel machen. Diese Factoren sind fiir beide Ausdriicke; daher 

ist a = =?=-, b = 0, und die I 
von u, v und p, q geben, werden 



ist a = , 6=0, und die Differentialgleichungen, welche die Correlation 



i_ - 



_ 

( ai -f-/l 2 )(a 2 -}-;. 2 )( 3 -f->l 2 ) 






o 



Hieraus 



und das Aehnlichkeitsverhaltniss ist 



mit der so bestimmten Grosse Vm miissen also die Langen auf dem Ellipsoide 
multiplicirt werden, um die entsprechenden Langen in der Ebene zu geben. 

Die Formeln, welche wir fiir die kiirzeste Linie auf dem dreiaxigen 
Ellipsoid gefunden haben, erleiden eine wesentliche Veranderung fiir den Fall 
eines Umdrehungsellipsoids. Es sind dabei zwei Falle zu unterscheiden , der 
erste ist der des abgeplatteten Spharoids, in welchem die beiden grossereri 
Axen einander gleich sind, wo also 2 = a 3 , der zweite ist der des verlangerten 
Spharoids, in welchem die beiden kleineren Axen einander gleich sind, wo 
also 2 = a \- Wir wollen von diesen beiden Fallen nur den ersteren behandeln, 
da der letztere g anz analog durchzufilhren ist. Man verfahrt hierbei bekannter- 
massen auf die Weise, dass man zuerst 2 und 3 unendlich wenig von einander 
verschieden annimmt und erst schliesslich zusammenfallen lasst. Es sei also 

zunachst 

3 = a 2 -f-co, 

wo a) eine unendlich kleine Grosse bezeichnet. Nach den allgemeinen Be- 
trachtungen liegt A 3 zwischen a 2 und a 3 , also im vorliegenden Fall zwischen 

Jacobi, Werke. Suppleraentband (Dynamik). 28 



218 

; man kann daher 
setzen, d. h. 



= co sn 
a 3 -+-A 3 = a> cosin 2 (> = 
dA 3 = a). 2 sin 95 cos 

Hieraus folgt: 



V 

Dies haben wir in die Gleichung der ktirzesten Linie zu substituiren , d. h. in 
die Gleichung 

= 



Von den im ersten Integral unter dem Wurzelzeichen stehenden Factoren 
werden 2 -f-/t 2 und 3 -}-Z> einander gleich, das Integral verwandelt sich daher 
in ein elliptisches. Das zweite aber geht iiber in 



und die Gleichung (3.) erhalt die Form 

- = Copst - 



Die Ausdrucke der Coordinaten fur die Punkte der Oberflache des dreiaxigen 
Ellipsoids waren 

i / ( Ct . j A* , ) ( Cb , 1 Art ) I Ct* I ^ j 
v(/, I/ 7 v /- \ y 

(, a 8 )(a, o,) 



_ 1 /K4-A 1 )(a 3 4-A 2 )(a 3 -hA 3 ). 
x i, r a a \/ a a \ 

diese werden im Falle des abgeplatteten Spharoids 



--j ,/ y 

= 



Da die allgemeinen Formeln fiir x 2 und x 9 in einander iibergehen, wenn a 2 



219 

mit #3 vertauscht wird, so konnte eine oberflachliche Betrachtung glauben 
machen, es miisste, wenn 2 = 3 1st, auch X 2 = x z sein; dies 1st aber, wie wir 
sehen, keineswegs der Fall. Die alsdann geltenden Formeln sind dieselben 
welche man erhalt, wenn man die Coordinaten x and Vx\-\-x\ des Meridians 
des Spharoids nach der fur die Ebene giiltigen Substitution durch ^ und ^ 2 
ausdriickt und fiir die Lange auf dem Spharoid den Winkel (f einfiihrt. 

Auch fiir die im Vorigen abgehandelte Kartenprojection erhalt man bei 
der Anwendung auf das Spharoid besondere Formeln. Dieser besondere Fall 
der Projection fiihrt den Namen der stereographischen; die charakteristische 
Eigenschaft derselben, dass sich die homologen Curven auf der Oberflache und 
in der Ebene unter gleichen Winkeln schneiden, ist nur ein anderer Ausdruck 
fiir die Aehnlichkeit der unendlich kleinen Elemente. 

Die partielle DifFerentialgleichung, deren Integration uns die Gleichung 
der kiirzesten Linie auf dem Ellipsoid gab, war von der Form 



,-^ 

= Const., 

2 A 3 

WO 



Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht eine Constante, weil wir den sich 
bewegenden Punkt keiner Kraft unterworfen annehmen, ausser einem anfang- 
lichen Stoss. Man kann sich nun die Frage stellen, von welcher Beschaffenheit 
Krafte, die auf den Punkt wirken, sein miissen, damit die daraus hervor- 
gehende Form der obigen Differentialgleichung die narnliche Methode der Inte 
gration zulasse, wie wir sie bisher angewendet haben. Die allgemeine Form, 
unter welche sich die Kraftefunction zu diesem Behufe bringen lassen muss, 
ist, wie man leicht einsieht, 



weil alsdann die Trennung in zwei gewohnliche Differentialo-leichuno-en o;elino-t. 

o o o o o o 

Aber dieser analytischen Form wird man im Allgemeinen keine mechanische 
Bedeutung abgewinnen; wir wollen nur einen Fall betrachten, der eine solche 
zulasst, namlich den Fall, wo die Kraftefunction die Form / 2 -M 3 hat, welcher 

^2 _ ^2 

Ausdruck sich auf die Form -~ ~- bringen lasst, mithin unter die in Rede 

A 2 ^3 

stehende Kategorie gehort. Dieser Fall entspricht dem mechanischen Problem, 

28* 



220 



wo em auf der Oberflache des Ellipsoids sich bewegender Punkt einer Kraft 
unterworfen ist, die ihn nach dem Mittelpunkt proportional seiner Entfernung 
von demselben zieht. In der That, in diesem Fall ist die Kraft, die auf den 
Punkt in der Richtung des vom Mittelpunkt ausgehenden Radius Vector r 
wirkt, gleich kr, folglich ist die Kraftefunction kr 2 = J&(#?-4-a|-l-a$). Rufen 
wir uns die allgemeinen in der sechsundzwanzigsten Vorlesung (Gleichung (2)) 
gegebenen Ausdriicke von #?, xl, ... x 2 n durch /1 15 A 2 , ... /1 M ins Gedachtniss 
zuriick, also die Ausdriicke 



(a m , ) (a/i, 2 ) (, -i) (/ a,/ 



so folgt nach den bekannten Satzen tiber Partialbriiche die merkwiirdige Formel 

x\-\-xl-\ ----- h^ = 
Fiir n = 3 wird 



In dem von uns betrachteten Fall ist ^ constant, also erhalten wir fiir die 

Kraftefunction 

%k(x\-+-a;\-+a;l) = i*(A 2 -hA 8 ) + Const., 

so dass sich in diesem Fall die partielle Differentialgleichung mit derselben 
Leichtigkeit integriren lasst wie friiher. 

Man kann diese Betrachtung noch ausdehnen und annehmen, dass die 
hinzukommende Kraft nicht mehr nach dem Mittelpunkt des Ellipsoids gerichtet 
ist. In dem eben betrachteten Fall war kr die Kraft in der Richtung des 
Radius Vector, daher die Seitenkrafte in der Richtung der Coordinatenaxen kx lt 
kx 2 , kx 3 . Geben wir jetzt den Coordinaten verschiedene Coefficienten m^ , m 2 , 
m 3 , so wird die Integration auch noch moglich sein, wenn wir diese Grossen 
einer Bedingungsgleichung unterwerfen. In der That, sind die Componenten in 
der Richtung der Coordinatenaxen ra^, m 2 x 2 , m 3 x 3) so hat die Kraftefunction 
den Ausdruck 



-| -s- lit., 



lasst sich also unter der Gestalt 



- 221 
darstellen und ist daher von der richtigen Form, wenn C verschwindet, d. h. wenn 



1st diese Bedingungsgleichung durch die Werthe von m^ w 2 , m 3 erfiillt, so 
bleibt die friihere Integrationsmethode zulassig. 



Nennnndzwanzigste Vorlesung. 

Anziehung eines Punkts nach zwei festen Centren. 

Wir gehen jetzt zu der Bewegung eines von zwei festen Centren an- 
gezogenen Punktes fiber. Beschranken wir uns zunachst auf den Fall, wo die 
Bewegung in einer Ebene vor sich geht, was immer der Fall ist, wenn die 
Richtung der Anfangsgeschwindigkeit mit der Verbindungslinie der festen 
Centren in einer Ebene liegt. Diese Verbindungslinie sei die Axe der x 2 , die 
in der Mitte zwischen den beiden um 2f von einander entfernten Centren senk- 
recht darauf stehende die Axe der x. Driicken wir nun x l und x 2 durch ^ 
und ^ 2 aus un d wahlen die Constanten a^ und 2 der Substitution so, dass die 
beiden festen Centren in die Brennpunkte des confocalen Systems fallen, so 
wird die zu integrirende Differentialgleichung 

K + AJK+AJ (dW\> (a 1+ A,)(a,+A,) (dWV_ 
" " ~ 



wo U ebenfalls durch ^ und ^ 2 ausgedriickt werden muss. 

Die Entfernungen des angezogenen Punktes von den beiden Centren 
seien r und r 15 dann hat man 

r* = 
oder 

r 2 = 

Nach der Fundamentaleigenschaft der Ellipse ist 

/ 2 = (a a -hA,) (, 4- A,) = 8 a l} 
die Substitution 



2 ! 

liefert fiberdies, wie wir wissen, die Gleichung 



222 
daher wird 



also 

r - 
Wenn man diese Ausdriicke in die Kraftefunction 



77 = ^_,^_ __ mr^-j-m^r 
r r l r)\ 

substituirt, so ergiebt sich 

u= (m-hmjV^+A, Q w,)j/a 2 -|-A 2 



Setzt man diesen Werth von U in die partielle Differentialgleichung (1.) und 
multiplicirt mit ^ 2 2 , so erhalt man : 

f 

J V 1 l/V 2 1. 



und da man diese Grleichung durch Einftihrung einer willkiirlichen Constante /? 
in die beiden gewohnlichen Differentialgleichungen 



6A 2 
aaflosen kann, so wird 



,A\ w= fdk ] i^^i+i(^+^i) 8 +A,+/3 r 

J o-h+A V 



, , 



Will man hier die Irrationalitat unter dein Quadratwarzelzeichen fortschaffen, 
so setze man 



und erhalt 



Aus (4.) ergeben sich die Integralgieichungen unter der Form: 



8W _ _ BW 
" ~~~" 



223 

Lagrange hat sich in dem ersten Bande der Turiner Memoiren bemuht, 
Krafte zu linden, welche man den Attractionen nach den beiden festen Centren 
hinzufugen kann, ohne dass die Eulersche Losung dieses Problems aufhort, die 
Integration zu leisten. Obgleich diese Untersuchung zu keinem wesentlichen 
Resultat gefuhrt hat, so ist sie dennoch von dem grossten Interesse, und zwar 
nicht bloss fur den damaligen Stand der Wissenschaft, sondern noch gegen- 

o o O 

wartig. Die Kraft, welche man nach Lagrange hinzufugen kann, ist eine nach 
dem in der Mitte zwischen den beiden festen Centren liegenden Punkt ge- 

o o 

richtete und der Entfernung proportionale Attraction. Dies stimmt mit dem, 
was wir rucksichtlich der kiirzesten Linie auf dem Ellipsoid fanden, vollkommen 
uberein. Denn durch diese Kraft kommt in der Kraftefunction der Term 
\k(x\-\-3&) = ^(^-HAa-hOj-t-Oj) hinzu, also auf der rechten Seite der par- 
tiellen Differentialgleichung, cl. h. in ^Ufa ^ 2 ), der Ausdruck ^(^0 
wenn man y(X) = ^k \X t -\-(a^- > t-a^)^\ setzt. Zugleich sind dann v(^i) und 
respective die Glieder, um welche in den nach ^ und ^ 2 genommenen Inte- 
gralen des Ausdrucks (4.) von W die Zahler unter den Quadratwurzelzeichen 
zu vermehren sind. 

Wir haben durch die obigen Formeln das Problem der Attraction eines 
Punktes nach zwei festen Centren, wenn die Bewegung in einer Ebene vor 
sich geht, vollstandig gelost; es bleibt jetzt noch tibrig den allgemeineren Fall 
hierauf zu reduciren. Dies geschieht durch das Princip der Flachen. 

Um die Aufgabe in ihrer grossten Allgemeinheit zu behandeln, wollen 
wir annehmen, ein Punkt werde nicht durch zwei, sondern durch eine beliebio;e 

o 

Anzahl von festen Centren, die in einer Geraden liegen, angezogen. Alsdann, 
und selbst wenn noch uberdies eine constante Kraft parallel derselben Geraden 
hinzukommt, gilt in Beziehung auf die Ebene, welche auf dieser Geraden senk- 
recht steht, das Princip der Flachen. Ist nun die Anfangsgeschwindigkeit des 
sich bewegenden Punktes mit der Geraden in einer Ebene, so findet die ganze 
Bewegung in dieser Ebene statt, und man hat nicht nothig den Satz der 
Flachen anzuwenden. Liegt dagegen die Anfangsgeschwindigkeit mit jener 
Geraden nicht in einer Ebene, so beschreibt der Punkt eine Curve doppelter 
Krummung. Hierbei ist es nun von grossem Vortheil, die Bewegung in zwei 

O O J o O 

zu zerlegen; denkt man sich namlich durch den Punkt und die Gerade, welche 
die Centra enthalt, eine Ebene gelegt, so kann man sich vorstellen, dass die- 
selbe um die Gerade rotire, und ausserdem der Punkt sich in der rotirenden 



224 

Ebene bewege. Diese Zerlegung, welche unter alien Umstanden moglich 1st, 
wiirde im Allgemeinen keine Vereinfachung bewirken; aber in dem betrachteten 
Fall wird es durch das Princip der Flachen moglich, die Bewegung des Punktes 
in der Ebene ganz von der Rotationsbewegung zu trennen, so dass man zuerst 
die Bewegung des Punkts in der Ebene sucht und, nachdem diese gefunden 
ist, den Rotationswinkel dieser Ebene (von einer bestimmten Lage derselben 
an gerechnet) durch eine blosse Quadratur erhalt. Wie wir sehen werden, 
sind die Differentialgleichungen der Bewegung des Punktes in der rotirenden 
Ebene von den Differentialgleichungen, die man erhalt, wenn die Bewegung 
iiberhaupt in einer Ebene bleibt, nur dadurch verschieden, dass ein Term hin- 

zukommt, welcher proportional $- ist, wo r die Entfernung des Punktes von 

der die Centra enthaltenden Greraden bedeutet. Diese Gerade, welche die 
festen Centra enthalt, sei die Axe der x; stellen wir ferner die Diiferential 
gleichungen der Bewegung des Punktes, ohne die Ausdriicke fiir die Knifte 
wirklich hinzuschreiben, in der gebrauchlichen Weise durch die Formeln 

cPx d*y _ y d y z 

dt* ~~ dt 2 ~~ dt* 

dar, so findet die Bedingungsgleichung 

yZ zY=0 

statt. Diese Gleichung, welche aussagt, dass die Krafte JT, Z sich verhalten, 
wie die Coordinaten y, z, d. h. dass die Richtung ihrer Componente durch die 
Axe der x geht, ist mit dem Princip der Flachen gleichbedeutend; denn setzt 

d?ii d?z 

man ~- und -^- fiir Y und Z, so erhalt man 



und hieraus durch Integration 



_ 

~~ z - 



dy 

dt Z dt ~ " 



Um nun die Bewegung des Punktes in der durch die #-Axe gehenden Ebene 
von der Rotationsbewegung dieser Ebene zu trennen, mussen wir 



y = rcosy, z = 

setzen, so dass x, r die Coordinaten des Punktes in der rotirenden Ebene sind 
und (p der Rotationswinkel, von der Ebene der x, y an gerechnet. Dann 



225 
hat man 



y^r+z 



dt * dt 



^LY, I^_Y 
dt ) *~\dt ) 



+z- 



Die beiden letzten Grlieder geben, zu einem einzigen vereinm t, 

O ? o O " 

*v 



--H2 



dt 



oder, da nach einer bekannten Formel 



1st, 



oder schliesslich, mit Benutzung des Flachensatzes, . 

a 2 



Man hat also die Grleichung 



d 2 y d 2 z 

y ~dF +z d? 



dt y 

Nun sei R die Kraft, welche auf den Punkt in der gegen die Axe der x 

O O 

senkrechten Richtung wirkt, also die Resultante der Krafte Y und Z, dann 
hat man 

y z 

r r 

2/ 2 H-z 2 

T 

und daher 



Wir haben also die beiden Gleichungen der Bewegung des Punktes in der 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 29 



226 

rotirenden Ebene in der Gestalt 

d*x d*r 



Da nun in clem Fall, welchen wir betrachten, die Krafte von dem Rotations 
winkel (p ganz unabhangig sind, so hangen X und R nur von x und r ab. 
Man kann daher diese beiden Grleichungen selbstandig integriren und erhalt, 
wenn man durch die Integralgleichungen x und r als Functionen von t be- 
stimmt hat, den Rotationswinkel (f aus dem Flachensatz. Derselbe verwandelt 
sich durch Einfiihrung von r und (p in 

2 dy 

(6.) r -^- = a, 

so class (p durch die Formel 

= f 

bestimmt wircl. Demnach haben wir das urspriingliche System von Differential- 
gleichungen sechster Ordnung in x, y, z, t auf ein System vierter Ordnung in 
x, r, t zuriickgefuhrt, und da hierin t nicht explicite vorkommt, so kann man 
es auf die dritte Ordnung reduciren, indem man es auf die Form bringt: 

(7.) dx\dr:dx :dr = x :r :X: I R-i j-l- 

Kennt man zwei Integrate dieses Systems, so erhalt man das dritte durch das 
Princip des letzten Multiplicators und hierauf die Zeit durch eine Quadratur. 
Sind z. B. alle Variablen x, x und r durch r ausgedriickt, so ist 

r dr 

J. 

I 



eine Gleichung, mit deren Hiilfe man auch y>, ehe r durch t ausgedriickt ist, 
als ein nach r genommenes Integral 



darstellen kann. 

Es kommt also jetzt nur noch darauf an, von dem System dritter Ord 
nung (7.) zwei Integrate zu kennen, um das Problem vollstanclig zu losen. 
Aber das eine dieser Integrale giebt der Satz. der lebendigen Kraft, welcher 
bekanntlich bei Attractionen nach festen Centren und bei gegenseitigen An- 
ziehungen immer gilt. In der That, setzt man in der Gleichung 



im vorlieenden Falle 






227 



=-2-R, Z=R, 

r r 



Ydy+Zdz = R = Rdr, 

ferner 



dt \dt \dt \dt 

oder da nach dem Princip der Flachen - = ^ wird, 



so ergiebt sich 



welches eine Integralgleichung des Systems (7.) 1st. Es kommt jetzt nur noch 
darauf an, em einziges Integral zu finden; das Problem der Anziehung eines 
Punkts durch eine beliebiffe Anzahl fester Centren, die in einer Geraden liegen, 

CJ * O ^ 

und auf den noch iiberdies eine constante Kraft parallel jener Geraden wirken 
kann, ist demnach darauf zuriickgefuhrt, eine einzige Integralgleichung eines 
Systems zweiter Ordnung zu finden. 

Sind nur zwei feste Centren vorhanden, so findet man diese Integral- 

o 

gleichung nach der am Anfang dieser Vorlesung auseinandergesetzten Methode. 
Die Coordinaten x und r sind dieselben, welche oben mit x 2 und # x bezeichnet 
warden; aber die Kraftefunction ist nicht mehr die namliche. Wenn die o-anze 

7 o 

Bewegung in einer Ebene stattfindet, ist ihr Werth UXdx -\-Rdr), jetzt dagegen 

a 2 
kommt das Grlied ---5--^- oder nach der fruheren Bezeichnung 



* 



hinzu. Damit nach Hinzufugung dieses Gliedes zur Kraftefunction die partielle 
Differentialgleichung (1.) noch durch die namliche Methode integrirt werden 

konne, muss sich dasselbe auf die Form . . (/(^O-f-^C^)) bringen lassen, 

Aj A 2 

und dies ist wirklich der Fall; denn es ist nach (2.) 



29 



228 



also durch Zerlegung in Partialbruche 



_ 1 jr _ 3 a, a, , a. a^ f _ 1_ _1 _ 1 

T ,q K-MJO,-^) " A,-A 2 K-+-A, ^-MJ 



Zur rechten Seite cler Grleichung (3.) oder, was dasselbe 1st, zu \U^ 
kommt also der Ausdruck 

1/yV/y f . \ I _l _ 1 2 / 2 . 

- ^-Cl Itt., - tt, J | . , 1 I - - T" / 

- - 



hinzu, und wir erhalten demnach gegenwartig die partielle Differentialgleichung 



a 2 / 2 - 

ttj f A 3 J 



Aus derselben ergiebt sich: 



(8.) 



und hieraus durch Diiferentiation nach der Constante ft die zu suchende zweite 
Integralgleichung des Systems (7.): 



Dies ist die Gleichung der Curve, welche der sich bewegende Punkt in der 
rotirenden Ebene beschreibt. Es ist jetzt noch die Bestimmung des Rotations- 
winkels (f auszufuhren, bei welcher indessen eine Schwierigkeit ubrig bleibt. 
Driickt man namlich das Differential von (f>, welches nach Gleichung (6.) und 
in der gegenwartigen Bezeichnung durch die Formel 

dt 

d(p = a 
x\ 

gegeben ist, in den Grossen ^ und 2 2 aus, so erhalt man zuniichst kein voll- 
standiges Differential. Denn das Differential von t ergiebt sich, wenn man in 
die zur Bestimmung der Zeit dienende Gleichung 

_8W 
~~~dh 
fiir W seinen Werth (8.) einsetzt, unter der Form 



229 

und dieser mit 



multiplicirte Ausdruck giebt nicht unmittelbar ein vollstandiges Differential, 
sondern kann erst in ein solches mit Hi life der zwischen den Variablen /I, 
und ^o stattfindenden Gleichung (9.) verwandelt werden. 

Diese Schwierigkeit kann man vermeiden, wenn man das Problem der 
Anziehung nach zwei festen Centren auch fiir den Raum, ohne auf particulare 
Betrachtungen einzugehen, ganz und gar auf eine partielle Differentialgleichung 
zuriickfiihrt. Die allgemeine partielle Differentialgleichung fiir eine freie Be 
wegung, bei welcher der Satz der lebendigen Kraft gilt, ist 

^] =2U-+-2k. 

dz J 

Indem wir fiir y und z Polarcoordinaten einfiihren und 

y = rcosy, z = rsinc/) 
setzen, erhalten wir 



Da in U die Variable <f nicht vorkommt, so kann man nach der allgemeinen, 
schon oft gebrauchten Methode 

W= W^ay 

setzen. wo W^ eine blosse Function von x und r ohne ( ist. Hierdurch wird 



dx dx dr dr d<f 

und die partielle Differentialgieichung in W verwandelt sich in 



Diese Differentialgleichung stimmt genau mit derjenigen iiberein, welche wir 
oben durch die Reduction der Bewegung im Raum auf die Bewegung in der 
rotirenden Ebene erhalten haben; denn auch jene Betrachtung zeigte, dass von 

a 2 
U das Grlied -^- abzuziehen sei, so dass die jetzt eingefiihrte Constante a mit 

der friiher so bezeichneten genau iibereinstimmt. Der oben erhaltene Aus 
druck (8.) von W genilgt daher der Differentialgleichung (10.) fiir TFj, und 
man findet aus demselben W durch die Gleichung 



, 230 

Hieraus gehen sodann die beiden Integralgleichungen hervor: 

6W dW, 6W 8\\\ 

0t L rt ! L_/T 

P " ~df ~ dp ~ da - da 

von denen die erste dieselbe ist, welche wir schon oben fanden, wahrend die 

8 W 
zweite den Werth von <f durch die Grleichung a (p = ^- liefert. Hierin ist 

an die Stelle von W^ der Ausdruck (8.) von W zu setzen. Die beiden Integral 
gleichungen, durch deren Zusammenbestehen die Curve doppelter Kriimmung 
definirt wird, in welcher der Punkt sich bewegt, sind also 

dW 8W 

8 = -TT und a a = -= , 
dp da 

wo 




und die Zeit wird durch die Gleichung 

dW 



_ 

: 



ausgedrtlckt. Nach Vollziehung der Differentiationen erhalt man die fertigen 
Formeln 



"fer 



Auch hier kann man, wie oben, die Irrationalitat unter den Quadratwurzel- 



231 
zeichen dadurch beseitigen, dass man an Stelle von ^, 2. 2 die Grossen 



= p, 2 -M 2 = q 
als Variable einfiihrt. 



Dreiasigste Yorlesung. 

Das Abelache Theorem. 

IJm die Wichtigkeit der in der sechsundzwanzigsten Vorlesung vor- 
getragenen Substitution, die uns nun schon die Losung einer Reihe von 
mechanischen Problemen gegeben hat, schliesslich an einem besonders merk- 
wiirdigen Beispiel zti zeigen, wollen wir sie auf das Abekche Theorem an- 
wenden. Dieses Theorem bezieht sich namlich auf ein gewisses System ge- 
wohnlicher Differentialgleichungen und giebt zwei verschiedene Systeme von 
Integralgleichungen desselben, von denen das eine durch transcendente Functionen, 
das andere rein algebraisch ausgedri ickt ist. Diese in ihrer Form so ver- 
schiedenen Systeme von Integralgleichungen sind nichtsdestoweniger vollig identisch. 

Nach unserer Methode wird das System der gewohnlichen Differential- 
gleichungen auf eine partielle DifFerentialgleichung erster Ordnung zuriickgefiihrt; 
von dieser wird eine vollstandige Losung gesucht, und die nach den will- 
kiirlichen Constanten genommenen Diiferentialquotienten derselben, neuen Con- 
stanten gleich gesetzt, liefern das System der Integralgleichungen. Die Losung 
der partiellen DifFerentialgleichung kann aber sehr von einander abweichende 
Formen annehmen; durch Aufsuchung dieser verschiedenen Formen erhalt man 
der Gestalt nach verschiedene Systeme der Integralgleichungen, welche aber in 
ihrer Bedeutung mit einander iibereinstimmen miissen. Dies ist der Weg, auf 
welchem wir das Abelsche Theorem beweisen werden. Wir o-ehen von der 

o 

partiellen Differentialgleichung 

(dV\* (dVV ( dVY 

(1.) - M- - - M ----- h(--l 2A 

\djCj J \doi a J \dxnJ 

aus, welche fiir n = 3 clem einfachsten der mechanischen Probleme, der gerad- 
linigen gleichformigen Bewegung eines Punkts im Raume, entspricht. Dieselbe 
ersetzt die gewohnlichen Differentialgleichungen 

d*X l _ d 2 3 2 C?X n __ 

~ ~ 



Unter Benutzung der in der sechsundzwanzigsten Vorlesung aufgestellten Sub- 



232 

stitution ergiebt sich das Abehche Theorem, und zwar in einer viel expliciteren 
Form, als der von Abel gegebenen. 

Da in der Grleichung (1.) die Variablen x l9 x 2 , ... x n selbst nicht vor- 
kommen, so erhalt man eine vollstandige Losung V, indem man 

(2.) F= j #,-[-,, tfjjH ----- \-a n x n 

setzt. Denn alsdann haben die Constanten cr 1? a 2 , ... ce n nur der Bedingung 

a?-h 2 2 H ----- ha*_i-t-a* = 2h 
zu genugen, sodass 

a n = 1/2A a\ a\ ----- -i, 

und V enthalt daher, abgesehen von der Constante, die man noch addiren 
kann, n 1 Constanten, 1st also eine vollstandige Losung. Als Integral- 
gleichungen erhalt man 

dv 



6 a, 

oder 



7i 1 



oder endlich, wenn man die letzte Gleichung in die anderen einsetzt, 
(3.) 



welches fur n = 3 in der That die Grleichungen der geradlinigen Bewegung sind. 
Filhren wir nun in die Grleichung (1.) an die Stelle der Variablen x die 
Variablen ^ ein, so erhalten wir nach Formel (12.) der sechsundzwanzigsten 
Vorlesung: 

(^ y fa+AQfo+ao .............. K-J-A;.) (dv\ = 17j 

& (A A,)(^ *,)...(*< It-Mi /tm)...(A ( AO Va/lJ" 
Man erkennt hier nicht unmittelbar, auf welche Weise in dieser Gleichun" 1 die 



233 



Variablen von einander getrennt \verden komien. Aber es ist nur nothig, sich 
an den in der sechsundzwanzigsten Voi-lesting (p. 202) gegebenen Hiilfssatz aus 
der Theorie der Partialbriiche xu erinnern. die aus demselben folgende Formel 



(50 



2 ._!_/ 5 . 

2 



in welcher c, c,, ... c n _>> willkOrliche Constanten sind, aufzustellen und diesen 
Ausdruck fiir ^h in (4.) zu substituiren. Befriedigt man die hieraus hervor- 



gehende Gleictmng 



(6.) 



indem man die entsprechenden Cllieder beirler Seiten einander gleich setzt und 
auf diese Weise die partielle Diff erentialgleichung (6.) in die n gewohnlichen 



Differentialgleichungen 



dVV 



fur -/ =!, 2, ... zerlegt, so ergiebt sich fur V die vollstandige Losung 

n . F ! 

~ 



und hieraus folgen die Integralgleichungen 



dV dV 



QV 



/>, c * ^. o.. ... ^ (, w 9 

dc oc t dc n _z 

welche unter Einfiihrung der Bezeichnung 

/(A) = ( c -h 
die Gestalt annehmen: 






(8.) 



Ox. - vf ^ ^ 

" i ^* i , =~ . 

j y/ao 



2 

2 



Jacobi, Werke. Suppleinentbaud (Dynainik). 



30 



234 

Dies sind die transcendenten Integralgleichungen des Systems gewohnlicher 
Differentialgleichungen 

71 i ji iw 2 -,*, -.n 1 j . 

-n v^i^k _ v A/ ah __ v A/ ax,- _ _ A ^ 

, /- 



. - . j . -- , 

y/ao y/ao y/ao 

wahrend in (3.) die algebraischen Integralgleichungen des namlichen Systems 
enthalten sind. 

In dieser algebraischen Integration der Differentialgleichungen (9.) be- 
steht das Abelsche Theorem, und zwar tritt dasselbe hier in einer Form auf, 
welche vor der ursprimglich von Abel gegebenen den Vortheil bietet, die sonst 
init grossen Schwierigkeiten verkniipften Untersuchungen iiber die Realitat der 
Variablen und uber die Grenzen, innerhalb deren man sie zu nehmen hat, 
wesentlich zu erleichtern. Der obige Beweis des Abefcchen Theorems hat daher 
etwas wesentlich Neues gegeben, und wenn auch Richelot spater aus dem 
AbelschQn Theorem selbst dieselben Folgerungen hat herleiten konnen*), so ist 
rloch immer der hier angegebene Weg derjenige, welcher zuerst und natur- 
gemiiss darauf gefiihrt hat. 

Da die Constanten c, c n ... c n _ 2 ganz willktirlich sind, so muss man 
sie so bestimmen, dass die unter den Wurzelzeichen stehenden Ausdnicke /(A,.) 
positiv, mithin alle Integrale reell werden. 

Aus dem Bisherigen ergiebt sich das Abelsche Theorem noch nicht ganz 
vollstandig: denn die Function f(%) ist von der (2n l) ten , also von ungerader 
Ordnung, und es ist daher nothig, den anderen Fall, wo f() von der 2?^ te " 
Ordnung ist, und der hier als der allgemeinere erscheint, besonders zu be- 
trachten. Man erhalt denselben dadurch, class man auf der rechten Seite der 
partiellen Differentialgleichung (1.) zu der Gonstante 2 A noch andere Glieder 
addirt. Die angewendete Integrationsmethode bleibt zulassig, wenn man zu h 
die Quadratsumme x\-\-xl-\ ----- \-x n in eine Constante k multiplicirt hinzufiigt. 
In den Variablen 2 nimmt dieser Ausdruck die Form an: 

&0;-h^,H ----- h^) = ^(a,4-a,H ----- hff-M,-|-A 2 H ----- f-A,,), 
und indem wir fiir A eine neue Constante 



einf Cihren, haben wir auf der rechten Seite von (4.) an die Stelle von -i- 
gegenwilrtig den Ausdruck 

Vi +i^CA.-f-AH ----- hA B ) 

*) Crelles Journal Bd. XXIII, p. 354. 



zu setzen. Transfbniiiren wir denselben mit Benutzung des oben erwfthnten 
Htilfssatzes in einer der Grleichung (5.) analogen Weise, so linden wir. dass auf 
den rechten Seiten der Gleichungen (5.) und (6.) sich weiter nichts iindert. als 
dass unter dem Summenzeichen im Zahler das Glied 



hinzu komint und h sich in li verwandelt. In den transcendenten Integral- 
gleichungen (8.) des Abehchen Theorems tritt demnach an die Stelle der fruheren 
Function (2n l) ter Ordnung f(X) gegenwartig die Function 2?v ter Ordnung 

(10.) /"(A) = {c4-c,A-hc,A f H ----- h6W2/"- 2 +iA A- 1 +i/:/"}(a 1 H-;0( 2 -f-;0---(n-hA). 
Die algebraischen Integralgleichungen werden in diesem Fall etwas complicirter. 
Die partielle Differentialgleichung in ,r 15 .r.,, ... x n ausgedriickt lautet 
( d V\ * ( d V\ * ( d V\* 

(ii.) U + 4- )+--h - * 

V ax } ) \ oa> 9 J \ ox,, ) 

und lasst sich daher in folgende zerlegen: 



wo 

Hieraus rindet sich: 

V = Jl/^l^lT^, d^ -fj yi 
Denkt man sich nun mit Htilfe der obigen Relation fi n durch k und die iibrigen 
ft ausgedriickt und bezeichnet die unter dieser Hypothese gebildeten Differential- 
quotienten von V mit Klammern, so gehoren zu den der partiellen Differential 
gleichung (11.) entsprechenden gewohnlichen Differentialgleichuno-en die Integrate 



Bezeichnet man dagegen ohne Klammern die Differentialquotienten von T, bei 
deren Bildung auf die zwischen den Grossen /y if fi.>. ... ft H bestehende Relation 
keine Riicksicht genommen wird, so ist 

8 V 



Man kann daher den Integralgleichungen durch Einfuhrung der Bezeichnang 

r n T.>, ... T H fiir die Constunten 2/yj r, 2/4 r, ... -r die symmetrische 
Gestalt geben : 

30* 



2 |r = fwfe^ = +r 



- = H-r, 



^==r- = M-T W . 



Diese Gleichungeri drucken allerdings nicht unmittelbar einen algebraischen 
Zusammenhang zwischen den Variablen x aus. Aber derselbe tritt sofort her- 
vor, wenn man die Werthe der sammtlich auf Kreisbogen, oder sammtlich auf 
Logarithmen fiihrenden Integral e bestimmt und bemerkt, dass die hieraus sich 
ergebenden Werthe der Variablen x entweder alle durch Sinus und Cosinus, 
oder alle durch Exponentialgrossen dargestellt werden, deren Argument das 
Product von t in eine und dieselbe Constante bildet. Man erhalt daher alge- 
braische Relationen, wenn man t zwischen den obigen Gleichungen eliminirt. 
Den Werthen der Variablen x kann man die Form geben: 



]/-- ^ r sin [^-^(H- -/;,)], 



Die aus der Elimination von t zwischen diesen Grleichunen hervorehenden 






Kelationen lassen sich so darstellen, dass eine einzige vom zweiten Grade, alle 
ubrigen linear in Beziehung auf x 1} x 2 , ... x n werden. 

Das System gewohnlicher Difterentialgleichungen, welches der partiellen 
Differential gleichung (11.) entspricht, ist 



Man sieht also aus dem Bisherigen, dass, wenn man von den Differential- 
gleichungen (9.) in /l n /,<>, ... 2 n unter der Voraussetzung, dass /(^) die ganze 
Function 2w ter Ordnung (10.) von 2 sei, ausgeht und die Substitution der 
Variablen x^ x^, . . . x n fiir / 1? fa, ... 2 n vornimmt, man auf diese einfachen 
Differentialgleichungeri (12.) in x\, x 2 , ... x n kommen muss. Diesen Gang der 
Qntersuchung habe ich in meiner Abhandlung fiber das Abelsehe Theorem im 
24 ste " Bande des Crelleschen Journals genommen, ohne jedoch die hier aufge- 
deckte Quelle anzugehen. 



237 

Auf eine ahnliche Art hat Luymnye im ersten Baride der Turiner 
Memoiren in der Abhandlung iiber die Attraction nach zwei festen Centren 
das Fundamentaltheoreni der elliptischen Transcendenteri bewiesen, welches ein 
specieller Fall (n = 2) dieser Untersuchung ist. 



Eiminddreissigste Vorlesung. 

Allgemeine Untersuchungen iiber die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. 
Die verschiedenen Formen der Integrabilitatsbedingungen. 

Wir werden uns jetzt mit allgeiueinen Untersuchungen iiber die partiellen 
Differentialgleichungen erster Ordnung beschaftigen und hierbei annehmeri, dass 
die gesuchte Function selbst in der Differentialgleichung nicht vorkommt. 
Diese Annahme ist keine wesentliche Beschrankung, da sich der allgemeine 
Fall immer auf diesen zuruckfiihren lasst. In der That, wenn die vorgelegte 
Differentialgleichung die gesuchte Function V enthalt, also die Form 






/ dV 8V dV \ 

\ ^ qit (h 



hat, so fiihre man eine neue unabhangige Variable q und eine neue abhangige 
W durch die Gleichung 



ein; dann wird 



also 



dW_ dW_ dV_ QW 

~ q ~ 



v _dW cWW dV 1 dW 





_ 

dq dq l q dq^ dq n q dq n 

Daher geht die vorgelegte Differentialgleichung in die folgende (iber: 

(dW I dW I dW \ 

= 0> ^ , --- = , ... - --5 , q lt q. 2 , ... q n , 
V dq q dq, q dq n 

welche zwar eine unabhangige Variable mehr enthalt, nainlich q, in welcher 
aber W nicht selbst auftritt, sondern nur seine Differentialquotienten nach q, 
q l9 </ 2 , ... q n . Wir konnen uns also, ohne der Allgemeinheit zu schaden, 
auf den Fall beschranken, wo 



238 
aV dV_ dV^ 

die gegebene Differentialgleichung ist und V selbst in der Gleichung nicht vor- 
kommt. Setzen wir zur Abkiirzung 

BV 



so haben wir demnach die Gleichung 

00 5P(Pn P*> Pn, </ tf g , q) = 0. 

Werin wir zur Bestimmung von V dieselbe Methode anwenden wollen, 
die wir nach Lagrange fur den Fall von n = 2 in der zweiundzwanzigsten 
Vorlesung darchgeiuhrt haben, so mussen wir die Grossen yj,, p 2 , ... p n als 
Functionen von ^,. q 2 , ... q n so zo bestimmen suchen, dass 

(20 />! dq t -i-p, dq,-\ ----- hp n dq,, 

ein vollstandigea Differential wird. Aber wir stossen hierbei auf eine eigen- 

o o 

thiiinliche Schwierigkeit. Da namlich die Gleichung (1.) schon eine Relation 
zwischen den Grossen p und q ist, so brauchen wir noch n 1 andere Re- 
lationen. um sannntliche Grossen _y; 1; p 2 , ... p,, durch q^ q. 2 . ... q n ausdriicken 
zu konnen. Wir haben also iiber n 1 Functionen der Variablen q lf <y 2 , . . . q n 
zu verfugen und mussen diese so bestimmen, dass der Ausdruck (2.) ein voll- 
standiges Differential wird. Um dieser Forderung zu geniigen, mussen die 

/yj f ny _ 1 j 

sammtlichen v - Bedinunsleichunen der Form 






8q k ~~ dq. 
oder, was unter Einfuhrung der abgekiirzten Bezeichnung 



/yi f M _ 1 j 

damit iibereinkoinmt, die v - Bedingungsgleichungen 

(, V = 

erfiillt sein, wahrend man nur iiber n 1 Functionen zu verfugen hat. Fur 
n = 2 sind zwar diese beiden Anzahlen einander gleich, namlich gleich 1, in 
alien anderen Fallen aber iibertrifft die erste Anzahl die zweite. 

Diese Schwierigkeit hat bisher die Analysten davori abgehalten, die 
Lagrangesche Methode auf eine grossere Anzahl von Veranderlichen auszudehnen. 



239 

Wir werden tins durch dieselbe nicht abschrecken lassen, sondern, da wir 
a priori wissen, dass sich die Aufgabe, obgleich sie mehr als bestimmt zu sein 
scheint, dennoch losen lasst, vielmehr untersuchen, wie es zugeht, dass man 

durch n 1 Functionen die ^ - Bedingungsgleichungen erfiillen kann. 

Es ist von vorn herein ein Umstand zu bemerken. der bei dieser Unter- 

n r n \\ 

suchung zu Statten kommeri muss, weil durch ihn die - ^~ Bedingungs 
gleichungen in Verbindung mit einander gebracht werden. Sincl namlich i, i , i" 
drei beliebige Indices, so hat man die Identitat 



dq. dq., dq.,, 

Hieraus folgt zwar noch nicht, dass, wenn (i", /) = und (i, i ) = ist, auch 
(Y, * ") verschwindet, wohl aber dass dieser letztere Ausdruck alsdann unab- 
hangig von q { ist, so dass, wenn er fur irgend einen Werth von q ( verschwindet, 
er uberhaupt gleich Null ist. 

Um die vorliegende Frage erschOpfend zu behandeln, mussen wir zu- 
nachst die Bedingungsgleichungen transformiren. In der bisherigen Form dieser 

dp. dp 

Gleichuno en. -= = -~ , werden die Grossen p nur als Functionen der Grossen a 
dq k dq. 

angesehen, d. h. man setzt voraus, dass die n Relationen zwischen den Grossen 
p und q, von welchen die eine durch die Gleichung (1.) gegeben ist, wahrend 
man fiber die iibrigen n 1 zu verffigen hat, nach den n Grossen PI, p 2 , . . . p n 
aufgelost sind. Dies ist eine fur die in Rede stehende Untersuchung zu ex- 
plicite Form. Wir wollen eine andere Hypothese fiber die Darstellung der 
Grossen p^ p 2 , . . . p n machen und annehmen, man habe 
p n dargestellt als Function von q^ q 2 , ... q n , 

1} *) n n n 

l n > J J n\? J nl */! J ^/2) l/n? 

n - - - j> )) ti d^ n 

i _T +1 l j nl, jtn> "U i 2 * " !/ 

7) >) /i n n n n 

tJ\ A- o , /-^M 9 ......... tj y, t , [ ti 5 /I ? / ^ 9 ... y n 

Wir werden die unter dieser Hypothese genommenen Differentialquotienten 
von p, nach p i+l . }) i+2 , - Pn> </!> ^-2? In ohne Klammern schreiben, 
wahrend wir die nach der urspri mglichen Hypothese gebildeten Differential- 



240 

quotienten, nach welcher sammtliche p nur Functionen von q l , q%, ... q n sind, 
in Klammern einschliessen. Diese Veranderung der Darstellungsweise erfordert. 

dass wir die in den 9 - Bedingungsgleichungen vorkommenden und jetzt 

einzuklammernden Differentialquotienten in andere umsetzen, was nun ausgefuhrt 
werden soil. 

Die ^-= - Bedingungsgleichungen konnen wir in tblgender Weise 
anordnen: 

~dq,J V3g,/ \dq 9 ) \5^j / \dq m+ J \ dq l J V dq u ) \ &q l / 



(3.) 



Bq, > dq n ~ \ dq 



(dp. \ f dp \ 
^~] = \-fT-), wurde oben, nachdem das 

Glied rechts auf die linke Seite gebracht worden, durch (i, /:) = bezeichnet, 
so dass wir z. B. die Grleichungen der w te " Reihe, 



_ _ 

q m dq m - a</,,, S< - B<j 

abgektirzt durch 

(w, w-l-1) = 0, (m, ?-h 2) = 0. . . . (//*, w) = 

darstellen. 1st nun / irgend einer der Indices m-f-1, ?n-}-2, ... n, so hat man 



dq { 

oder wenn wir (- rj" +1 ), ( ^" +2 ); r&r) nn>t Hiilfc der Bedingungsgleichungen 
(3.) durch die Differentialquotienten von p { ersetzen. 

Pru ( Q Pi \ 9 P m ( Q P: \ d P,n( d Pi 

m+l \dq m+ J + dp^dq^.r H dp n \dq 



241 

Die Berlingungsgleichungen der m teu Reihe werden daher, wenn wir sie in um- 
gekehrter Ordnung von (m, 11) = anfangend schreiben : 

dp ( dp \ dp ( dp \ dp ( dp \ Q^ ( dp 

I i lii 1 i .i "* I *- ft 

dq 

in 



(4.) 



^ I O 

dp n \ dq n 



fy m - 



dp. 



i 



m+2 



ein System von Gleichungen, welche wir, nachdem die rechts stehenden Glieder 
auf die linke Seite geschafft worden sind, durch die abo-ekurzte Bezeichnuns 

o o o 

darstellen. Diese Gleichungen (4.) sind nicht mehr mit denen der m te " Reihe 
des Systems (3.) identisch, weil wir bei ihrer Bildung die Gleichungen der 
folgenden Reihen dieses Systems zu Hiilfe genommen haben; die Gleichungen 
beider Systeme stehen viehnehr in der durch die Relation 

dp 

i m / 



(+1 



ausgedruckten Verbindung. Wendet man aber auf alle Horizontalreihen des 
Systems (3.) dieselbe Transformation an, vermittelst welcher aus der r ten 
Horizontalreihe die Gleichungen (4.) hergeleitet worden sind, so ist das trunx- 
formirte System mit dem urspri iny lichen System (3.) yleichbedeutend. Urn dies ein- 
zusehen, schreibe man das transformirte System in urngekehrter, also in fol- 
gender Ordnung: 

((w !,)) = 0, 

((w-2, )) = 0, ((n-2, -!)) = 0, 

((w 3,w)) = 0, ((w 3,w 1))=0, ((/t 3, 



Jacob!, Werke. Supplementband (Dynamik). 



31 



242 
dann ist 



((n l, 



n _ 2 

2, w)) = (w 2, w) ^ : (n 1, ri) , 

A W 1 



n 2 -t ra 1 



-3, n-1)) = (n-3, w _l)_- 3 -( w _2, w - 



< 
((w 3, n 2)) = (w 3, ^ 2)-h= 3 -(w 2, w 1)4- -=^ (w 2, w), 



i 



Hieraus sieht man, dass aus den neuen Gleichungen auch die urspriinglichen 
folgen, dass also beide Systeme gleichbedeutend sind. 

Um nun aus dem System der Gleichungen (4.) die eingeklammerten 
DiiFerentialquotienteri ganz wegzuschaffen , bilde man aus demselben das neue 
System 

((m, w)) == 0, 

dp 



dp. dp. 

0)- ~ (K +!)) ----- -~ 






, , 

^ t! ((m, 0H-2))- ...... , - -^((ns n)) = 0; 

Pm+2 in 

dann fallen aus diesem neuen System vermoge der Gleichungen 



dq k ~- dp i+l dq k dp n dq k dq k 



243 
die eingeklammerten Differentialquotienten gaiiz heraus, and man erhalt: 

P m 6 Pn 8 P,u 8 Pn d P m 6 Pn 8 Pm 8 Pn 



P,, t+ i d V nt+l dp m+2 dq m+2 dp n dq n dq n dq^ 

dp m dp n _, dp m dp n _^ | dp m dp n _ dp m dp n _i dp m 



3p m +\ dy,, l+ i 8 Pm+2 8( lm+2 8 Pn 8 $n 8( lnl 8 Pn 8c Ln 8c Lm 

dp m dp. Bp m dp. t t dp m dp. | dp m dp. dp m dp, dp m 

(5.) 

dp. 



f ni L m-f-i | m m+i . ^ ^ . m >n-t-i . " m ~ 

7^ ^ T ^ "I 1 -I 1 I <~1 n 



Dieses System ist mit dem System (4.) gleichbedeutend, so dass sowohl die 
Gleichungen (4.) aus den Grleichungen (5.) hergeleitet werden konnen, als 
auch diese aus jenen, wie aus der Bildung der Gleichungen (5.) von selbst 
hervorgeht. 

Sammtliche Gleichungen des Systems (5.) sind in folgendem allgemeinen 
Schema enthalten: 

dPm d Pi d P m d P> fy m d Pi 3 P nt d Pi dp m 8 Pi dp m 



dq. dp. 



. +l 



oder 



_ __ _ ___ 

, =m+1 ~dp t dq k JM+I dp k dq k dq. dq m 

Diese Gleichung ist mit Ausnahme der beiden letzten Glieder ganz symmetrisch; 
denn wenn sich die zweite Sum me nur auf die Werthe i-\-l bis n erstreckt, 
wahrend die erste auch noch die Werthe m-hl bis i umfasst, so riihrt dies 
nur daher, dass unserer Hypothese nach in p c die Variablen p i+l , jy (+2 , . . . p n 
vorkommen, die Variablen p lt p 2 , ... ^,_ a aber nicht, so dass die Grossen 
dp. 



nur dann von Null verschieden sind. wenn >t ist. 

Wir konnen aber die Aufgabe der Transformation der Bedingungs- 



31* 



244 

gleichungen noch allgemeiner fassen. Irgend eine derselben ist 



(t,* ) = oder l_f-L UfJL. =o, 
V dq., J \ dq i J 

wo Pi und PJ, nur von den Grossen q 1} ^ 2 , ... q n abhangen. Nehmen wir nun 
an, Pi enthalte ausser den Grossen q l9 q 2 , ... q n auch noch p x , p x , . . ., ebenso 
Pi, ausser den Grossen </ 1; q 2 . ... q n auch noch p x ,, p,, . . ., und schreiben 
wir unter dieser Hypothese die Differentialquotienten ohne Klammern. so ist 



_. _ 

\ dq.. dq., dp x \ dq.. 



dq. ) dq. dp x , \ dq. ) cp x , \ dq. 

dp \ ( dp, 



oder wenn wir die Differentialquotienten 

durch die Differentialquotienten von p-. und von p, ersetzen. denen sie nach 
den Bedingungsgleichungen (3.) gleich sind, 



_ _ 

, dp" dq x dp~ \ dq, T dq, 



.. 

dp, dq, dq t ~ dp x , dq x , 

wo sich die Summation nach * auf die Werthe x, A, ... bezieht, und die 
Summation nach x auf die Werthe x , 2 , .... Durch Einfuhrung dieser Aus- 
driicke geht die Bedingungsgleichung (i, / ) = fiber in 



t ^, _ s __ _ 

-53" "dq^^r dp x \~dq x ) $ 8p x , \dq x j- 

Man kann allgemein beweisen, dass die Differenz der beiden Summen, welche 

o * 

eingeklammerte Differentialquotienten enthalten, ihren Werth nicht andert, 
wenn man die Klammern fbrtlasst. In der That, es ist 



dq x J dq x X dp x , \dq x j \dp x , 

daher 

~n 



_ 

dq dp x , dq 



245 



da sich aber die beiden Doppelsummen in Folge der Bedingurigsgleichungen 

/ dp, , \ / dp. \ 

geo enseitig aufheben. so ist 

v dg v J \ d(i , 7 fe 



J dp \ do J X dp \da J x dp da x , dp , dq , 

-L X J-X -L X J-X * X -* X ** - X 

und (6.) verwandelt sich in 

fin nit dp, dp. dp. dp. 

n L ~-T "\ _. ^^ 



eine Gleichung. welche sich von der friiheren nur durch das Fehlen der Klam- 
mern unterscheidet. 

Obgleich wir (7.) aus (/, / ) == hergeleitet haben, so sind doch beide 
Grleichungen nicht gleichbedeutend; denn wir haben bei der Transformation von 
den iibrigen Bedingungsgleichungen noch folgende benutzt: 



und zwar fur alle Werthe von # und x . 

Wenden wir die Formel (7.) auf den Fall an, wo die Grossen p^ und p 2 
als Functionen von p 3 , p^ . . . p n , q^, </ 2 , ... q n ausgedriickt sind. Hier ist 
i= 1, i = 2 zu setzen, und x sowohl als x erhalten alle Werthe von 3 bis n. 

Wir haben daher 

d Pi dp, ^dp, dp, dp, Sp, 



_i , 

u n ^. 

dq 2 dq, dp, dp, dp, dp, 




Iii dieser Gleichung sind nur die beiden ersten Terme unsymmetrisch, und dies 
Hegt an dem Vorzug, den wir den Grossen /> 1? p 2 geben, indem wir voraus- 
setzen. dass sie explicite durch die iibrigen ausgedriickt sind. Die Unsymmetrie 
verschwindet, wenn wir statt dessen annehmeri, dass zwei Gleichungeri be- 
stehen, welche alle Grossen p^, p.,. . . . p n und q l} q 2 , ... q n enthalten, und 
dass man sie sowohl nach p\ und p 2 , als nach zwei beliebigen anderen Grossen 
/), und i) it auflosen kann. Diese beiden Gleichungen seien 

y = a , ip = b, 

wo (fj und y Functionen von p l9 -p^ . . . p n , </ 1; q 2 , ... q n und a, b Constanten 
bedeuten. Alsdann wird eine vollstandige Symmetrie dadurch hergestellt, dass 
die in der Gleichung (8.) vorkommenden partiellen Differentialquotienten der 



246 

Grossen p^ p 2 durch die partiellen Differentialquotienten von (f und ip ersetzt 
werden. Da Gleichung (8.) die Form 

(8*.) = : - _ h I ,, 2 7^- 

vq., dq, i_3 \ dp, dq, dq dq, 

hat, so ist es fin* die beabsichtigte Transformation erforderlich, die Grossen 

-J~ ~- und --t--^- 2 ~- f ] durch die partiellen Differentialquotienten 

dq, dq, dp k dq k dp k dq k 

von cp und -ip auszudriicken. Wir miissen hierbei die Grossen p } und p. 2 ver- 
moge der Gleichungen (f =- a und ip == b als Functionen aller iibrigen p 3 , p^, ... 
p n , q,, ... q n , diese aber als von einander unabhangig betrachten. Durch 
Differentiation der Gleichungen (f -- a und ip = b nach q, und q 2 erhalten wir 

d(f dp, dtp dp, d(p d(p dp, d(p dp, dtp 

dp i dq\ dp, dq, dq, dp, dq, dp, dq<, dq<, 

dip dp, dip dp, dip dip dp, dip dp, dip 



Hieraus ergeben sich unter Einfiihrung der Bezeichnimg 

,, d(f dip dtp dip 
dp, r p 2 dp 2 dp, 
die Werthe 

, T dp 2 d(p dip <9</> dy> ,, dp l d(f> dip dip dy> 

dq\ dp, 8q : dp } dq, 8q, dp, dq, ~ dp, dq, 

gy dip gy a<// a^ ay a^ ^ 





dq, \ dp, dq, dp, dq, dp, dq, dp, dq, 

Durch Differentiation der Gleichungen ip = a und ip = b nach p k und q k er 
halten wir 

d(p dp. d(f> dp<. dw d(p dp, dtp dp* d(p 

f J. i i J L 1 i x /\ r L i i -i^i J i\ 

u ? 



dp, dp, dp, dp, dp dp, dq, dp, dq, dq 

(10.) < 

dip dp, dip dp, dip _ dip dp, dip dp, dip 

dp, dp k dp, dp k dp k dp, dq k dp, dq k dq k 

Hieraus ergeben sich, unter Beibehaltung der obigen Bedeutung von N. fur die 
nach p k und q k genommenen Differentialquotienten von p l und p. 2 durch Auf- 
losung der unter einander stehenden linearen Gleichungen die Werthe 
,, dp, dy> dip dip d<p dp, d(p dip dip dtp 

, T dp, d(p dip dip d(p dp, d(p dip dip dtp 



247 
and wenn wir ietzt den Ausdruck -~ ^ ^ - 1 - bilden, so erhalten wir 

dp k dq k dp k dq k 

eine Gleichung. deren linke Seite durch das Quadrat von N theilbar 1st, 
wahrend die rechte Seite N einmal als Factor enthalt. Nach Fortlassung des 
beiden Seiten o-emeinschaftlichen Theilers N enriebt sich die Formel 

(11 \ 



"P* S 9 k 8 P k d( lk I " d P k dq k ~ dp k dq k 
bei deren Herleitung man auch die Hebung des gemeinsamen Theilers N ver- 
rneiden kann, wenn man z. B. die beiden in der ersten Horizontalreihe stehen- 

den Gleichungen (10.) nach -~- und ^~ auflost und in dem fur --^ er- 

dp, op, d Pl 

haltenen Ausdruck an die Stelle von -fi und ^ ihre oben erhaltenen Werthe 

dp k dq k 

setzt. Durch die Formeln (9.) und (11.) verwandelt sich die Gleichung (8*.) in 
d<f dip dgj dip dip d(f dip dy> k= " ( d(f dip dip dy> ) 

dPl d<l\ dpz dlz &Pi dft dp 2 dq, k=z \ dp k dq k dq k dq k J 

Wir haben daher, wenn wir alle Glieder vereinigen, eine von 1 bis n sich 

erstreckende Summe 

( LLtt J \) -- - ^^ J -" - ; L 

und somit den Satz: 

Sind (f = a und ip = b zwei beliebige von den n Gleichungen, welche 
p l , p 2 , - p n als Functionen von q l} q 2 , ... q n so bestimmen, dass 



em vollstdndiges Differential ist, so milssen sie der Bedinguny genugen, 

d(f dip d(f dip d(f dip 



(12.) = 



3p, dq, dp, dq, dp n dq n 

dip d(f dip dtp dip d(f 



dp, dq, dp, dq, dp n dq n 

und zwar ist diese Gleichung eine identische, da in ihr die willkurlichen Con- 
stanten a und b nicht vorkommen. 

Die Gleichung (12.) enthalt das in (7.) gegebene Resultat als besonderen 
Fall. Denn nimmt man an, dass die Functionen (p, y von der Form 

9 =Pif(P x >Pi> ! ft. ^ O 



sind, so geht Gleichung (12.) in Gleichung (7.) iiber. 



248 

Zweiunddreissigste Vorlesung. 

Director Beweis fiir die allgemeinste Form der Integrabilitatsbedingungen. Einfiihrung der 
Functionen H, welche, willkiirlichen Cons tauten gleich gesetzt, die p als Functionen 

der q bestimmen. 

Wir wollen das Theorem, zu welchem wir am Ende der vorigen Vor- 

o 

lesung gelangt sind, direct beweisen. 

Denken wir uns die n Gleichungen, welche pidq l -i-p 3 dq^-\ \-p n dq n 

zu einem vollstandigen Differential machen, und zu welchen die Gleichungen 
(p == a, ip == b gehoren, nach ]),, p. 2 , ... p n aufgelost, und diese Werthe in die 
Gleichungen (p = a und ip == b substituirt, so werden dieselben identisch erfullt. 
Demnach erhalt man aus der partiellen Differentiation von (p = a und \p = b 
nach irgend einer der Grossen q wiederum eine identische Gleichung, wenn 

O A O 

hierbei die Grossen p als Functionen der Grossen q angesehen werden. So 
ergiebt sich aus der Differentiation von (p == a nach q t 

n 
rjfr\ 

= 



. _ _ . 

dp, dq. dp, dq. J dp n dq. J dq, 



( dp k 
I dq. 



4-^ = 0. 



Ebenso ergiebt sich aus der Differentiation von ip = b nach q k 

=1 dpi v dq k ) H dq k 

Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit - - und summirt nach i von 

1 bis 71, multiplicirt man die zweite mit --=^- und summirt nach k von 1 bis n, 

op 

so erhalt man die beiden Resultate: 

( &Pk \ i=n dip dv> 
I _|_ V I I Q 

V dq.. J ,- = i dp ; dq : 



i=i k=i dp. dp k V dq. J 1=1 dp. dq. 

k=n i=n Qy dip ( dp. \ 

k=i =!. dp k dp. V dq k J 
Wenn man diese Gleichungen von einander abzieht, so fallen die Doppelsummen 
heraus, denn da die Grossen p aus den n Gleichungen bestimmt sind, welche 
pidq l -\-p 3 dq^-\ ^-p n dq n zu einem vollstandigen Differential machen, so ist 

" Pi \ ( dPk \ 

) = l-n ); es bleibt also iibrig 



249 



oder 

k=n f Qy fly Qiij j t 

(l.j ^, i-~ ?; ^ *r 

k=i 1 079, dg, dp, do 

ein Resultat, welches mit Gleichung (12.) der vorigen Vorlesung ubereinstimmt. 
Man sieht aus diesem Beweise, dass zur Herleitung der Gleichung (1.) die 
sammtlichen Bedingungsgleichungen 



dq k 

nothig sind, denn nur vermoge dieser Gleichheit heben sich die Doppelsummen, 
die sich auf alle Werthe von i und k erstrecken. 

Die Gleichung (1.) setzt, wie schon fruher bemerkt wurde, nichts welter 
voraus, als dass die Gleichungen (p == a und ifj = b irgend zwei von solchen 

n Gleichungen seien, welche p l dq l -\-p 2 dq.>-\ \-p n dq n zu einem vollstandigen 

Differential machen. In dieser Allgemeinheit genommen konnen a und b so- 
wohl willkurliche Constanten sein, als auch bestimmte Zahlenwerthe, z. B. Null. 
Auch uber die Natur der Functionen <p und y brauchen wir nichts fest zu 
setzen. Diese Functionen konnen selbst willkurliche Constanten in sich ent- 
halten, konnen aber auch von solchen frei sein. 

Nach diesen verschiedenen Umstanden wird es sich richten. ob die 
Gleichung (1.) eine identische ist, oder nicht. Sind a und b nicht willkurliche 
Constanten, so braucht sie keine identische zu sein, sondern kann durch die 
Gleichungen <p = a und y = b selbst erfiillt werden. Dies ist aber der Fall, 
der am seltensten stattfindet; viel hiiufiger tritt, wenn die Gleichung (1.) nicht 
identisch erfiillt wird, der Fall ein, wo dieselbe eine dritte von den n Glei 
chungen ist, welche p i dq l ~\-p 2 dq^-{ t-p n dq n zu einem vollstandigen Differential 

machen; alsdann lasst sich aus Gleichung (1.) und einer der Gleichungen (f = , 
</> == b durch blosses Differentiiren eine vierte Gleichung herleiten. Diese 
wiederum ist entweder eine identische, oder eine Folge der uns bisher bekannten 
drei, oder endlich eine vierte Gleichung des Systems der n Gleichungen, u. s. w. 
So wird es vorkommen konnen, dass man aus (f = a und ^ = b durch blosses 
Differentiiren n verschiedene Gleichungen herleitet, welche das System der 
n Gleichungen erschopfen; aber mehr als n von einander unabhangige Glei 
chungen (y> == a und y == b mijgerechnet) kann man nie erhalten, da alle durch 

Jacobi, Werke. Supplementband (Dynaraik). 32 

- 



250 

die narnlichen n Werthe von p lt p. 2 , ... p n , welche Pidq l -\r-p^dq s -i ----- \-p n dq 
zu einem vollstandigen Differential machen, befriedigt werden mussen. Wir 
sehen also, dass, wenn wir iiber den Character der Gleichungen <p = a, y = b 
nichts festsetzen, sich auch nichts Bestimmtes iiber die Natur der Gleichung (1.) 
aussagen lasst. 

Diese nahere Bestimmung ergiebt sich, wenn wir zu der Forderung, 
dass (f = a, i/ = b zu dem System der n Gleichungen gehoren soil en, welche 
Pidq^-hpidq*-] ----- \-p n dq n zu einem vollstandigen Differential machen, noch die 
hinzufugen, dass 

v = 



eine vollstandige Losung der vorgelegten partiellen Differentialgleichung sei, 
welche also ausser der durch Addition zu V hinzukommenden Constante noch 
n 1 willkurliche Constanten enthalten muss. Nehmen wir an, die vorgelegte 
partielle Differentialgleichung enthalte selbst eine unbestimmte Constante h und 
sei nach ihr aufgelost, sie sei also von der Form 



und die vollstandige Losung V enthalte ausser h die n 1 willkiirlichen Con 
stanten /& 1? h 2 . ... A n=rl ; dann sind 

dV _8V_ 3V 

dq> ~ PI Bq 9 ~-~ p ^ ~W n "~ Pn 

die richtigen Gleichungen, welche p l dq l -i-p 2 dq 2 -l ----- \-p n dq n zu einem voll 
standigen Differentia] und sein Integral zu einer vollstandigen Losung der 
partiellen Differentialgleichung machen. Diese n Gleichungen denken wir uns 
nach den n darin enthalteneri Constanten h, /i l5 ... h n _\ aufgelost und das 
Resultat auf die Form 

h = H, \ = H l , A 2 = jffj , ... h n \ = -Hrei 

gebracht, wo H, H lt ... H n _^ nur Functionen von p l , p 2 , ... p n , q+, q? q n 
sind; dann ist die erste Gleichung, h H, offenbar nichts anderes als die 
gegebene partielle Differentialgleichung, da sie die einzige ist, welche von den 
willkiirlichen Constanten A 1; h 2 , ... h n _^ frei ist. Es giebt also, wie wir sehen, 
jedesmal ausser der gegebenen Differentialgleichung h == H = (f noch n 1 von 
jener, sowie von einander unabhangige Gleichungen von der Form 

\ = H l , 7i 2 = H 2 , ... h n \ = H n \ 

und von der Beschaffenheit, dass, wenn die Grossen p^ p 2 , . . . p n aus diesen 
n Gleichungen bestimmt werden, \(j>\dqi-\-psdq*-\ ----- Kp M G?</ n ) eine vollstandige 



251 

Losung der partiellen Differentialgleichung h = H ist Es ist unmoglich . aus 
diesen n Gleichungen 

eine andere herzuleiten, welche von den Constanten A, A 1? ... h n _^ ganz frei 
ware; denn sonst konnte man aus dieser Gleichung und aus h = H eine der 
Grossen p eliminiren und bekame alsdann eine partielle Differentialgleichung, 
in welcher die Anzahl der Variablen, nach denen differentiirt wird, um eine 
Einheit crering-er ware, als in der voro;eleo;ten, und welcher trotzdem der Aus- 

O O O ~ 7 

druck V -- = kpidqi-hp^dq 2 -\ *rp n dq^) genilgte; Fkonnte daher keine vollstdn- 

dige Losung der Gleichung h = H sein. Es ist also unmoglich alle Constanten auf 
einmal fortzuschaffen; hieraus folgt, dass, wenn wir eine aus den n Gleichungen 
h = H, A! = HI, ... A n _! = H n _ l hergeleitete nnd von alien Constanten A, 
A 15 ... A w _! freie Gleichung erhalten, dieselbe eine identische sein muss. Diese 
Gleichung muss namlich durch die Werthe der Grossen p 1 , p 2 , ... p n erfiillt 
werden, welche wir aus jenen n Gleichungen bestimmen. Aber diese Werthe 
von p } , p 2 , ... p n enthalten wieder ebensoviel von einander unabhangige 
Grossen A, A 15 ... A n _ l5 daher muss jene hergeleitete Gleichung, wenn sie nach 
der Substitution der Werthe von jp 15 p 2 , . . . p n identisch befriedigt werden soil, 
aiich schon vor der Substitution eine identische sein. Eine solche hergeleitete 
Gleichung ist die Gleichung (1.), wenn darin fur <f und i// zwei der Grossen H 
gesetzt werden; daher ist 

r\ j-J JTj ~TT *3 TT ^\ TT J3 TT fl 717^ 

O-tj-i U-tLi , OJcLi OJnLi r ( Q-tli ui 

= o 



fyi d ^ d P* d $2 dPn 8( ln 



eine identische Gleichung. In dem Falle also, wo <p = a und y = b zu dem 
System der Gleichungen h f = H f gehoren, bleibt fiber die Natur der Gleichung 
(1.) kein Zweifel, sondern wir wissen, dass sie alsdann eine identische sein 

muss. Daher sind die ^ - Gleichungen, welche wir erhalten, wenn wir 

u 

fiir (f und ^ alle Combinationen zu zweien der Grossen H t setzen, die Be- 
dingungsgleichungen, denen diese Grossen geniigen mtissen. Wir haben auf 

diese Weise wiederum . Bedingungsgleichungen , welche durch n Func- 

u 

tionen erfiillt werden milssen, von denen die eine, H, bekannt ist, wahrend 
die n I iibrigen H it H.,, ... H n _^ zu suchen sind. 

32* 



252 
Fiihren wir nun die Bezeichnung 



i 8H k 



Bp, dq, dp y dq 2 Bp n dq n 

ein (welche mit der in der vorigen Vorlesung gebrauchten Bezeichnung (i, k) 
in keiner Beziehung steht), so dass fur jeden beliebigen Werth von H, und H k 

(#,-,#0 = -(#*,#/), (5i,J?0 = 

ist. Sollen dann h = H , A t = H l , . . . A,^ = H n _^ die Gleichungen sein, 
welche V zu einer vollstandigen Losung der vorgelegten partiellen Diiferential- 

o;leichunff h == H machen, so miissen die Grossen H den , Bedinguno-s- 

O O *) C5 o 

gleichungen geniigen, welche man erhalt, wenn man in 

(#,:,#*) = 

fiir die beiden von einander verschiedenen Indices i, k alle moglichen Com- 
binationen zu zweien der Zahlen 0, 1, ... n 1 setzt. 

/vt ( m _ "I j 

Diese - - Bedingungsgleichungen sind nothwendig, damit die aus 
den Gleichungen h t == H, hervorgehenden Werthe von p lt p 2 , ... p n den Ausdruck 



zu einem vollstandigen Differentia] und sein Integral zu einer vollstandigen 
Losung der vorgelegten partiellen Differentialgleichung machen. Es bleibt nur 
noch tibrig zu beweisen, dass sie auch ausreichen, d. h. dass, wenn sie erfullt 
sind, auch wirklich p l dq l -\-p. 2 dq 2 -\ ----- \-p n dq n ein vollstandiges Differential wird, 

mithin die -^-= - Gleichunen 






dq k 

bestehen. (Der zweite Theil der Aussage, dass Up l dq l -+-p 2 dq 2 -\ ----- \-p n dq n ) 
eine vollstandige Losung sei, versteht sich alsdann von selbst, da die Con- 
stanten A 1? A 2 , ... h n _ l willkiirlich und von einander unabhangig sind.) Wir 
haben also riachzuweisen, dass aus den Bedingungsgleichungen 

(J3i, 5i) = 
die Bedingungsgleichungen 



dq k 

folgen, sowie oben aus den letzteren die ersteren hergeleitet worden sind. 



253 

Urn diesen Nachweis zu fiihren, mussen wir zu den Gleichungen zuriick- 
kehren, welche am Anfange dieser Vorlesung bei dem directen Beweise der 
Gleichung (1.) vorkamen. Indem wir nur von der Voraussetzung ausgingen, 
dass (f == a und y == b zu dem System der n Gleichungen gehoren, welche 
zur Bestimmung von p l7 p 2 , ... p n als Functionen von q } . q*. ... q n dienen, 
dass mithin <f = a und y == b durch die Ausdriicke der Grossen p in q l . 
</ 2 . ... q n identisch erfiillt werden, erhielten wir die Gleichungen 

i=n k=n Qiij fly f fjp k \ in flip Qy 

T -^ " , ~ I ~5 ) ~^~ ^ ""Zj == ^5 

-^ * =n dip d(f i &Pi \ k=n d(f dtp 
;=\ k=i dp f dp k \ dq k ) k =i dp k dq k 

(dp \ ( dp. \ 
1 ( TT-- I = voraussetzten. 

hoben sich die Doppelsummen beim Subtrahiren auf, und wir erhielten die 
neue Form der Bedingungsgleichungen; jetzt, wo wir die Bedingungsgleichungen 

I -7-^- 1 = I -=-^- 1 nicht voraussetzen diirfen , sondern beweisen wollen . erhalten 

V dq. J \ dq k J 

wir durch Abziehen beider obigen Gleichungen. und wenn wir an die Stelle 






von (f und </; die Functionen H tt und Hp setzen, 



i=n *= 



~* 



f / dp. \ _ 



_ _ 

- C dp k ~d Pi dq k J \ 6q. )-- I dp. 8q. d Pi d 

Die einfache Summe, welche das zweite Glied der rechten Seite dieser Glei- 
chung bildet, ist nichts anderes, als die oben mit (H a) H^) bezeichnete Grosse; 

fiff) _ "j j 

die Doppelsumme, welche das erste Glied bildet. lasst sich auf ^-5 Terme 

zuriickfilhren, da die Glieder, in welchen i == k ist. verschwinden, und von den 
iibrigen je zwei, w r elche durch Vertauschung von * und k aus einander hervor- 
gehen, sich zu einem vereinigen. Auf diese Weise verwandelt sich Grleichung (2.) in 



(2-0 o = ^{^^-^^| f 

,-,i I d d. d d. \ IV d 



dq. 



k . k . t 

\vo die Summation auf alle von einander verschiedenen Combinationen von i und k 
auszudehnen ist. Solcher Gleichungen erhalt man -~ -, indem man fiir H a , 
Hp je zwei verschiedene der Grossen H, H^, ... H n _^ setzt. Es ergiebt sich 

so ein System von ^ Gleichungen. welche in Beziehuno; auf die 

J 2 & & 2 



254 



( ~ j (~5~^~) linear sind, und in welehen (H a , H^) die constanten 



Grossen 

Glieder bilden. Zu beweisen ist, dass. wenn diese letzteren Grossen ver 
schwinden, auch die ersteren sammtlich gleich Null werden. Nun ist in einem 
Systeme linearer Gleichungen das Verschwinden der Unbekannten stets eine 
nothwendige Folge des Verschwindens der constanten Glieder, wenn nicht die 
Determinante des Systems gleich Null ist*), in welchem Fall die Werthe der 
Unbekannten unbestimmt werden. Dass dieser einzige Ausnahmefall hier nicht 
stattfindet, kann man, ohne den Werth der in Rede stehenden Determinante 
selbst zu ermitteln, dadurch beweisen, dass man die Auflosungsformeln des 
Systems (2*.) aus der in (2.) gegebenen Form der Gleichungen dieses Systems 
auf folgende einfache Weise herleitet. Man setze zur Abkurzung 



~ . 
dp. 

und bezeichne mit R die aus den n 2 Grossen a (a) gebildete Determinante, wo 
die Werthe 0, 1, ... n 1 und i die Werthe 1, 2, . . . n annimmt, sodass 



ferner setze man 

B 6R 



daf 

Nach Einfiihrung dieser Bezeichnungen und nach Vertauschung von a und ft 
lasst sich die Gleichung (2.) folgendermassen schreiben: 



Diese Gleichung gilt nicht nur, wenn fiir a und ft zwei von einander ver- 
schiedene Werthe aus der Reihe 0, 1, ... n 1 gesetzt werden, sondern auch 
wenn beide Indices einem und demselben dieser n Werthe gleich werden. In 
diesem letzteren Fall ist Gleichung (3.) eine identische, da in der nur formell 
verschiedenen Gleichung (2*.) alsdann alle Glieder einzeln verschwinden. 

Multipliciren wir Gleichung (3.) mit A^ A ( /\ wo r und s Zahlen aus 
der Reihe 1, 2, ... n bedeuten, so ist es nach dem eben Bemerkten gestattet, 
in Beziehung auf jeden der Indices a und ft unabhangig von dem anderen von 
bis n = l zu summiren. Aendert man im Resultat die Ordnung der Sum- 
mationen, welche einerseits nach i und k, andererseits nach a und ft auszu- 

*) S. p. 160. 



255 
fuhren sind, und bezeichnet mit M i>k die Doppelsumme 



a=0 ?=0 



so ergiebt sich 



Die einfachen Summen, als deren Product sich M ijk darstellt, sind*) gleich 0, 
oder gleich R, je nachdem i von r und A von s verschieden ist, oder i mit r 
und i mit s zusammenfallt. Es*ist also 

M l>k = 0, 
ausser wenn gleichzeitig i = r und k = s wird. und in diesem Falle ist 

M,, == .R 2 ; 
Gleichung (4.) geht daher fiber in 



Hieraus sieht man, dass, wenn die Grossen (H tt) H^) sammtlich gleich 

/ dp r \ f dp s \ 
Null sind, wie wir voraussetzen, auch sammtliche Grossen (-^ J \faT) ver " 

schwinden, es sei denn, dass R gleich Null werde. Aber das Verschwinden 



des Ausdrucks 



-~ --- ^ 

dp, dp, d/> re 

bedeutet, dass die Functionen H, H,, ... // n _ 1 der Grossen j9 15 _p 2 . . . . p n nicht 
unabhangig von einander sind, die Gleichungen H = h , H^ = h^ , ... /4-t = -i 
also nicht hinreichen, um aus ihnen die Variablen p v , p^, . . . p n als Functionen 
von q ly q<>, ... q n zu bestimmen. Von diesem einzigen und selbstverstandlichen 

m (fl _ "I J 

Ausnahmefall abgesehen, kann man also auch umgekehrt aus den - - Be- 

dingungsgleichungen 

(H a , Hp) = 



die - ^ n ~ urspriinglichen Bedingungsgleichungen 






dq 

ableiten. 



fa \ ( fy* \ 
d \ d q ) 



*) S. elfte Vorlesung No. 3, p. 88. 



256 

Dreiunddreissigste Vorlesung. 

Ueber simultane Losungen zweier linearen partiellen Different! algleichungen. 

Die Aufgabe, die vorgelegte partielle Differentialgleichung H = h zu 
integriren, 1st jetzt darauf zuruekgefuhrt, n 1 von einander, sowie von H un- 
abhangige Fimctionen H ly 7/ 3 , . . . H n _ { der Variablen p l . p 2 , . . . p n , </ 15 q 2 , ... q n 

?n (m _ 1 "\ 

zu finden, welche die - *= Bedingungsgleichungen 



(fur die Werthe 0, I, ... n 1 der Indices a, /?) befriedigen, und die man 
n 1 von einander unabhangigen willkiirlichen Constanten /i 1? h 2 , ... h n _^ 
gleich zu setzen hat, Zwischen irgend einer dieser n 1 Functionen, z. B. H^ 
und der uns bekannten Function H besteht also die Bedingungsgleichung 
(H, H^ == 0, d. h. H { genugt der linearen partiellen Differentialgleichung 
6H dK dH SB, dH 8K 



dH dHt dH dH, dH dH, 



dq, dp, dq^ dp, dq n dp n 

oder, was dasselbe ist, H^ == h^ ist ein Integral des Systems isoperimetrischer 
Differentialgleichungen*) 

dH dH dH dH dH dH 

dq : dq 9 : . . . : dq : dp : dp : . . . : dp = -= : -^ : . . . : -= : -- 5 : --- 5 : . . . : -- 5 , 

dp, dp, dp n dq, dq, dq n 

welches fiir H = T U in das System der Differentialgleichungen der Mechanik 
ubergeht. Das Namliche gilt von den Functionen H%, ... H n _^, welche den 
analogen Bedingungsgleichungen (//, 7/ 2 ) = 0, ... (H, H n _^) = genugen. Sammt- 
liche n 1 Gleichungen 

H { = h, , 1/2 = A 2 , ... H n \ = ^n-i 

sind daher Integrale des oben aufgestellten Systems isoperimetrischer Differential 
gleichungen. Aber diese Bestimmung der Functionen H^ H 2 , ... H n _^ ist nicht 
ausreichend. Durch dieselbe geschieht nur den Bedingungsgleichungen 



Geniige, und die iibrigen *= - (11 1) = -- -~ Bedingungsgleichun- 

t 

gen (H a , H) - - 0, welche unter Ausschluss von H zwischen je zweien der n 1 



*) Vgl. p. 150. 



257 

Functionen //,, 7/ 2 , ... //_, bestehen sullen, werden durch die so bestimmten 
Werthe dieser Functionen nicht befriedigt, es sei denn, dass man die?/ 1 Inte- 
grale eigens dazu ausgewahlt habe. Wir konnen niclit einmal a priori wissen, 
ob t iir die erste zu suchende Function 77, ein ganz beliebiges Integral genommen 
werden darf, und ob sicli alsdann die ubrigen n 2 Functionen so bestimmen 
lassen, dass sie sowobl niit H und niit 77^ als auch unter sich alle jene Be- 
dingungen erfullen . 

Eine genauere Untersuchung zeigt. dass 77j in der That unter den Inte- 
imnz willkiirlich ausgewahlt werden kann, dass 77 also nur der Bedingung 

O C? J O O 



zu genilgen braucht ; dass, welche Function H^ man auch dieser Bedingung 
entsprechend nehrnen mag, es immer eine zweite Function 77 2 giebt, welche 
gleichzeitig die beiden Bedingungen 

(11,1^ = 0, (//,,^) = 
ert fillt: dass ferner, welche Function //, man auch diesen beiden Bedinffunsren 

r^ c 1 

entsprechend nehmen mag. es immer eine dritte Function H. A giebt, welche 
gleichzeitig die drei Bedingungen 

(//,7/ 3 ) = 0, (// 1 .7/ :; ) = 0, (7/.,// 3 ) = 

ertullt; und dass man in dieser Weise fortfahren kann, bis alle Functionen 
HI, H*,, ... //_! bestimmt sind. 

Wir sehen, dass die vorliegende Untersuchurie uns mit Nothwendigkeit 

7 O O O 

zu der Beantwortung der Frai> e dranot, ob und unter welchen Bedingungen es 

O O O 7 O O 

moglich 1st, mehreren partiellen Differentialgleichungen gleichzeitig zu genilgen. 
Die zu betrachtenden linearen partiellen Differentialgleichungen seien, um 
die Frage in ihrer grossten Allgemeinheit zu behandeln, von der Form 



Wir wollen die linke Seite dieser Gleichung, in welcher A , A^ ... A n ge- 
gebene Functionen von x^ x l . ... x n sind, mit A(/") bezeichnen, so dass wir 
die Bildung eines solchen Ausdrucks als eine mit der unbekannten Function / 
vorgenommene Operation ansehen. Es sei also 



A (f) = A or-^A } -~-\ \-A n -r- = Ai- 



und ebenso 



= B, 



Jacobi, Werke. Supplementband (Dynainik). 33 



258 



.!(/ ) and -#(/ ) sind zwei verschiedene Operationen dieser Art, welche man 
mit cler Function / vornehmen kann. Wendet man nach einander beide Ope 
rationen an, so ergeben sich, jenachdem man mit der Operation A, oder mit 
der Operation B beginnt, die beiden Ausdriicke B(A(fj) und A (B (/ )), welche 



durch die Gleichungen 



d/ 



k=n i=n 



df 



(jk k=0 i=0 

i=n k=n 



k df 



definirt werden. In beiden Ausdriicken sind im Allgemeinen nur die in Diffe- 
rentialqaotienten zweiter Ordnung von / multiplicirten Glieder einander gleich; 
in der Differenz beider bleiben allein Glieder iibrig, welche die ersten Differen- 
tialquotienten von f enthalten. Fiir diese Diiferenz, welche wir C(/) nennen 
wollen, ergiebt sich 

C(f) = 



oder wenn die Bezeichnung 



C\ = 2 



-A L-A 

Sin ,> -f 1 I 



4-5* 



dA 



eingefuhrt wird, 



cw - 2?ft-|- = c. -^+C- -^-+-+ c "-- 

Bestehen nun, wie wir in der folgenden Untersuchung annehmen werden, 
die w-i-1 Gleichungen 

6 = 0, 6 , = 0, ... C n = 0, 
ist also fur die Werthe 0, 1. ... M des Index * die Gleichung 

" ~~z~;, ^~ j ~TT: ^~ 



erfullt. so hat man 
oder 



5B ; c 

yJ^ -7; ^1, 



B(A(f}} = A(B(f, 



259 

d. h. es ist gleichgultig, ob man zuerst die Operation A imd dann die Operation 
B anwendet, oder zuerst die Operation B und dann die Operation A. 

Diese Unabhangigkeit des Resultats von der Ordnung, in der die Ope 
rationen A and B angewendet werden, ist von grosser Wichtigkeit, denn sie 
lasst sicb auf eine beliebige Anzahl von Wiederholungen beider Operationen 
ausdebnen. Bezeicbnet man mit A\ A*, ... A " die .zvveimal, dreimal, . . . 
r/imal bintereinander angewandte Operation A und ebenso mit B~, B\ . . . B " 
die zweimal, dreimal, . . . w mal hintereinander angewandte Operation B, so 
folgt aus der Grleichung B(A(f") = A(5(/)) die allgemeinere 



Aus diesein Resultat kann man bei der Untersucbung der beiden linearen 
partiellen Differentialgleicbungen 



wenn dieselben den n-\-l Bedingungsgleichungen C, = genilgen, den grossten 
Nutzen zieben, tbeils um die Losungen jeder einzelnen Differentialgleicbung. 
tbeils um ihre simultanen Losungen zu finden. Gesetzt, es sei uns eine Losung 
/j der Differentialgleicbung A(f~) = () bekannt, man babe also identiseb 

-^(/,) = 0, 
so folt hieraus 






Aber da nacb unserer Voraussetzung die n-hl Bedingungen C, = erfullt sind, 
man also die Reihenfolge der Operationen A und B umkebren kann, so gebt 
aus der Grleiehun 



= 



die Gleicbun 



= 



hervor, d. h. ^(/) ist ebenfalls eine Losung von A(f^) = 0. Nach der Natur 
dieser Losung sind drei verscbiedene Falle zu unterscheiden, wobei man sicb zu 
erinnern hat, dass die partielle Differentialgleicbung A(/ ) = ausser /, nocb 
n 1 von einander und von /, unabbiingige Losungen f.,, f. A , ... / und ausser- 
dem die evidente Losung /= Const, besitzt. Es kann /?(/ ,) entweder erstens 
eine von f v unabbiingige Losung /., sein, oder zweitens eine Function von /,. 
welcbe aucb eine Constante werden kann: drittens aber muss es als ein beson- 
derer Fall hervorgeboben werden, wenn /^(/i) dem constanten Wertbe Null 

33* 



260 
gleich gef linden wircl. Wir haben also die drei Falle 



Im ersten Fall haben wir aus der Losurig f\ der partiellen Differentialgleichung 
A(f") = eine zweite Losung f 2 = B(f\~) gefunden, hn dritten Fall haben wir 
zugleich A(f\~) = und $(/ ,) = 0, d. h. /i ist eine simultane Losung von 
A(f) = und $(/ ) 0: den zweiten Fall werden wir spater behandeln. 

Im ersten Fall, wo #(/j) gleich einer neuen Losung f., ist, kann man 
auf dieselbe Weise weitergehen. Da namlich A(f^) = ist, so erhalt man 
= 0, oder nach Vertauschung der beiden Operationen 



d. h. /^"(/i) ist ebenfalls eine Losung von /!(/ ) = 0. Es sincl hier wiederum 
drei Falle zu uuterscheiden, namlich: 



Im ersten Fall hat man eine dritte von f\ und f. 2 unabhangige Losung f. A = ^ 2 (/i) 
von .4(/ ) = 0, im dritten Fall ist f z = ^(/,) eine simultane Losung von A(f) = 
und B(f") == 0; auf den zweiten Fall, in welchem ^ 2 (/0 eme Function der 
frfiheren Losungen f\ und f., = B(f]~) ist, die auch in eine nicht verschwindende 
Constante i lbergehen kann, werden wir spater zuriickkommen. Durch wieder- 
holte Anwendung der Operation B entsteht aus der einen Losung f\ die Reihe 
von GrOssen /i, #(/,), ^> 2 (/i), ^ :) (/i), welche sammtlich der partiellen Diffe- 
rentialgleichung ^4.(/ ) = geniigen. Es sind nun entweder die n ersten Grossen 
dieser Reihe von einander unabhangige Functionen und bilden alsdann ein voll- 
standiges System von Losungen der Gleichung A(f) = 0, oder es wird schon 
eine jener n Grossen, etwa B "(fy, eine Function der vorhergehenden / ,, B(f^), 
B- (/ ,), . . . /^ "~ l (/i)? welche sich auch auf eine nicht verschwindende Constante 
oder auf Null reduciren kann. 

Der fiir die Auffindung der Losungen von A(/ ) = ungiinstige Fall, 
in welchem nicht der ganze Cyclus derselben durchlaufen wird, erleichtert ge- 
rade die Auffindung der simultanen Losungen von A(f) = und B(f) = 0. 

Die allgemeinste Losung von A(f) = ist eine willkurliche Function 
ihrer n von einander unabhangigen Losungen f l} /!>, . . . f lt . Um eine simultane 
Losung von A(f) == und B(f) = zu erhalten, muss diese willkurliche 
Function von /j, /!,, ... f n so bestimmt werden, dass sie auch der Gleichung 
) == ^ geni igt. Fiihren wir zu diesem Behuf in den Ausdruck B(f) fur n 



261 



der M-f-1 Variablen x , o^, ... x n z. B. fur x 1} x 2 , ... x tt die Functionen 
/i, /!,, ... f n als neae Variable ein, and bezeichnen wir die imter dieser neuen 

Hypothese gebildeten Differentialquotienten von / mit ( ~ j, J, , -53 , . . . -7^ , 

wo der neae Differentialquotient l-jp-J von dem fruheren -J vollig ver- 
schieden 1st. so erhalten wir 



und, wenn / eine der Zahlen 1 bis n bedeutet, 

df k df d 



dost *=i df k dx. 
claher wird 



B(f\ = 



i i==n l ~ n df 




f= df. 
oder endlich, da ,2 B f -~- nichts anderes 1st als 



Nun darf / , wenn es eine Losung von A(f) = sein soil, nur von den Grossen 
f k abhangen, x aber nicht mehr enthalten; also hat man (-5^) = 0, und die 

\ OtV ). 

Gleichung B(f) = reducirt sich auf 



(1. h. auf 



Aber in Folge der von uns vorausgesetzten n-hl fur i = 0, 1, ... n 



stattfindenden Bedingungen 



1st mit der Losung f\ von A(f) = gleichzeitig auch ^(/)) eine Losung von 
A(f) = 0, die evidente Losung / = Const, mit dazu gerechnet, folglich sind 
die Grossen #(/i), ^(/g), />X/) sammtlich Losungen von /!(/) = 0; und 
da die allgemeinste Losung von /!(/ ) = eine willkiirliche Function von 
/i, f 2 , ... f n 1st, so sind ^(/i), ^ (/!), ^(/) sammtlich Functionen der 



262 
Grossen /i, f. 2 . ... f n , Iblglich ist die Grleichung 



eine partielle Differentialgleichung, welche f als Function von /j, /!,, ... / re cle- 
finirt. Sie lasst n l von einander unabhangige Losungen y,, y a , ... y M _! zu, 
and ihre allgemeinste Losung, die zugleich die allgemeinste simultane Losung 
von A(f) = und /?(/) = darstellt, ist dalier eine willkiirliche Function 
F(<P\i ^25 y-i) jener w 1 von einander unabhangigen Losungen. Solehe si 
multane Losungen existiren hiernach stets, wenn die n-t-l Bedingungen C/ = 
erfi illt sind. 

Um nun den Nutzen zu zeigen, den die wiederholte Anwendung der 
Operation B auf die Losung f\ von /!(/ ) = gewahrt, wenn es nicht mehr 
auf die Bestimmung der allgemeinsten , sondern einer particularen simultanen 
Losung von A(f) = und B(f) = ankommt. nehme ich an, die Grossen 
/?(/;) = /;, 2 (/,) = / 3 , ... B" l -\ft = f m , wo ?n kleiner oder hochstens gleich 
n, seien von einander und von /j unabhangige Losungen von A(/) == 0, da- 
gegen sei B "(fy keine von /;. /"o, ... /) unabhangige Losung; dann sind zwei 
Falle zu unterscheiden : 

1. Ist #"(/.) gleich einer Function F(f\, f,. ... f,,) von /;, / 2 . ... /,. 
welche auch in einen constanten nicht verschwindenden Werth iibergehen kann, 
so lasst sich die simultane Losung von A(f) = und B(f} = immer so 
bestimmen. dass sie nur von /i, / 2 , ... /, abhangt, die ubrigen Losungen 
f _, , / . , / aber nicht enthalt, Denn durch diese Hypothese reducirt 

/ 7/i-T I * / 1IL~\~- J I I 

sich die obige partielle Differentialgleichung, welche die simultane Losung f als 
Function der Grossen /i, / 2 . ... /j, definirt. auf die folgende: 



welche mit dem System gewohnlicher Differentialgleichungen 

df, :df, :... -.df^ :df m == /, : / 3 : ...:/: F(/, , /,", .../J 

ubereinkommt, Fiigt man diesem System noch die Variable t h mzu, indem 
man die m leichen Verhaltnisse dem Verhaltniss dt : I gleich setzt, so hat man 



dt 
oder 



263 



und demzufolge 



_ 
dt "~ V 1 dt dt"<- 

1st nun <j = Const, irgend ein von t freies Integral dieser Differentiajgleichung 
m ter Ordnung, so 1st / = <f { eine simultane Losung von /i(/ ) = and /?(/ ) = 0. 

2. 1st ^ "(/;) = 0, so hat man = ("- (/",)) = (/ ,) and == A(f, n ^ 
also 1st /] /4 = P> m ~\f } } eine simultane Losung von A(f} = und $(/) = 0. 

Das unter 1. erhaltene Resultat erleidet eine Ausnahme fur m = 1, d. h. 
wenn bereits #(/i) sich auf eine Function von /j oder auf eine von Null ver- 
schiedene Constante reducirt. Dies ersieht man schon daraus, dass die Diffe- 
rentialgleichung zwischen /^ und t alsdann erster Ordnung ist, also kein von 
t freies Integral besitzt. Die partielle DifferentiaJgleichung, welche / als Function 
von / , , /!,, ... f m definirt, geht alsdann in 



fiber und giebt die evidente Losung / = Const., welche unbrauchbar 1st. In 
diesem Falle kann man aus der Losung / , allein gar keinen Nutzen ziehen, 
sondern es ist riothig, eine neue Losung f.> der Gleichung A(f) = zu kennen. 
Wendet man auf f 2 die Operation B an, wie friiher auf f l7 und ist B(f?) nicht 
eine Function von f 2 allein, so ergiebt sich nach dem obigen Verfahren aus f 2 
eine simultane Losung von /!(/) = und J5(/ ) = 0. Ist dagegen B(f^) eine 
Function von f 2 allein, so dass eine simultane Losung auch aus / 2 allein nicht 
gefunden werden kann, so findet man eine solche dennoch durch gleichzeitige 
Benutzung von f( und / 2 . Ist namlich 



so kann man annehmen, dass f eine Function von f\ und f. 2 allein ist, und 
erhalt zur Bestimmung dieser Function die partielle DifferentiaJgleichung 



welche auf die gewohnliche DifFerentialgleichung 



fiihrt und den Ausdruck 

df, 



f _ __ 
i 



als die gesuchte simultane Losung giebt. 



264 



Yierunddreissigste Yorlesung;. 

Anwendung der vorhergehenden Untersuchung auf die Integration der partiellen Differential- 
gleichungen erster Ordnunsr und insbesondere auf den Fall der Meclianik. Satx iiber das aus 

o o o 

zwei gegebenen Integralen der dynamlscheu Differentialgleichungen herzuleitende dritte Integral. 

Um die Ergebnisse der in der vorigen Vorlesung angestellten Unter 
suchung iiber simultane Losungen linearer partieller Differentialgleichungen auf 
den Fall anzuwenden, der uns zu dieser Untersuchung veranlasste, und auf den 
wir bei der Integration der partiellen Differentialgleichung II = h (p. 255 if.) 
stiessen, wollen wir zunachst die n-\-\ unabhangigen Variablen # , x t , . . . x n 
durch eine gerade Anzahl 2n von Variablen x ly x 2 , ... x 2n ersetzen, deren In 
dices wir mit 1 anstatt mit beginnen lassen, so dass die Ausdriicke A(f), 
B(f) jetzt durch die Grleichungen 



B(f) = B l - 

1 cto, , 

definirt werden, und die 2 Bedingtmgsgleichungen 



- 2n 



fiir i= 1, 2, ... 2?^ bestehen. Ferner mogen an die Stelle der 2n unabhan 
gigen Variablen die Grossen p und q treten, so dass 

X l= ( lli *a=9 r a &n = qn, 0!n+l=P l , X n+ 2=p,, . %2n p n 

wird, und endlich seien die Coefficienten A,, B/ durch die Grleichungen 
A _ d 9 A . _ d( f - d( f A d(f> A d 

"il - ~o i " -- "n ? " "n 5 - a n+t - -- n 9 -^l+2 - -i 



bestimmt. 

Alsdann erhalten wir 

d(f df d(f df dcp df <j(f df dy> df d(f df 

dp, dq, dp., dq, dp n ~dq n dq, dp, dq, dp, dq n dp n 



.. ._.. __ 

dp, dq, dp 2 dq, dp n dq n dq l dp, dq. dp, dq n dp n 

oder nach der in der zweiunddreissigsten Vorlesung (p. 251) eingefuhrten 



265 

Bezeichmm 

) = (9, A 



Um die Werthe der 2n Grossen C, fur ^= 1 ? 2, ... 2?i zu erhalten, theilen 
wir dieselben in die beiden Grruppen C, und C n+i fur i = 1, 2, ... n ; dann 
eriebt sich 






a -aw -^w -( -.- - 



-, 



oder wenn man die Identitat 

((//, 

beriicksichtigt, 



Aber da der Ausdruck (y>, -^/) eine lineare Function sowohl der Differential- 
quotienten von (f, als der Differentialquotienten von y 1st, so sind die rechten 
Seiten dieser Gleichungen nichts Anderes als die nach ^- und q { genommenen 



Ableitungen von (y, y); es i t also 






und die sammtlichen 2w Bedingungsgleichungen C t - = 0, C n+i = fur i= 1, 2, ... n 
sind erfiillt, sobald identisch 

(% ^) = 0, 

d. h. sobald f = y eine Losung der lineare ri partiellen Differentialgleichung 
= (y, / ) = 1st. Wenn diese eine Bedingangsgleichung 



befriedigt wird, existiren also stets simultane Losungen der Gleichungen 

(9>,/) = o, (^A = o, 

und man kann zu ihrer Bestimmung die Ergebnisse der vorigen Vorlesung 
benutzen. 

Hiermit ist die am Antange der namlichen Vorlesung aufgestellte Be- 

Jacobi, Werke. Suppleraentband (Dynamik). 34 



26(5 

hauptung bewiesen, wonach man. wenn //, irgend cine der Bedingung (77, 77,) = 
o-enno ende Function bedeutet. immer eine zweite Function fL bestimmen kann. 

O iT* 

welche den beiden Bedingungen (77, 77 2 ) = 0. (//,. 77,) = gleichzeitig gentigt; 
und z\var geben die Untersuchungen der vorigen Vorlesung nicht nur den 
Beweis fitr die Existen/. sondern auch die Mittel zur Bestimmung von 77 2 . 
Die weitere Verfolii ung jener Untersuchungen giebt alsdann unter Voraus- 
setzuiHf der soeben definirten Functionen 77 1; //, die Mittel zur Bestimmung 
dci- neuen Function If. A . welch e gleichzeitig den drei Bedingungen (77, 77) = 0, 
(77,. 77,) = 0. (77,. 77,) = geniigt, u. s. w. 

Aber in der vorigen Vorlesung haben wir nicht nur simultane Losungen 
zweier linearen ]>artiellen Differentialgleichungen ;!(/ ) = 0, 7j(/ ) = 0. welche 
den Bedingungen C { = B(A*)A(Bj) == Q genfigen. bestimmt, sondern, was 
nicht minder wichtig ist. aus einer Losung / , von .!(/ ) = (lurch wieder- 
holte Anwendung der Operation 7> eine Reihe neuer Losungen />(/i) = f-i> 
/>(/!,) = /|,. ... 7^ (/]_,) = f, H hergeleitet. bis die nochmalige AViederholung auf 
eine Losung B (/!) = /)+, fuhrte. welche eine Function F( /\, / >, ... /]) der 
fri ilu ivn oder eine Constante ist. insbesondere auch gleich Null werden kann. 

Indem wir auch hiervon Anwendung auf den vorliegenden Fall machen, 
tritt indessen eine Modification ein. welche auf folgendem Umstande beruht. 
Tin Allgemeinen besitzt .!(/) = () nur die eine evidente Losung / = Const. , 
und uberdies ist uns nach der Hypothese, von welcher wir ausgingen, nur die 
Losung f = f\ bekannt. In dem besonderen Fall aber, wo A ( / ) = ((p. /), 
/)(/") = (//, / ) wird. wiihrend die Bedingungsgleichungen C- t = durch die 
identische Gleichung (y, -j//) == erfiillt werden, kennen wir, wenn / ==/ , eine 
Losung von ((f, / ) == ist, schon von vornherein ausser f\ eine zweite Losung 
/ . und uberdies koinmt zu der allgemeinen evidenten Losung f= Const, gegen- 
wartig noch die besondere / = (f hinzu. Hier ist daher / M1+1 auch dann keine 
iKMir Losiuig, wenn es einer Function F(y), if. , / ,. /!,. ... / ,) gleich wird, die ausser 
/ ,. / .,. ... / , noch uberdies <f> und y enthalt. Mit Rucksicht hierauf, und wenn 
wir den Fall, wo die Function F sich auf eine Constante oder diese auf Null redu- 
cirt. nicht ausdrncklich erwahnen, sondern unter der Bezeichnung F(y, //. / , , /!, . . . /]) 
init bcgreifen. erhalten wir das Resultat: 

Ist /j eine Losung der / defmirenden linearen partiellen Differential- 
gleichung (y, / ) == 0, und wird die Bedingungsgleichung (y, /) == erfiillt, so 
ist (<//,/ ,)==/:, wiederuni eine Losung von (y. / )==0, und /war im Allge- 



267 

meinen eine neue Losung. in besonderen Fallen kann es aber eine Function 
F((f, / , /i) von V> /i im< l ^ er ^ identen Losung y \verdrn. Indem man so 
fortiahrt und (y, ft = f,. O, /i.) = /i, (^ A-.) = /i,,, (V /.) = A+i ^t/t ; 
wircl man im Allgemeinen lauter neue LOsungen / ; . / ,. ... / , ( von (y>, /) == 
erhalten. bis / , /(+1 cine Function /* T (y, / ? A A- / ,) ^ er s t hon vorher ln-kannten 
V j /i- /^ / " lln ^ ( ^ er evidenten Losing y wii d. 

Lasst man nun die Function <f init der Function // zusammenfallen, 
welclie die linke Seite der partiellen Differentialgleichung 11 = h bildet. so 1st 
es zweckmassig, auch die iibrige Bezeichnung zu andern. Man setze y = //, 
j// = //,, f\ = IL, f f. 2 = //,, u. s. \v. , und das obige Resultat lautet: 

Sind die Gleichuno-en (//.//,)== und (//.//)==<> erfiillt. d. h. sind 
II } und //, Losungen der //, detinirenden linearen |)artiellen Differentialglei- 
chung (//,//,) = 0, so ist (//,.//,)== 7/ 3 ebenfalls eine Losung dieser Diiferen- 
tialgleichung, und z\var im Allgemeinen eine neue Losung. in besonderen 
Fallen indessen kann H 3 eine Function von H, //, . II., werden. Indem man mit 
dieser Operation tbrtfahrt und (//,.//,) = II,. (/7 15 // 4 ) == //,. ...(//,. //,,) == H llt , 
(//,.//,) = I~I m+ \ setzt. \vird man im Allgemeinen lauter neue Losungen 77 4 . 
II-,. ... //, von (//, //,) = erhalten*). l)is // /(+1 eine Function der bereits be- 
kannten //, //,. ... //,, die evidente Losung //mit einbegriffen, wird. 

Aber, wie wir wissen. ist es von gleicher Bedeutung, ob wir sagen, 
//, sei eine Losung der II, definirenden linearen })artiellen Differentialgleichung 
(//, //,.) == 0, d. h. der Gleichung 



QH__dH^ dll till, 

f i-\ 1 <-, /-i 



dll dH; dll 91/i dll dH, 



dq { dp, dq. dp., dq n dp >t 

oder ob wir sagen //, . einer willkilrlichen Constante li l gleich gesetzt. sei ein 
Integral des Systems gewolmlicher Differentialgleichungen 

ff(Jj dq., :...: dq n : dp { : dp., :...: dp^ 
^U_ bll dH dH d/f dH_ 

dp { tip.. dp n dq, dq, dq n 

d. h. ein von t freies Integral des Systems isoperimetrischer Ditt erential- 



*) Es ist nicht zu iibersohen, class die (jros^oii //, , // a , // ;; , ... hier irgeiid wclche Losungen der 
Gleichung (//,//.) = bedeuten und nicht das specielle System derjenigen Losungen, welche, Constanten 
gleich gesetzt, die zur vollstandigen Losung der partiellen Differentialgleichung // = h fuhrenden Gleichungen 
bilden. (S. zweiunddreissigste Vorlesung p. ^")0.) 

34* 



eleichuncen 



r- x 



268 



dq t dH dq., dH dq n dH 

dt dp, " </f ~dp~^ dt dp n 

dp, BH dp., dlf dp n 



dt dq t dt dfc dt ~ dq n 

welche, wenn man H= TU setzt, wo T die halbe lebendige Kraft, U die 
Kraftefunction bedeutet, in das System der Differentialgleichungen der Be 
wegung ubergehen. Wir konnen daher das gewonnene Re.sultat in folgendem 
Satz aussprechen : 

Das System der isoperimetrischen Differentialgleichungen 

dq t dH dq^_ dH dq n QU 

dt dp, dt dp., dt dp n 

dp, dH dp, dH dpn_ dH 

dt ~ 8q, dt 8q 2 dt ~ Bq n 

m ivelchem II cine Function der Variables q^ q.,, . . . q H , _/;,, p., . . . p n ohne 
t bedeutet, und welches fur H=TU in das System der dynamischen Diffe- 
rentialyleichungen iibergeht, set vorgeleat. Kennt man zwei von t freie Integrate 
//i = A,, H. 2 = h 2 dieses Systems, und bildet man den Ausdruck 

air a 



Bp * dq * dp * dq 

dH, dl/ } 81I 3 dH, 



dp, dq, dp, r Y., 8p n Bq n 



/co /i-, etne dritte willkurliche Constante bedeutet., im Allgemeinen ein neues Integral 
des Systems. In besonderen Fallen kann IL A erne Function von H, H\, H? oder 
em constanter Zahlenwerth, die Null nicht ausgeschlossen, sein: in diesen Fallen 
ist HZ = h :i kein neues Integral, sondern eine Gleichung, welche unter Voraus- 
setzung der friiheren Integrate PI { = /i } , IL> = h., und des evidenten Integrals H= h 
identisch erfullt wird. Fahrt man mit dieser Operation fort und bildet aus H l und 
II, oder PL und H. A den Ausdruck (// 1} 7/ 3 ) oder (IL>, H.^), so giebt dieser, gleich 
einer Constante gesetzt, im Allgemeinen wieder ein neues Integral u. s. w. 

Dies ist einer der merkwurdigsten Siltze der ganzen Integralrechnung 
und fur den besonderen Fall, in welchem man II = T U setzt, ein Funda- 
mentalsatz der analytischen Mechanik. Er zeigt namlich, dass, wenn der Satz 
der lebendigen Kraft gilt, man aus zw r ei Integraleri der Differentialgleichungen 
der Bewegung im Allgemeinen durch blosses Differentiiren ein drittes, hieraus 



209 

ein viertes, etc. ableiten kann. so class man entweder alle Integrale erhalt. oder 
doch wenigstens eine Anzahl derselben. 

Nachdem ich diesen Satz gefunden hatte, macbte ich den Akademien zu 
Berlin und Paris davon, als von einer ganz neuen Entdeckung, Anzeige. Aber 
bald da rau f bemerkte ich. dass dieser Satz seit 30 Jahren schon zugleich ent- 
deckt und verborgen war, da man semen wahren Sinn nicht geahnt, sondern 
ihn nur bei einem ganz anderen Problem als Hiilfssatz gebraucht hatte. 

Hat man fur ein bestimmtes mechanisches Problem die obigen Diffe- 
rentialgleichungen integrirt und will, nach der von Layrange und Laplace ent- 
wickelten sogenanriten Storungstheorie , die Modificationen bestimmen, welche 
die Bewegung durcli das Hinzutreten neuer kleiner Krafte erfahrt, so wird 
man auf gewisse. aus den p t , q, zusammengesetzte Ausdrficke gefiihrt, welche 
von der Zeit unabhangig sind, ein Resultat, welches zu den grossten Ent- 
deckungen der genannten Geometer gehort. Poisson, der die Untersuchung 
etwas anders anordnete, fand. dass diese von t unabhangigen Ausdri icke genau 
von der Form (H,, Pl^) seien. Dieser Poisson&elbe Satz war wegen der Schwie- 
i-igkeit seines Beweises beri ihmt: aber man legte so wenig Werth auf deri- 
selben, dass Lagrange ihn nicht einmal in die zweite Ausgabe der Mecanique 
analytique aufnahm, sondern seine Formeln als die einfacheren vorzog. Aber 
gerade dieser Poissomche Satz stimmt im Wesentlichen mit dem oben ausge- 
sprochenen tiberein. Derm wenn jene Ausdriicke (H,, 7/ A .), welche bei Poisson 
als Coefficienten in der Storungsfunction auftreten, unabhangig von der Zeit 
sind, so mussen es Functionen sein, welche im ursprimglichen Problem Constanten 
gleich werden. Aber diese Bemerkung war vorher den Geometern entgangen, 
und es bedurfte in der That einer neuen Entdeckung, um den Satz in seiner 
wahren Bedeutung hervortreten zu lassen. 

Dass die Wichtigkeit dieses seit so langer Zeit entdeckten Satzes Niemand 
erkannt hat, dazu hat ein eigenthumlicher Umstand beigetragen. Die Falle, 
in welchen man denselben anwandte, waren namlich gerade solche, in welchen 
der neugebildete Ausdruck kein neues Integral gab, sondern \vo der resultirende 
Ausdruck identisch gleich Null oder gleich einer von Null verschiedenen Zahl, 
etwa = 1, \vurde. Diese Falle, welche in der allgemeinen Theorie als Aus- 
nahmefalle erscheinen, sind iiberhaupt in der Praxis sehr haufig. Damit namlich 
ein Integral mit irgend einem zweiten combinirt nach und nach alle Integrale 
liefere, muss es ein solches sein, welches dem besonderen Problem eigenthftm- 



270 

Hch angehort. Aber die ersten Integrale, welche t i ir ein vorgelegtes Problem 
gefunden werden, sind in der Regel diejenigen, welche aus den allgemeinen 
Principen (z. B. der Erhaltung der Flachen) folgen, mithin dem besonderen 
Problem nicht eigenthtimlieh angehoren; daher kann man nicht verlangen. dass 
aus ihnen alle Integrale abgeleitet werden sollen. 

Wir sehen, dass eine gewisse Polaritat. d. h. eine qualitative Yerschie- 
denheit unter den Integralen besteht. Friiher kannte man dieselbe nicht, jedes 
Fntegral gait fur gleicli viel werth. und der einzige Nutzen, den man daraus zu 
zielien vermochte. war. die Ordnung des gegebenen Systems um eine Einheit 
/u ernierlrigen. Jetzt aber selien wir. dass es gewisse Integrale 77, = A, und 
H 2 = h.j giebt, aus denen man alle fibrigen ohne Weiteres herleiten kann. 
Dieser Fall 1st sogar der allgemeine. Stellen namlicli die Gleichungen //, = /<,, 
f] 2 1i.,, ... //, = h m sammtliche Integrale dar, und bildet man aus den linken 
Seiten derselben nach Willkiir eine Function 



welche vorher gegeben sein kann, so wird man in einer unendlich uberwiegenden 
Mehrzahl von Fallen aus H m+l und einem der gegebenen Integrale. z. B. aus 
ff, ll+ i und //,, alle ubrigen herleiten konnen, und dies ist der allgemeine Fall, 
da H m+ \ einer willkiirlichen -Const-ante gleich gesetzt die allgemeinste Form eines 
Integrals darstellt. Die ersten Intern-ale, die man bei der Losung* eines Problems 

o " ? * 

findet, sind aber in der Regel nicht, wie // w+1 , aus denjenigen, welche dem 
Problem specifisch angehoren und aus den generellen, welche sich aus den all 
gemeinen Principen ergeben, zusammengesetzt. sondern sie sind gewohnlich nur 
die von generellem Habitus, und daher erhalt man aus ihnen nicht die sammt- 
lichen Integrale des Problems. 

Die Anwendung des allgemeinen Theorems auf die freie Bewegung giebt 
den Satz: 

Komt man zwei von t freie Integrale (f = /i, und y == h., des 

il -.i i 8U (Py-i dU d?zi dU 

m; ~dt^ ~8^~ m ~~di r ~ : ^7 m dt* d- 

und bildet man den Ausdmck 

cq Clp 
(y,^) = 3-^ 



271 
.s o ist im Allgemeinen 

O> </0 = 7 <:l 

ewi neues Integral: in hesonderen Fallen, k<mn aber anc/i (y?, i//) eine Function 
der Constanten A,, A L) wirf o er /w (Safe de? 1 kbendifjen Kraft T U= h vor- 
i.nnnneiiden Constitute A oder ein reiner Zahknwertli und zwar auch yleich Null 
werden. 

A uf diese Weise karm man aus zweien der Flachensatze den dritten 
herleiten. Hierzu haben wir nur 

v , _ /. / ?m( > } 

zu setzen, alsdann wird 

d<p d(f d(f 



~^ = niiZi, ~V = 0, 
daher 

also ist 

der dritte Flachensatz. 

Poisson macht in seiner beruhmten Abhandlung iiber die Variation der 
Constanten im 15 te " Hefte des Journals der polytechnischen Schule eine Anwen- 
dung seines oben erwahnten Storungstheorems auf die Storungen der Rotations- 
bewegung um einen festen Punkt. Hierbei wird er genothigt, dieselben Rech- 
nungsoperationen vorzunehmen, welche wir soeben gemacht haben. Daher ist 
in seinen Rechnungen die Herleitung des dritten Flachensatzes aus den beiden 
anderen enthalten; aber er erwiihnt dies merkwiirdige Resultat mit keiner Silbe. 

Aehnliche Betrachtungen kanri . man anstellen, wenn man zu den drei 
Flachensatzen die drei Gleichungen des Priricips der Erhaltung des Schwerpunkts 
hinzufftgt und untersucht, aus wie vielen dieser 6 Integral e sich die Tibrigen 
ergeben. 



272 _ 



Fiinfunddreissigste Vorlesung. 

Die beiden Classen von Intogralen, welche man nach der HamiltonscbQV Methode ftir die 
mechanischen Problem e erha lt. Bestimmung dor Werthe von (</, */>) fiir dieselben. 

Wenn von clem System der Differentialgleichungen 

8H 8U dH hH d// dH 

(1.) dtidq. :clq, : . . . : cttj : cfp 1 : dp., : . . . .dp = 1 : -= : -= : . . . : -= : -- 5 : -~ :...: -_ . 

dPi dp, dp n dq } dc h dq n 

welches das evidente Integral H= h besitzt. zwei von t freie Integrale 77, = h l 
and 7/j, = hz gegeben sind, so kann man zwar, wie wir gesehen haben, im 
Allgemeinen a priori nicht mit Bestimmtheit sagen, ob (//, , // L ,), einer willkiir- 
lichen Constante gleich gesetzt, ein neues Integral ist, oder ob sich (H^ Hf) 
auf eine von h, 7i, und k 2 abliangige Constante oder anf eine reine Zahl und 
endlich diese auf Null reducirt. Diese Frage lasst sich aber vollkommen ent- 
scheiden. wenn 77, = h^ und 77 2 = h. 2 Integrale sind, welche zu dem durch die 
Hamiltousche partielle Differentialgleichung gelieferten System gehoren. Wir 
werden namlich sehen, dass, wenn y = Const, und y = Const, zwei von den 
Hamiltomchen Integralen sind, (y, i//) entweder = 0, oder = + 1 wird. Zwei 
Integrale dieses Systems geben also nie ein neues Integral. I T m cliesen Satz 
zu beweisen, bediirfen wir eines Hiilfssatzes, welcher zeigt. was aus dem Aus- 
druck (y>, ^) wird, wenn in y> und y ausser den Grossen (/,, q 2 , ... q n , p { . 
p.,, . . . />, noch in Grossen cD 1? cD 2 , ... u) k , ... w m vorkommen, welche Func- 
tionen von q v , q. 2 , ... q n und p { , p 2 , . . . p n sind. In cliesem Fall kann man 
sowohl die nach den Variablen p und q genommenen Differentialquotienten von 
(f und i/ , als auch den Ausdruck (y, -ifj) auf zwei verschiedene Arten bilden, 
je nachdem man auf das Vorkommen der Variablen p und q in tD,, w.>. . . . w w 
Ri icksicht nimmt, oder nicht. Bezeichnen wir cliesen beiden Bildungsweisen 
gernass die Differentialqotienten von y: und </; mit oder ohne Klammern und 
den aus (f und ^ gebildeten Ausdruck mit doppelten Klammern ((y, j/ )) oder 
mit einfachen Klammern (y, J/ ), so ist 






Die nach i genommenen Summen erstrecken sich auf die Werthe 1, 2, 



273 
und fur die eingeklammerten Differentialquotienten in (2.) gelten die Gleichungen 

dg> \ _ _dg>_ _ y Jty_fa i >L ( ?y \ = .^L<- v 8 ^ 6 k 
dp. ) ~ ~~ dp. k dta t op. \dp i ) dp. f da k . dp. 



_ _ _ _ __ 

8q~J ~ dq. T dro, dq, \Bq i dq,. ^ k , dq. 

in welchen die Suminen nach / und / von 1 bis m zu nehinen sind. Wenn 
man diese Ansdriicke in (2.) substituirt, so erhalt man als Resultat eine ein- 
fache Sumrae nach i, eine doppelte Summe nach i und /: (oder k } und eine 
dreifache Summe nach i, k und / . Es wird namlich 



dq. dp i aq. 

dtp 



dp. d&, do dq. dm,, dp. J " A- \dp. dns, dq. dq. 

I i A 4 1 J~i ft -l J L i k i-i J.1 

d(f dip 



^^ y, y, I VIJJ 1 y, 

~i~-<i-^ \"rm im zn ~ n- rj-, n^,~ / ^^ 

I ^^L ^M ^^ M" ~ *^ \ S" *"l ^ O 

- ora, dro, \ an. dq. dp. dq. 

k k > L i li LI 2 1 

oder wenn man in den doppelten und dreifachen Summen die Ordnung der 
Summationen umkehrt und die in (3.) gegeberie Definition der in einfache 
Klammern eingeschlossenen Ausdrticke von der Form (y, iff) berticksichtigt. 



Da die Summationen nach / und k auf dieselberi Werthe 1 bis m ausge- 
dehnt werden. so kann man in der ersten Summe der zweiten Zeile k statt 
k schreiben. In der dritten Zeile verschwinden die Glieder, fur welche die 
Werthe von /: und / zusammenfallen, wegen des Factors (w k , cD A ,,); von den 
iibrigen Gliedern kann man je zwei zu einem vereinigen, da (cD r , cD A .) = (tD A , cD ; .) 
ist. Daher braucht man die Summe nur auf die Combinationen je zweier von 
einander verschiedenen Werthe /, /: zu beziehen und erhalt dann (o5 A ., cD A .) in 

multiplicirt; also ersfiebt sich schliesslich 



Des spateren Gebrauchs wegen wollen wir die Formel (4.) specialisiren, 

Jacobi, Werke. Supplemcntband (I>ynamik). 3.) 



974 

indem wir fur die Grossen o) 1; eS 2 , ... Co n die bereits f ruher*) betrachteten n 



von willkflrlichen Constanten freien, nur von den Variablen q l9 q 2 . ... q n , 
pu P?> P abhangigen Functionen //, // 1? ... H n _ l setzen, welche, n von 
einancler unabhangigen willkurlichen Constanten h, A, , ... h n _^ gleich gesetzt, 
die Variablen p^. p 2 , p n dergestalt als Functionen der Variablen q^ </ 2 > ... q n 

bestimmen, dass 

p.dq^p.dq^-i \-p n d<J H 

ein vollstandiges Differential uncl sein Integral eine vollstandige Losung V der 
partiellen Differentialgleichung 11= h wircl. Alsdann ist, wie wir gesehen 

haben, identisch 

(H k ,Il k .} = 0, 

iblglich verschwindet in der allgemeinen Formel (4.) die nach /;, k genom- 
inene Doppelsumme, und wir erhalten 

(5.) ((y, ^)) = (y, ^)+- ||- (9, HJ-2-J2- (^ H k \ 

Jl U-Ll/c /, U JTJ). 

\vo die Summen von / = bis k = n I auszudehnen sind. 

Specialisiren wir nun diese Forme! noch inehr. Nach unserer bisherigen 
Annahme enthalten die Functionen (f und <// die Variablen p und q erstens 
explicite und zweitens implicite vermittelst der Grossen //, // 15 ... H n _ l . 
Nehmen wir gegenwartig an, dass die Functionen <f und ^ die Variablen p 
nur in der letzteren Art, also nur implicite enthalten, erne Form, welche clurch 
EinfQhrung der n Grossen PI als neuer Variablen an Stelle der n Grossen p 
immer zu erreichen ist. Da mithin (p und i// lediglich in q lf q 2 , ... q n , H, 
H 17 ... //_! ausgedriickt sind, so tritt unter dieser Hypothese eine wesent- 
liche Vereinfachung der in Gleichung (5.) vorkommenden Ausdriicke 

L ^- s< " d(f 



p. oq. dp. dq. 

dllk S< 



ein. Die Differentialquotienten ^-, -~~- verschwinden fiir jeden Werth von 

i, es wird 

, dtp r>fJ k , ddJ oH k 



*) S. zweiunddreissigste Vorlesung, p. 250. 



275 



und der allgemeine Ausdruck (5.) von ((y, i//)) nimmt jetzt die einfache Gestalt an; 

dip dy> $H k dy dip dH k 

(b.) ((<P> VOJ = -^n~^Si -3 --- 5 --- Y-^-^TT^, -% --- ^ 

A. dH k i dq { dp. k dll k dq. dp. 



In dieser Grleichung ist die Specialisirung des Hiilfssatzes (4.) enthalten, deren wir 
uns bei Betrachtung der IlamiltonschQn Form der Integrale zu bedienen haben. 
Um unter diesen Voraussetzungen die Integrale des Systems der Diffe- 
rentialgleichungen (1.) in der Hamiltonschen Form vollstandig hinzuschreiben, 
seien. unter Beibehaltung der soeben gebrauchten Bezeichnung, 

die Gleichungen, welche die Variablen p^ p. 2 , . . . /; so bestimmen, dass 

V = 

eine vollstandige Losung der partiellen Differentialgleichung //= h wird. Dann 

sind, wie wir wissen*), die Integralgleichungen des Systems (1.) in der Tla- 
miltonschen Form : 

dV dV- dV 



(7.) , ^ 8fh ** 

dv - - A^ = // dv 



dh 

wo h , h{, . . . /^_i neue willkiirliche Constanten bedeuten. Aber diese In 
tegralgleichungen sind noch nicht sammtlich nach den willkiirlichen Constanten 
aufgelost. Um sie unter dieser Form d. h. nach unserer Terminologie als Inte 
grale zu erhalten, setzen wir fur die erste Halfte der Integralgleichungen (7.) 
die damit gleichbedeutenden Integrale 

//== h, HI = //, , ... #_! = /*_!, 

und in die zweite Halfte derselben, welche bereits nach den willkiirlichen Con 
stanten h , h(, . . . li n _i aufgelost sind, substituiren wir fiir h, A 1? ... A w _ 1 ihre 
Werthe H, //,, ... H n ^. Dann ergeben sich, wenn H , ///, . . . H^ die 
Functionen der Variablen q l , q 2 , ... <?, pi, p 2 -> p n bezeichnen, in welche 

dV dV dV 

durch diese Substitution die Grossen ~, , ^, , . . . -^ iibergehen, die in 

[ zweiten Zeile des Systems (7.) stehenden Integralgleichungen in Form der 

fj> _ ft H = h H 1 = // 

1 11 2 2 -LJ-n 1 "n 1 



Integrale 



*) S. zwanzigste Vorlesung, p. 157. 



Die Grosseri // , ///, . . . H n _^ enthalten die Variablen p t , p 2 , ... /> nur im- 
plicite vermittelst der Grossen //, PI^, . . . //"_,, denn die Function Fund deren 

TVft , 8V dV dV . . 

Diirerentialquotienten _ 7 , , , ... -^ Bind lediglicn von </,. q%, ... </, 

O// C /ij d l n -- 1 

A, A,, ... A n _! abhangig. und daher die Grossen J^ , Jf/, , . . . H ,,^ lediglich 
von den Grossen q { , </ 2 , . . . </, //, //, , ... H n _^. Es sind also // , H^ . .. ^_, 
genau von derjenigen Form, in welcher die Grossen (f und </> in Gleichung (6.) 
nach unserer Annahme dargestellt sind. Dasselbe gilt, wie sich von selbst 
versteht, von den Grossen H, H^ ... H n _-i, wenn wir sie als Functionen ihrer 
selbst betrachten, nur dass alsdann auch die Variablen </,, </ 2 , ... q, { nicht 
explicite in ihnen vorkornmen. Auf Ausdriicke der Form ((//", . fJ i)} oder 
((H u , Hf?y), deren doppelte Klammern wir von nun an zur Vereinfachung der 
Bezeichnung fortlassen werden. lasst sich also die Forme! (6.) fur ((y, /;)) 
anwenden. 

Wird in (6.) zunachst (f = H a , ty = H p, gesetzt, wo a und ft Zahlen 
aus der Reihe 0, 1, ... n I bedeuten, so ergiebt sich 

(11 dH V dH " 3Hk 

(J - 






Aber nach der Definition der Grossen H ist 



<9 V 

vorausgesetzt, dass in ^ 7 fur die Grossen A,, die GrOssen PL gesetzt werden. 

ah a 

Da aus der zur Bestimmung von V dienenden Gleichung 



v = 
fiir den Differentialquotienten von V nach A ft der Werth 



folgt, so ergiebt sich hieraus durch partielle Differentiation nach q f 



dh a 



also nach Ersetzung der Grossen A A durch die entsprechenden Grossen H k 

811 dp. 

(Q\ <* r 

dq { dIJ tl 

Mit Benutzung dieser Gleichung erhalten die in Formel (8.) vorkommenden 



277 

nach i genommenen Sumnien die einfachen Werthe 

BHl, dH . dH* 8 P, dH k 

~ ") , .2 77 



% &Pt 

i dH k 



i dq. dp. i dp i dllp 

und (8.) geht fiber in 

-)77 I}// MTj ^TT 

, -rr> Tr x O fl f. Gill- O -11 n O tl I- 

(J.I TJ \ __ y 1 P A i V 1 

oder da - - fur alle von verschiedenen Werthe von & verschwindet. fur 

C7X/a 

/ = ft aber der Einheit sleich wird, 

1 * <*i rj 



Die rechte Seite dieser Gleichung ist gJeich Null: denn bezeichnet V die 
Function, in welche V iibergeht, wenn die Grossen h k durcli die entsprechen- 
den H k ersetzt werden, so ist 



^ TT ! 1 "1T7? fx i77 ? ... -*-* /i > 7-7 

dH dJJ } dlJ 2 6H n 

also 

"i TT ^ 7 r 

"._ _ _H^_ 
und hieraus folgt: 

Setzen wir nun, um Ausdriicke von der Form (H a , H^) umzuformen, in 
(6.) fur <f und // die Werthe (f = H u , y> = H 3 , so ergiebt sich 



r/ \ _ _ v__ V " y. , 

05 -".V - ^ T /"/ ~~ ?S I ^ r-. TI 



/ ?S I r-. TI 5 

^. , dq. dp. A - d^, dq. dp. 

Mit Benutzung von Gleichung (9.) erhiilt die erste hierin vorkommende, nach 
/ genommene Sumine den Werth 



BH U dH k __ 

T dq : ~~dp^ T dp. ~dH u dll a 

Die zweite nach / genommene Surnme dagegen verschwindet: denn da wir 
die Grossen q lt </ 2 , ... q n und H, 7/ 15 ... //_! als unabhangige Variable an- 

sehen. so enthalt //,.; kein q,, und die DifferentiaJquotienten ,, ^ sind sammtlich 



278 
gleich Null. Auf cliese Weise geht Gleichung (10.) iiber in 



und da ^- gleich oder gleich 1 1st, je nachdem ft von ct verschieden oder 

demselben gleich ist, so hat man fur je zwei von einander verschiedene Werthe 
von a und ft 

(<//,,) = 0, 
dagegen, wenn ct = ft ist, 

(#!,//) = i. 

Endlich ist nach den Bedingungsgleichungen, durch welche die Grossen 
H definirt werden, 



Wir haben also fiir die Grossen H a und H a fblgende identische Glei 



ch unen erhalten: 






= 0, 

von welchen die beiden ersten fur alle Werthe von a und ft gelten, die letzte 
aber nur fur von einander verschiedene Werthe von a und /?, wahrend fur 
a = ft die Gleichung besteht: 

Man kann diese Resultate in folgenden Satz zusammenfassen: 

Es sei das System der isoperimetrischen Differentialgleiclmngen 

dq { dH dq, dH dq n QH 

dt dp 1 dt dp, dt dp n 

dp, dH dp 2 dH dp n QH 



(1.) 



dt do, dt dq n dt 



voryelegt, in welchem H eine gegebene Function der VariaMen q^, q 2 , ... q n , 
Pi-, Pz, - Pn bedeutet, und welches fur H=TU in das System der Di/e- 
rentialgleichungen der Dynamik im Fall der Geltung des Princips der lebendigen 
Kraft ubergeht. Man betrachte die partielle Differ entialg I eichung 

H = A, 

7 , dV dV dV 

in welcfier p { = -~ -, p. 2 = -^ , . . . p n = -^ gesetzt ist, und auj welche sich 

das System (1.) zuritckfuhren lasst. Es seien 



279 



die Gleichunyen, icelche mit II h zusammen p l , p, ... p n so als Functionen 
von q l , </,,, ... q n bestimmen, dass 



ein vollstandiyes Differential und sein Integral 

V = 



eine vollstandiye Losuny der partiellen Differ entialyleichuny H = h wird. Be- 
zeichnet man nun mit H , H[, . . . H^ die Functionen der VariaUen q l9 q, ... q u9 

dV dV 8V 

PI, p 2 , . . p n , in welche die Differentialquotienten ; ? ^/ , - ^ - uber- 

yehen, wenn die Constanten h, h l9 ... h ll _ l durch die Functionen H, H ly ... H n _^ 
ersetzt werden. und stellt man das zum System der Differentialyleichunyen (1.) 
yehorende System der Integrate in der Hamiltonschen Form, d. h. in den Glei- 
chunyen 



ait/, so haben die 2n Functionen H, //,, ... // ;i _ 1? // , //, , // _i, welche die 
Unken Seiten dieser Inteyrale bilden, die Eiyenschaft, dass, wenn man in dem 
Ausdruck 

d(f dip d(f> dip dy> dip 

, ^ 1 5 ^ 1 h 5 -5 

dp. cq. dp., cq., dp oq 

, , N il J.1 JL 2 J-i n J-n 

(a ,ll)} = { 3 . n Q , o a , a 

dip off dip dy> dip d(f 



fi tr (f and ip iryend zwei von den 2n Grossen //, // ]; ... //_!, // , HI, ... H n-l 
setzt, derselbe verschwindet, mit einziyer Ausnahme der Combinationen von H und 
H , //! und HI, ... H n _i und H n _^ deren jede, fur (p und ip yesetzt, den 
Ausdruck (y, ip~) der Einheit yleich macht. 

Vermittelst dieses Satzes kann man sehr einf ache Formeln fur die 
Variation der Constanten aufstellen, was den Gegenstand der nachsten Vor- 
lesung bilden wird. 



Sechsunddreissigste Vorlesung. 

Die Storungstheorie. 

Wenn man in der Dynamik die Theorie der Variation der Constanten 
anwendet. so nimmt man an, dass sich das System der Differentialgleichimgen 



280 

der Beweimno; andert, indem zu der charakteristisehen Function H eine Sto- 

~ ~ " 

rungsfunction /2 hinzukommt, welche ausser den Variablen </ 1? q 2 < ... q n , /),. 
^ 2 , . . . p n auch die Zeit t explicite enthalten kann, dass also die Differential- 
o-leichtmgen in folgende ubergehen: 

PI o O O 

dq : dll jl&_ dp. pH dti 

~dT : ~d^ 6p7 ~dT ~&L,"~~dq~ 

1st nun /2 gegen H sehr klein, so kann man die Werthe der Variablen p t und 
q, im ungestorten Problem (fur 2 = 0) als Naherungswerthe fur ihre Werthe 
im gestorten Problem brauchen und die neuen Werthe von y> 4 . und q, so dar- 
stellen, dass sie dieselbe analytische Form behalten, dass aber an die Stelle der 
fri iheren willktirlichen Constanten (oder Elemente nach astronomischem Sprach- 
o-ebrauch) jetzt Functionen der Zeit treten. Statt, \vie im ungestorten Problem, 
die Grossen p, und q, als die zu bestimmenden Variablen anzusehen, sucht man 
im gestorten vielmehr diejenigen Functionen, welche an die Stelle der alten 
willktirlichen Constanten oder Elemente treteri, d. h. die gestorten Elemente 
werden die Variablen des neuen Problems. Dies gewahrt den Vortheil, dass 
man als erste Naherung nicht Functionen der Zeit, welche constante Grrossen 
enthalten, sondern die Constanten selbst. die Elemente des ungestorten Pro 
blems, erhalt. 

Es kommt nun darauf an, die Differentialgleichungen der gestorten 
Elemente aufzustellen. Erinnern wir uns zunachst an die Hamiltonsclie Form 
der Integrale des ungestorten Problems, also an das in der vorigen Vorlesunc: 

O O 7 O O 

betrachtete System 

(#=/<, H\ /*, , ..- Hn-l = hn-i, 

\H = h +t, H[=h\, ... // _! = /4-i, 
und bezeichnen wir irend ein von t freies Interal des unestorten Problems mit 



a 



wo (f eine von willktirlichen Constanten nicht afticirte Function der Variablen 
q l , </ 2 > 1m P\t jPs> Pn un d o eine willkurliche Constante bedeutet, so 
dass sich (f als Function der 2??. 1 Variablen //, H^, ... //_!. H[, . . . PI n -\ 
und a als die namliche Function der 2?? 1 Constanten /i, /&,. . . . A,,_ 15 A ,, . . . //, ,_, 
darstellen lassen muss. Im gestorten Problem ist a keine Constante mehr, 

-T also nicht mehr gleich Null, man erhalt vielmehr unter Benutzung der 
Differentialgleichungen (1.) fur T den Ausdruck 



281 



da ! = n i dw dq, 8<f dp 



4- 



dt ; lTi V dq t dt dp t . dt 

! = n ( 8ff 811 dtp oU \ ="/" d(f dn c<f d& \ 

V I I _j_ I ?p ^^ "a 5 

/i v a<7. a. ay>. &q. / , i v a^. op. c/p^ d^ ; . / 

oder, was dasselbe 1st, 

(3-) 4- = (^ 



Da yy = = a ein von freies Integral des ungestorten Problems 1st, so geniigt y 
der linearen partiellen Differentialgleichung (H, (f) == 0, und der Ausdruck -J- 
redacirt sich auf 

(3-0 ^ = ^<> 

Die rechte Seite dieser Gleicbung enthalt ausser dem in & explicite vorkom- 
menden t die 2n Variablen q l9 q,, ... q n , p { , }h, ... p n , filr welche wir 
jedoch die 2>i Functionen //, #,, ... ^_i, 5" , -HI, H ,-\ derselben als 
neue Variable einfiihren wollen. Die Einfiihrung der neuen Variablen in 2 
giebt fur (2, (f) die Transformation 

*= 1 f)Q k=nl fin , 

(4.) (fi,y 



A 

Fuhren wir die neuen Variablen auch in y ein und beriicksichtigen , dass (f 

r\ 

von der einen derselben, von H , unabhangig ist, dass also ~jl, verschwindet, 
so erhalten wir fur die Ausdriicke (H/,, y), (H[, (f) die Transformationen 



= 2 



Aber nach dem in der vorigen Vorlesung bewiesenen Satze verschwinden die 
sammtlichen Ausdrucke (H k , H^, (H k , // s ), (H k , H,), (H k , H^ mit Ausnahme 
derjenigen (H k , // s f ), (///, ZTJ, in welchen und ^ denselben Werth haben, und 
von diesen werden die ersteren der positiven, die letztereri der negativen Einheit 
gleich. Dadurch reduciren sich die Ausdrucke von (H k , (f), (///, <p) auf die 
einfachen Werthe 

C-H*} <P) ~djp~ 5 

.,)=- 4- 

Jacobi, Werke. Supplemeiitband (Dyuaraik). OO 



282 

In Folge dessen geht Gleichung (4.) tiber in 

~ s_* = f- 1 _5fl_j9y__* = 

dH BH 



k 



und Gleichung (3*.) giebt fur -^ schliesslich den Werth: 

da _* = ^T 1 5/2 d * = ~ 1 da d 

" - 



Die partiellen Differentialquotienten der Storungsfunction sirid hier in die 

Grossen ,f^, und -^jj multiplicirt, also in Ausdriicke, welche die Zeit nicht 

dH k dU k 

explicite enthalten, da t in <f> nicht vorkommt. Dies ist der beriihmte Pois- 
son-sche Satz. 

Specialisiren wir die Formel (5.), indem wir fur (f die einzelnen Grossen 
J7, HI, ... H n -i, H!, . . . # _! und demgemass gleichzeitig fur a die Grossen 
A, A t , ... A n _ 1; A ,, . . . h n _i setzen, so erhalten wir fur k = 0, 1, ... n 1 

rtn dhk _^L 

w ^ a//; 

und fur & 1, ... n 1 

w 4 - r 

Es bleibt jetzt noch iibrig, dasjenige Integral des ungestorten Problems 
zu betrachten, durch welches die Zeit eingefuhrt wird, d. h. das Integral 

B = h + t. 

Da jetzt h -i-t an die Stelle von a und H an die Stelle von (f tritt, so ver- 
wandelt sich Gleichung (3.) in 

dh 



dt 

und da (//, // ) = 1 ist. erhalt man 

dh 

dt = ( ^ 

eine Gleichung geriau von der Form (3*.), riur class A und H an die Stelle 
von a und (f getreten sind. Indem man in Gleichung (4.) ebenfalls H an die 

Stelle von (f treten lasst, ergiebt sich (12, // ) gleich dem partiellen Differential- 
is o 
quotienten ,, , und man erhalt daher schliesslich 



dt 8H 

d. h. Gleichung (7.) gilt auch fur k = 0. 



283 

Die Grleichungen (2.), welche fur das ungestorte Problem das System 
seiner Integrate darstellen, sind fur das gestorte nur die Definitionso leichungen 

O O O O 

der neuen Variablen A, A,, ... A,,_ t , A , h\, ... h K _ v und dienen dazu, die 
alten Variablen q } , q 2 , ... q n , p ly p.,, ... p n oder deren Functionen H, 
H^ ... //_!, H , H[, . . . Hl_i durch die neuen Variablen auszudrilcken. Indem 
man diese Substitution in der Storungsfunction vornimmt, also in derselben H, 
H lf ... H n _i, H , H[, . . . H n _i durch A, A 15 ... A B _ 1? h -ht, h(, . . . ti n _^ er- 
setzt, so dass eine Function der 2 n -j- 1 Variablen A, A t , ... A w _ 1 . A , h\ , . -. . A^_ 

und ^ wird, o;ehen die Differentialquotienten . -^j^r m -^r -- iiber. 

e/x/. c/ja. c/A. c*A. 

"^ K K k 

und man erhalt fur die Variablen, welche im gestorten Problem an die Stelle 
der Constanten des ungestorten treten, die Differentialo-leichunen 

O O O 

dh da dh, da dh n -, da 



(8.) 



dh dt dh dt 



dt dh dt dh l dt dhn-i 

Dieses System ist von der namlichen Form., wie die Differential o-lei- 
chungen der Bewegung des ungestorten Problems, nur dass an die Stelle der 
Variablen <? t , q.., ... q n , p lt p 2 , ... p n und der Function H derselben die 
Variablen A, A,. ... A M _ t , A , h(, ... h n _ } und die Function SI treten, von 
denen die letztere noch iiberdies die Zeit t explicite enthalt. Die Integration 
dieses Systems ist daher nach den friiheren allgemeinen Betrachtungen *) 
gleichbedeutend mit der Bestimmung einer vollstandigen Losung der partiellen 
Differentialgleichung 



dt 
welche, nachdem die Variablen A , h{, . . . h n _ v durch die Differentialquo 

tienten - , -, ... -7Y7 - ersetzt worden sind, 8 als Function von t, A, 
dh aAj oAwi 

A,. ... A n _, definirt. 

Die hier aufgestellten Differentialgleichungen des Storungsproblems stimmen 
darin mit den von Lagrange und Laplace gegebenen Differentialgleichungen 
iiberein, dass die gestorten Elemente die gesuchten Variablen sind, und dass 
die rechten Seiten der Differentialgleichungen durch die Differentialquotienten 
der Storungsfunction nach den gestorten Elementen ausgedriickt werden. Aber 

*) S. Zwanzigste Vorlesung p. 157. 

36* 



284 

bei ihnen kommen im Allgemeinen in jeder Differential gleichung alle Diffe- 
rentialquotienten cler Storungsfunction vor, und die Coefficienten derselben sind 
Ausdrticke cler Form (y, / ), deren Bildung sehr miihsam ist. Das Nahere 
hieriiber findet man in Lagranges Mecanique analytique, in welcher die Weit- 
lauftigkeit cler nothwendigen Rechnungen mit cler grossten Geschicklichkeit ab- 
eknrzt ist, sowie in Enckes astronomischem Jahrbuch von 1837. In clem ein- 

c"> 

fachen Falle cler planetarischen Storungen ist man nacb den alteren Formeln 
genothigt, 15 Ausdrucke von der Form (y>, y/) zu berecbnen. 

Nur dadurch, dass wir die Elemente des ungestorten Problems gerade 
in der Form genommen haben, wie sie die HamiltonschQ Methode giebt, ist es 
uns moglich geworden die Differentialgleichungen so zu vereinfachen , dass in 
jeder nur ein Differentialquotient der Storungsfnnction vorkommt. nnd dass 
der Coefficient desselben sich auf die positive ocler negative Einheit reclucirt, 
Diese Wahl der Elemente ist von der grossten Wichtigkeit; deshalb haben wir 
bei der Bestimmung der Planetenbewegung durch die Hamiltonsche Methode 
die dort eingefiihrten willkiirlichen Constanten ihrer geometrischen Bedeutung 
nach genau erortert. 

Anstatt die Variablen h k und h k fur die urspriinglichen Variablen p t und 
<?, in das System gewohnlicher Differentialgleichungen ein/ufiihren und so auf 

r) S 

indirectem Wege zu der partiellen Differentialgleichung -^- --- Q = zu ge- 

langen, werden wir uns im Folgenden die Aufgabe stellen, die Einfiihrung jener 
neuen Variablen unmittelbar in der partiellen Differentialgleichung 

(9.) 



die zum Storungsproblem in seinen urspriinglichen Variablen ausgedruckt gehort, 
zu bewerkstelligen. Indem wir hierbei von der zum ungestorten Problem .ge- 
horigen partiellen Differentialgleichung 

(10.) 



eine vollstandige Losung V () als bekannt voraussetzen, welche zur Bestimmung 
der neuen Variablen A A , und h k erforderlich ist, werden wir von der partiellen 
Differentialgleichung (9.) unmittelbar zu der partiellen Differentialgleichung 

(ii.) TT---0 

ubergehen. 



285 

Die partielle Differentialgleichung (9.), in welcher die Grossen p lt 

dV dV dV 

p 2 , . . . p n durch die partiellen Differentialquotienten -3 ? ~^r~> -&T er ~ 

setzt sind, ist gleichbedeutend mit der totalen Differentialgleichung 

(12.) dV = (H-+-Q)dt-+-p 1 dq 1 -+-p y d(i. i -\ ----- \-p n dq n , 

QY QY QY 

wo in H und SI wieder ];,, p,, . . . p n an die Stelle von - , - , . . . - 



O 



etreten sind. 



Indem wir als neue Variable die Functionen einfiihren, welche im un- 
o-estorten Problem willkiirlichen Constanten gleich werden, haben wir eine Sub- 

o 

stitution zu bewerkstelligeri , welche von derselben Natur, wie die in der ein- 
undzwanzigsten Vorlesung betrachtete, aber allgemeiner als jene ist. Im vor- 
liegenden Falle wie dort sind nicht nur fur die unabhangigen Variablen q lT 
q c> , ... q tl , t und fur die gesuchte Function V derselben neue Variable einzu- 
fuhren, sondern die neuen Variablen sind noch iiberdies vori p 1 , p 2 , ... p n 
d. h. von den nach q^, q 2 , ... q n genommenen Differentialquotienten von V 
abhanoif. Die in Rede stehende Transformation geschieht fo]f> endermassen: 

O c5 o o 

Die partielle Differentialgleichung des ungestorten Problems ist 

(10.) ^T + H = > 

welche wir in der einundzwanzigsten Vorlesung*) durch die Substitution 

V = Wht 
auf die Gleichung 

H = h 

if 

zuriickgefuhrt haben. Die vollstandige Losung W dieser partiellen Differential 
gleichung ist eine Function von <?,, q 2 , ... q n , welche ausser h noch die n l 
willkt irlichen Constanten h } , h. 2 , ... h n .^ enthalt. Haben wir sie gefunden, so 
ist das System der Integralgleichungen des ungestorten Problems: 
dW BW 5W 

- P : 



dW ti = n 

dh o/t l dhn-i 

Da A, h n ... h n _ v im ungestorten Problem Constanten sind, so geniigt W der 
totalen Differentialgleichung 

*) p. 16. r >. 



286 

Im Storungsproblem dagegen treten an die Stelle der willkiirlichen Constanten 
Functionen der Zeit; h, A n ... h u _i werden variabel, und es kommt zu dem 



vollstandigen Differential von W die Summe 



8W . dW . dW 

-^r- dh -+- -^j dh.-\ ----- h -^ -- dh n -i 
oft oA a fin - ] 



) dh -\-h\ rf/t, 

hinzu. Man hat also im Storungsproblem 
(13.) d W = p l dq l -+-p t dq. 2 -\ ----- l-p n d 

Diese Gleichung wird durch die Integralgleichungen identisch erfullt, wenn man 
die fruheren Constanten als variabel ansieht, d. h. wenn die Integralgleichungen 
nicht mehr die des ungestorten, sondern des Storungsproblems sind. In 
demselben ist also diese Grleichung eine identische. Daher wird die total e 
Differentialgleichung (12.) fiir dV nicht verandert, wenn wir die Gleichung (13.) 
fur d W von jener abziehen. Nehmen wir die Differenz mit entgegengesetztem 
Zeichen. so ergiebt sich 



Durch die Integralgleichungen des Storungsproblems wird aber auch identisch 
H=h, folglich ziehen sich die auf der rechten Seite stehenden Glieder Hdt-\-tdh 
in d(ht} zusammen. Indem wir diese Grosse auf die linke Seite bringen, er- 
halten wir 

d( Wht V} = Qdt-\-h dh-\-h\ d\ H ----- h/Ui dh lt -i 
oder, wenn wir $ 

Wht V = F V = S 
setzen, 

dS = Qdt-+-h dh-{-/t l d/i 1 -{ ----- h/*-i^-i, 

und diese totale Differentialgleichung ist gleichbedeutend mit der oben erhal- 
tenen partiellen Differentialgleichung 

(ii.) -i = o, 

no 

in welcher die Grossen h , h\, ... A| ( _, durch die Differentialquotienten ~j . 

r5S r9Si 

zu ersetzen sind. Endlich ist die partielle Differentialfflei- 



chung (11.) diejenige , auf welche sich das System gewohnlicher Differential- 
gleichungen (8.) zuriickfiihren lasst. So sind wir auf dem kiirzesten Wege zu 



287 
demselben System von Differentialgleichungen 

dh 3 dh, oti 

~ 



d 



dt dh dt dh^ dt 5/4_i 

gelangt, welches wir fruher auf anderem Wege gefunden hatten. 

Dieses System von Differentialgleichungen gewahrt den Vortheil, dass man 
die erste Correction der Elemente durch blosse Quadraturen findet. Dieselbe 
ergiebt sich, wenn man in /2 die Elemente als constant ansieht und ihnen die 
Werthe beilegt, die sie im ungestSrten Problem hatten. Dann wird SI eine 
blosse Function der Zeit t, und die corrigirten Elemente werden durch blosse 
Quadraturen erhalten. Die Bestimmung der hoheren Correctionen ist ein 
schwieriges Problem, auf das hier nicht eingegangen werden kann. 

Es gilt noch ein anderes merkwi irdiges System von Formeln, welches 
sich ebenfalls auf die Einfuhrung der Constanten h, A,, ... /*_,, //, h\, . . . h n _^ 
als Elemente bezieht. Von den beiden Hauptformen, unter welchen man die 
Integralgleichungen darstellen kann, haben wir namlich bisher diejenige 

betrachtet, in welcher die Gleichungen nach den willkiirlichen Constanten h k 
und h k aufgelost und die Grossen H k und H k lediglich Functionen der Variablen 
</u q-i, - q n -> P\i P-2-> Pn sm d. Die zweite Hauptform ist diejenige, in 
welcher die 2n Variablen q l} q 2 , . . . q n , />, , p%, . . . p n als Functionen von 
t und von den Constanten h, h lt ... h n _ l9 h , /ij, . . . /C_i dargestellt werden. 
Je nachdem man die eine oder die andere Form wahlt, hat man es in der 
Storungstheorie entweder mit den partiellen Differentialquotienten der Grossen 
H k und H k nach den Variablen q { und p t , oder mit den Differentialquotienten 
der Variablen q, und p t nach den willkiirlichen Constanten h k und h k zu thun; 
d. h. man muss entweder, wie Poisson, die Differentialquotienten der Functionen, 
welche den Elementen gleich werden, nach den Variablen bilden, oder. wie 
Lagrange, die Differentialquotienten der Variablen nach den Elementen. In 
jedem Fall hat man ein System von 4?r Differentialquotienten zu bilden. Die 
Constanten h k und h k , welche man durch die Hamiltonsche Form der Integral 
gleichungen erhalt, haben nun ausser den schon angefuhrten merkwQrdigen 



288 

Eigenschaften auch-noch die, dass beide Systeme von Differentialquotienten 
entweder gleich, oder entgegengesetzt werden. 

Nach dem in der vorien Vorlesun bewiesenen Satz.hat man namlich: 



h H )=0, (//;-,//, )=0, ... (H h 5i_0=0, (H i} Hi )=0, (7/ ( ,^- +1 )=0, ... (H t , #_0=0, 

:>) ;., # )=o, (#,, //;)==o, ... (#, //,-i)=o, (7/;-,#/)=i, (# #,+0=0, ...(/^//J-O^o. 



In diesen 2?i Gleichungen sincl die 2ft partiellen Differentialquotienten von 

dTT, dHj 8H f dH\ 



~dq, dq 2 ~dq n dp, <9/> 2 c^ 

die wir als die Unbekannten des Systems ansehen wollen, linear enthalten. 
Als Coefficienten dieser 2n Unbekannten finden sich in den Gleichungen (14.) 
die 2n Grossen 

dH dH 8H dH dH 



und die entsprechenden aus der partiellen Differentiation von 
H , H[, . . . H _ } , H , H- +l , . . . H n _^ hervorgehenden Grossen. Auf der 
rechten Seite der Gleichungen (14.) steht iiberall Null, mit alleiniger Ausnahme 
derjenigen Gleichung, deren Coefficienten Differentialquotienten von H- sind, 
und in welcher die rechte Seite der Einheit gleich ist. 

Das namliche System von linearen Gleichungen, d. h. ein System, in 
welchem die Coefficienten und die rechten Seiten ganz dieselben sind, er- 
halt man aber fiir die nach /i- genominenen Differentialquotienten von p l , 
p 2 , . . . - p n , q l , q 2 , . . q u - In der That, die Integrate 

H=h, H l =/*,, // 2 = A 2 , . . . //, =hi, # re _i = A n -i, 

werden identische Gleichungen, wenn man sich in denselben fiir die Variablen 
<?!? <?2? ^nt P\, pi, p n mre Werthe in t und den 2h willkiirlichen Con- 
stanten eingesetzt denkt. Daljer kann man sie nach jeder der willkiirlichen 
Constanten partiell differentiiren und erhalt durch Differentiation nach ti f das 
System von Gleichungen 

dH dH, dHM dH, dH i+l 



u, , u, - , u, . . . 



dhi dhi dhi dhi dhi dh/ 

1Tr .. dHLL dV -i . ML_ = I dH + l - - Q ^-i _ =Q 



289 

von welchen die erste z. B. in entwickelter Form folgendermassen lautet: 
cM-dpi _d/7% , dH_Wn , ^K^LL L_M^L_ u^-^i" 

^ a*s ft <^r ap. <5/<; % a*; % OA; " <% 6^; 

Dies System unterscheidet sich von dem System (14.) nur dadtirch, dass an 
der Stelle der frilheren Unbekannten 

8Hj fill, dll, rWj dHj 



gegenwarttg die Grossen 



stehen. Aber wenn in zwei Systemen linearer Gleichungen die Coefficienten 
und die constanten Terme einander gleich sind, so sind es auch die Unbe 
kannten, es sei denn, dass die gemeinschaftliclae Determinante der Systeme, d. h. 



im vorliegenden Falle der Ausdruck 



__ _ 

q t dq, dq n 8 Pl dp, dp n 

verschwinde. Dies ist indessen niemals der Fall, denn sonst waren die ^n 
Grossen //, // n ... H n -\> H i H M - I~I n -\ niclit von einander unabhangige 
Functionen der 2n Variablen q l , q.>, ... q n , p l} jj 2 , . . . p n , and das System 
der Integrale ware unzulanglich. um diese 2n Variablen als Functionen von 
//, /< t . ... /i rt _ 1; h -t-t, h\, ... A) t _ 1 zu bestimmen. Demnach sind beide Systeme 
von Unbekannten einander gleicli, d. h. man hat 



_2i_ = dH L d h = dHj WU_ dH, 

(16.) 

I dpi dH: dp^ dHj a P n alii 

dh i dq l <9//. dq 2 /, ~8q 

V 

Diesem System von Forrneln, welches aus der Vergleichung der Sy 
steme (14.) und (15.) hervorgegangen ist, steht ein anderes zur Seite, welches 
durch blosse Vertauschung aus diesem hergeleitet werden kann. Die Systeme 
(14.) und (15.) geben namlich wiederum richtige Gleichungssysteme, wenn man 
f iir alle Werthe des Index i an Stelle der Grossen ohne Strich //|, A, die 
negativ genommenen entsprechenden Grossen mit einem Strich --H-, A , da- 
gegen an Stelle der Grossen mit einem Strich //, , A- die positiv genommenen 
entsprechenden Grossen olme Strich /:/,, A, schreibt. Diese Art von \ ertau- 

Jacobi, Werkc. Supplementband (Dynamik). O? 



290 

schung muss daher auch auf das System (16.) anwendbar sein und ergiebt aus 
demselben das neue System von Formeln: 

ty, dHl dq, oHl fy n dHl 



(17.) 



dh: dp, dhi dp, oht dip 

j. i j. i L n 

dpt_ dHl dp, dHl d P n _dll 



Wir fassen das ganze Formelsystem (1C.) und (17.) in den vier Gleiclmngen 
zusammen 

b(Jk dHi 

Mi dp k 

fy* dill 



dh dq k dh ; dq k 

und sprechen das gewonnene Resaltat in nachstehendem Satz*) aus: 

Denkt man sicJi vermittelst des in der Hamiltonschen Form aufgestellten 
Systems der Integrate 

II =h, H J =/t i: ... H n _i =/?_!, 

H = h +t, II [ = h\ , ... H^ = AU 

einerseits die Constanten h,., h k durch die Variablen p i} q f und die Zeit t aus- 
gedruckt, andererseits aus denselben Gleichunaen diese Variublen durc/t die Con 
stanten und t dargestellt, so sind die bei der ersteren Darstellungsweise yebildeten 
partiellen Differentialquotienten der Constanten nach den Variablen p;, q ( und die 
bei der letzteren Darstellungsweise gebildeten partiellen Differentialquotienten der 
Variablen p^ q t nach den Constanten abgesehen vom Zeichen paarweise einander gleich. 



*) Dieser Satz ist unter dem 21. Nov. 1838 der Berliner Akadeinie mitgetheilt. (S. d. Monatsberichte 
a. d. J. 1838, p. 178.) 

(Ende der Vorlesungen iiber Dynamik.) 



A n h a n 



Jacobi wurde im Fruhjahr 1843 durch schwere Krankheit verhindert, seine Vorlesungen uber Dynamik 
7Ai Ende zu fiihren. Die Anlage derselben zeigt hinlanglich , dass er als Schluss derselbeu seine Methode der 
Integration nicht linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung vorzutragen beabsichtigte, welche 
sich in einer im Jahre 1838 verfassten vollstandig ausgearbeiteten Abhandlung unter seinen nachgelassoneu 
Papieren vorgefunden hat, und welche von mir im fiO ste " Bande des * mathematischen Journals veroffentlicht 
worden ist. Unter Zugrundelegung dieser Abhandlung versuche ich hier im Sinne Jacobis die Liicke zu er- 
ganzen, welche am Schlusse seiner Vorlesungen fiber Dyuamik geblieben war. Clebsch. 



Die Integration der nicht linearen partiellen Differentialgleichungen 

erster Ordnung. 

Die Integration der partiellen Differentialgleichung f = h oder H = h 
wurde in der zweiunddreissigsten Vorlesung (pp. 251, 252) auf das System der 

^ - simultanen Gleichungen 

(1.) (7/,.,//,) = 

zuruckgetuhrt. Sind die Functionen H diesen Gleichungen gemass bestimmt 
so liefern die Gleichungen 

(2.) H =h, #,=/<,, ... JB W _ 1 = A^ ] 

solche Ausdriicke der p, fiir welche 

d V = Pl dc L -i-p, dq, H \-p n d<] a 

ein vollstandiges Differential wird. Statt nun aber die simultane Integration 
des Systems (1.) mit Hiilfe der in der vierunddreissigsten Vorlesung darge- 
legten Principien fortzufiihren, kann man sich die Aufgabe stellen, sofort die 
Ausdriicke zu finden, welche p^ p. 2 , . . . p n in Folge der Gleichungen (2.) an- 
nehmen. Denken wir uns. wie in der einunddreissigsten Vorlesung (p. 239) 
auseinandergesetzt ist, p l als Function der Grossen q und von p. 2 , p., . . . p n 
ausgedruckt, hierauf p 2 als Function der Grossen q und von y; ;i , y> 4 , . . . p rl be- 

37* 



992 



stimmt u. s. w. Wenn p^ p 2 , ... p t gefunden sind, so kann man,.ehe man 
zur Aufsuehung von p i+l iibergeht, die ersteren Grossen durch jp /+1 , P; + ?, p,,. 
und die q ausdriicken. Die i Gleichungen, denen die Function p l+l dann gleich- 
zeitio- zu geniio en hat. findet man aus Gleichung (7.) der einunddreissiffsten 

O O O 7 O \ / O 

Vorlesung (p. 245), wenn man in dieser i der Reihe nach durch die Zahlen 
1, 2, ... i ersetzt und ^-f-1 an die Stelle von i setzt. Da p. t , dann von p i+}J 
_p/+5, p n j dagegen p, +1 nur von p i+2 , p i+ ^. . . . p n abhiingt. so giebt die an- 
gefiihrte Gleichung folgendes System: 



(3.) 



p, 



, 4-3 d 3i+l 

dp, 5 /^-+i 



dp, 



i\ 

\j ,, ,, 

dq., 
dp. 2 



dp.-, 



rjq 

in 

dp.. 



Pn 



= 



p. 



p. 



dp. 



q. 



p. 



dp. 



Wir konnen dies System noch dadurch umformen, dass wir nicht p i+l 
als Function von p l+ . 2 , p i+ s, - p n -> ^i? ^25 <? betrachten, sondern eine Gleichung 

f = Const. 
einfiihren, \\ r elche zwischen p i+1 und diesen Grossen besteht. Dann ist, wenn 



= 



und ftir jeden Werth von h: 



df 



df 



"Pi. 



o. 



Wenn man also die Gleichungen (3.) mit 
selben folgende Form an: 



df 



multiplicirt, so nehmen die- 



(4.) 



dp, 



293 

3f dp, 



Sp. 



dp, df dp, df 



o = 



> 3 df 



dp, df 



of 



df 



df 



= 



df dp. df 



op i+ , op. +l 

dp,- df 
dp,.,, dq 



df 



df 



5ft df 



>i df 



Die simultane Integration dieses Systems sti itzt sich auf die Siitze, welche am 

*/ 

Ende der einunddreissigsten Vorlesung und in der vierunddreissigsten Vorlesung 
gegeben wurden. Ist p x irgend eine der Grossen p,, p 2 , ... p/, und ist 

die Gleichung, vermoge deren p x sich durch p i+l , p i+ 2, p? ^i, ^2? q n 
ausdriickt, so ist 



dp i+/t 



ist aber h 



, so hat man 

d((p p ) 

^fX 1 X 



Die Gleichungen (4.) konnen claher auch mit Hiilfe der Bezeichnung (y, ip) so 
geschrieben werden : 

(5-) (/;^ ] -p 1 ) = 0, (/,^-p,) = 0, ... (/,y j -ft) = 0. 

Bildet man nun den Ausdruck (y x p x , <-,. pi), wo ^? ^ irgend zwei der 
Zahlen 1, 2, ... i bedeuten, so findet man 

(<f X P X l<fAPj = 

Denn sowohl y> x p x = Q, als y,px = U gehoren clem System von Gleichungen 
an, welche zur Bestimmung der p dienen; nach dem am Ende der einund- 



294 

dreissigsten Vorlesung gegebenen Theoreme muss also obiger Ausdruck ver- 
schwinden. Nun wurde in der vierunddreissigsten Vorlesung dargethan, dass, 
wenn ((f, yi) = 0, aus einer Losung F der Gleichung 

(/,?) = o 
die weiteren: 

F = (F, 0), F" = (F 1 , ip) u. s. w. 

sich ableiten lassen. Wenden wir dies auf irgend zwei Gleichungen 

(/., P,) = 0, (/.SPi ft) 

des Systems (5.) an, so folgt, dass aus irgend einer Function F, welche der 

Gleichung 

(F, 9x -p x ) = 

genugt, erne Reihe von anderen Losungen derselben Gleichung gebildet werden 

kann, namlich 

F = (F,<r,- Pi ), F"=(F , (f) - P} ) u. s. w. 

Endlich folgt also auch der Satz: 1st F eine simultane Losung der Gleichungen 

(f> <T , />, ) == 0, (/, <f, p, ) = 0, ... (/, 5 p A _ 1 p fi _, ) = 0, 
so sind auch 

F = (F^ l -p,^ F" = (F , yi! - P/ ^ ... 

xinuiltane Losungen derselben GleicJinngen. 

Xelnnen wir also an, es sei eine gemeinsame Losung F der ersten h 1 
Gleicliuiigen (5.) gefunden, und es werde eine Losung gesucht, welche auch 
noch der / te " dieser Gleichungen genugt. Dann tritt die Frage auf, ob es eine 
dieser letzteren Gleichung gentlgende Function f l> gebe, welche nur eine Function 
von F, den aus ihr entwickelten Losungen F , F", . . . F (f *~ l) und von den 
Grossen q lt , q, l+ i, ... q { ist, welche letzteren offenbar die h 1 ersten Glei 
chungen (5.) (oder (4.)) befriedigen. Die Zahl /u, ist dadurch beschrankt, dass 
F {ft} sich durch die vorhergehenden Functionen F, F , ... F ( "~ l) und durch 
q,,-, q/,+1- - q/ ausdriicken lasst, dass also 



Nun ist die Gesanimtzahl aller gemeinsamen Losungen, welche h 1 von ein- 
ander unabh^ngige lineare partielle DifFerentialgleichungen mit den 2n i 
Variablen q { , q.,, ... q n , p i+l , ]). i+ <>, . . . p n iiberhaupt zulassen konnen: 

2n i (h 1); 
daher ist die Anzahl der Argumente der Function II hochstens dieser Zahl 

gleich, also 

H-+-i (]i 1) < 2n i (h 1), 



295 

oder 

/.* ^ 2(n i}. 

Sehen w r ir nun eine Losung <f> der Gleichung 

( 6 (<*>, 9> h P,) = 

als eine Function der Argumente von Tl allein an. so erhalten wir 



Da in der A tcn Gleichung des Systems (4.) oder (5.) nur nach q h) nicht aber 
nach <7/, +] , <//, + 9. ... ^,- difFereritiirt wird, so verschwinden die Coefficienten 

(q, l+l ,9> k Pj, (?/,+2 9>A P/<)> ^li^nP,^ 

und man findet ausserdem : 

(?/,> 5P A ^) = 1- 

Beriicksichtigt man ferner das Bildungsgesetz der Functionen F, so sielit man, 
dass die Gleichung (6.) oder (7.) in folgende iibergeht: 



^T^ SF r+ ^ IF" -4 77 5^0- ) 

Der Anblick dieser Gleichung lehrt, dass es wirklich moglich ist, eine Func 
tion in der angegebenen Weise zu bestimmen; denn die Coefficienten dieser 
Gleichung enthalten nur die Variablen, von denen f P abhangig gedacht wurde. 
Um eine Losung der Gleichung (8.) zu finden, braucht man nur ein 
Integral des Systems 



dF dF 

? n,. ~~ j~ " 



d( lk 

oder, was dasselbe ist, ein erstes Integral der Differentialgleichung ^ ter Ordnung 

d"F 



zu suchen, wo in Tl die Grossen F\ F", . . . F (f ^~ l} durch - - j-y- , . . . 

d( h d ti dq u h ~ 

zu ersetzen sind. 

Man kann dieses Resultat in folgendem Satz aussprechen: Wenn nun/ 
eine simultane Losung der ersten h 1 Gleickungen des Systems (4.) oder (5.) 
kennt, so erf order t die Auffindung einer Losimg, ivelche auch noch der h en 



296 

Gleichung genugt, nur die Kenntniss eines ersten Integrals einer Differential- 
gleichung, deren Ordnung die 2(/i ij e nicht iibersteigt. 

Um nun (iberhaupt eine simultane Losung des Systems (5.) zu finden, 
hat man nur den soeben durchgemachten Process nnal hintereinander auszu- 
zufuhren. Man sucht eine Losung F der ersten Gleichung (5.) oder ein Integral 
des Systems von 2(?i /) Differentialgleichungen 



__ 

d <ln 



dq, cp i+l dq, dp i+2 dq { Sp n 

Man entwickelt daraus die anderen Losungen derselben Gleichung 
F =(F,9> a -p 3 ), F" = (^ f ,^-A), ... 
Jedes erste Integral der Gleichung 

dF 



welches eine willkurliche Constante enthalt, liefert dann eine Losung, welche 
den beiden ersten Gleichungen (5.) genugt. Sei </> diese Losung; man bilde 



Jedes erste Integral der Differentialgleichung 



welches eine willkurliche Constante enthalt, giebt dann eine Function, welche 
den ersten drei Gleichungen (5.) genugt, u. s. w. 

Die Auffindung einer simultanen Losung des Systems (5.) oder (4.) er- 
fordert also die Kenntniss je eines ersten Integrals von i Differentialgleichungen, 
deren erste von der 2(n ? ) ten Ordnung ist, wahrend die anderen auch von 
niedrigerer Ordnung sein konneri. 

Der sanze Verlauf des Inteo;rationso - eschaftes erfordert also zunachst die 

o o o 

Bestimmung von p l aus der gegebenen partiellen Differentialgleichung. Hat 
man diese geleistet, so sucht man erstens ein Integral des Systems von 2(n 1) 



Differentialgleichungen : 



dp 3 3p l d P n 



_ _ 

dq, dq, dq, dq 3 dq, dq n 



Aus dem gefundenen Integral bestimmt man p.> als Function der q und der 



297 

folgenden p, und indeni man diese Function in den Ansdmck von y;, einfuhrt. 
stellt man y^ in gleicher Weise dar. 

Hierauf sucht man zu elten* ein Integral des Systems von 2(w 2) Difte- 



rentialgleichungen: 



wobei die Difterentialquotienten von y;, in dem neuen jetzt festgesetzten Sinne 
zu nehmen sind. Ein Integral dieses Systems sei F = Const. Man bilde 

dF dp, dF dp. 2 dF dp, dF 

dq., dq x dp., dq^ dp i dq dp 

dp., dF dp., dF dp.; dF 

dj z dq a dp^ dq dp dq 

F _ . 8F _ dp, d_F_ _ dp, dF _ _d_ dF 

dq., dq 3 f/>. ] c<j 4 dp 4 dq dp 

6 / > -^dF^_ oft 3F|__ dp, dF 

u. s. \v. 

bis man zu einer Function F (fl) gelangt (// : ^2(^/ 2)). welche sich als Function 
von </.,, F, F , . . . F (f ~ l) darstellen lasst. 1st dieselbe 

FW = n(F,F f ,...t<r-,qJ, 
so suclie man ein erstes Integral 

(^, dF d-F d f ~ l F \ 

<1> I , , ,,..-. -j-r ~ 7- = t Oust. 
V d(i., dif- dq"~ ] ) 

1 - j - j a 

der Differentialgleichung ,// ter Ordnung 



und bilde die Grleichung 

<I>(F, F , F", ... Flf-V, q,} = Const, 

Diese Gleichung client zur Bestimmung von y>.<. Hjit man dieses durcli y> 4 , 
p 5 , . , . p n und die q ausgedruckt und dadurch auch y^,, p., als Functionen eben 
dieser Grossen dargestellt, so snclit man dritteux ein Integral des Systems ge- 
w6hnlicher Differentialgleichungen 

<t f l\ ^7i f /\ dq s dq l dq it 



Jacobi, Werke. Supplementband (hyuainik). 38 



298 

1st dieses Integral 4 s = Const., so bilde man wieder 

i - j {_ } i_ , m . (_ 

^7.4 dpi dq. t 8p- 3 

?/>., 89 s dp., d<P 



dp 4 dq 4 
dp, BV 



bis man zn einer Function 

<pw 

gelangt (*> <^ 2 (/> 3)). und suche ein erstes Integral 

f/P / 2i P /"" ^ \ 

" ~ :r q * SS 



der Differentialgleichung /^ ter Ordrumg 



^5 

Aus der Function 

bilde man nun die weiteren Furictionen 

x , = _ (9x _ 



X" = 



______._. .. 

4 dp t oq, dp, dq n dp n 

3 dX dp, dX 6p 3 dX 

i dq 4 dp. dq. dp n ~dq n 

dX d 6X> f aX> 



u. s. w. 
bis man zu einer Function 



gelangt ((><^2(w 3)). Man suche sodann ein erstes Integral 



d(M- Differentialgleichung p ter Ordnung 



./x 



299 

Die Gleichung 

_Q(A , X , ...X (t - !) ,</ 3 ) = Const. 

dient dam) dazu. y> 4 durch />,-,- 7A;- !> und die </ auszudrucken. mid also 
auch 7>,, )A,, /> 3 durch diese Grossen darzustellen. 

Indem man auf diese Weise forttahrt, gelangt man endlich dazu. yjj, 
/A,. ... yM,^j als Functionen von p n und von den Grossen </ zu bestimmen. Man 
sucht dann die letzte Grosse^ re durch die q allein auszudrucken. Dies geschieht. 
indem man zunachst ein Integral 3 des Systems 



ableitet. Man bildet sodann 

_, d dp., 



fl , = dS ( dp, dS dp, 85 
d <h dq n 6p n d Pii dq n 

von deiu ii jedenfalls die letztere. wenn nicht schon die erstere, sich durch 2, 
be/iehungsweise 3, E und die Grossen q>^ q. A , . . . q n ^ ausdriicken liisst. Man 
integrirt dann entweder, wenn 

5 = /7Cs,<y 3 , #,,... #_,) 
ist, die Gleichung 

</ /- N 

- = Il(f.,q.,, q,,... ./_,), 

oder. wenn 

5" = 11(5,5 , q^q^...q^ 

ist. die Gleichun 



Indem man deri Ditt erentialquotienten von 3 wieder durch 3 ersetzt, gelangt 
man dann im ersten Falle zu einer Function JT= Y(2, </ 2 ? ?s 5 <_/-! ) ini 
zweiten Falle zu einer Function Y Y(3, 3 , q.,, q^, ... q n -\)- Aus der Function 
Y vverden sodann die Functionen 

yf . d^ dp, BY 8p 3 dY 





abgeleitet, u. s. w. Indem man so forttahrt, gelangt man endlich zu einer 
Function Z, aus welcher man die Functionen 



300 

<fy,,_, dZ 



In 1 J a I n f n n 

ableitet. Ist scbon Z eine Function // von Z und </ M _ 1? so integrirt man 



und ihr Integral liefert die let/te Grleichung, vennoge cleren )) sich (lurch die q 
ausdri ickt. 1st aber erst 



so sucht man ein erstes Integral der DifFerentialgleichung xweiter Ordnung 

< . 

rf?. _, 

1st dieses Interal 



so ist 

( = Const. 



die Grleichung zur Bestimmung von y> w . 

Durch diese Operationen ist die Aufsuchung einer vollstandigen Losung 
der vorgelegten partiellen Differentialgleichung soweit gefulirt, dass nnr nocb 
die Quadratur 

v = J (^i ^i +P? d( h H ----- H^ w t/v w ) 

ausEufilhren bleibt. Wenn man alle vorkommenden Systeme auf je eine ge- 
w(")bnliche Differentialgleichung boherer Ordnung reducirt, so ist im (Ian/en 
je ein Integral zu suchen fin- 

1 Differentialgleichung *2Qt l) ter Ordnung, 

2 Dift erentialgleichungen 2(/i 2) ter Ordnung, 

-/ Differentialgleicbungen 2(n ij" Ordnung, 

nl Differentialgleichungen 2 ter Ordnung. 

Aber uur im ungunstigsten Falle erreichen alle Differentialgleicbungen \virklicb 
die bier angegebene Ordnung. Im Allgemeinen wird von jeder Klasse nur cine 
Gleichung jene Ordnung erreicben, die Ordnungen der anderen aber werden 
sicb inebr Oder minder erniedrigen. 



Jm Verlae des Unter/eichneten erscheinen 




I1ERAI"8<;EGEBEN AUK YEKANLASSUM; 
DER KONIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEX. 



Erster Band. \ 

Zweiter Band. J 31i P tische und Abel sche 

Dritter Band/) Algebra. Transformation viclfacher Integrate. 

Vicrter Band. } 

Fiinftcr Band, j Dlfterential leichun g en - Dynamik. 

SccllSter Band. Reihen. Bestimmte Integrale. Zahlentheoretische, astrono- 

mische und geometrische Abhandlungen. 



In diesen sechs Blindcn finclen sich sammtliche mathematische Arbcitcn Jacobi s 
vereinigt, die von ihm selbst vcrofl entlicht oder im Wcsentlichen druddertig hinterlasseii 
worden sind. An sic .schl lessen sich Snpplcinentbiiilde an, wclclie Ausarbeitungcn einiger 
Vorlesnngcn Jacobi s enthaltcn. 

Bis jetzt sincl erschienen: 

Krstcr Band, herausgegeben von C. \V. Borchardt, 1881. M. IS.. 

Zweiter Band, herausgegeben von K. AVeiers trass. 1882. M. 17. . 

Siipplcmentband, herausgegeben von E. Lottner: Zweite, revidirte Ausgabe der von 
A. Clebsch hcrausgegebenen Vorlesungen iibcr Dynamik (oline die der ersten 

Ausgabe bcigefiigtcn, jetzt fiir den fiinften Band dor \Verke bestiminten, nacli- 

gelasscncn Abhandlungen). 1884. M. 10.. 

Der Dritte Band, herausgegeben von K. Wcierstrass, gcht seiner Yollenduno- 



entgegen. 



*) Der Inluilt dos I ,. IJandcs war nach dcui ursjiriin^liclien Plane ant /\vei liitnde vertlieilt, 
di i in der \orrede nun ersleii Hande aiigeki indi^teii siclieu I iinde deren nur seclis erscheineii wenlon. 

Berlin, im M-irz 1884. Q-. Reimer. 



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ASTRON-MATH-STAT. LIBRARY 

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